Transcript: Teorema lui Pitagora (teorie)

Teorema lui Pitagora
Pitagora s-a născut pe insula grecească Samos în jurul anului 580 înainte de Cristos.
A fost filozof și matematician.
Există dovezi că această teoremă era cunoscută cu mult timp înainte de nașterea lui Pitagora,
însă se consideră că el a fost primul care a demonstrat-o, de aceea i s-a atribuit lui.
Vechile popoare, indienii, babilonienii și egiptenii antici,
cunoșteau această teoremă cu o mie de ani înainte de nașterea lui Pitagora.
Indiferent care-i sunt originile, teorema și consecințele ei au avut un impact uriaș asupra omenirii.
Teorema lui Pitagora se aplică în triunghiul dreptunghic.
Triunghiul dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept.
Laturile care formează unghiul drept se numesc catete,
iar latura care se opune unghiului drept se numește ipotenuză.
Trebuie să recunoașteți catetele și ipotenuza în orice triunghi dreptunghic,
indiferent de poziția sa sau de notațiile acestuia.
În a doua figură geometrică, catetele triunghiului sunt A și B,
iar ipotenuza este dreapta notată cu C.
Iar în ultima figură, catetele triunghiului sunt M și N,
iar ipotenuza este dreapta notată cu P.
Și acum să dăm enunțul teoremei lui Pitagora.
Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor
este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
În acest triunghi dreptunghic, catetele sunt A și B,
iar ipotenuza este dreapta C.
Astfel, conform teoremei lui Pitagora, avem următoarea relație
A pătrat plus B pătrat va fi egal cu C pătrat.
Această teoremă este una dintre cele mai importante teoreme din geometria plană
și ea are peste 300 de demonstrații.
O să prezint în continuare două demonstrații.
Prima demonstrație.
Avem un triunghi dreptunghic ABC.
Am dus și înălțimea în acest triunghi pe care am notat-o cu AD.
Trebuie să arătăm că AB pătrat plus AC pătrat este egal cu BC pătrat.
Pentru această demonstrație voi aplica de două ori teorema catetei.
Știm din teorema catetei că AB la pătrat este egal cu BD ori BC.
Acum aplicăm teorema catetei pentru cealaltă catetă AC.
AC la pătrat este egal cu DC ori BC.
Însumăm cele două relații
și obținem că AB pătrat plus AC pătrat este egal cu BD ori BC plus DC ori BC.
Observăm că putem să dăm factor comun BC și obținem BC pe lângă BD plus DC.
Dacă ne uităm pe figură, BD plus DC formează lungimea segmentului BC.
Deci putem scrie egal cu BC ori BC.
Însă BC ori BC este egal cu BC la pătrat.
Am demonstrat așadar teorema lui Pitagora folosind teorema catetei.
Și o să mai fac o demonstrație.
Considerăm că avem un pătrat a cărui latură s-a notat cu litera C mic.
Este vorba de pătratul alb din mijloc.
În exteriorul acestui pătrat construim patru triunghiuri dreptunghice congruente.
Catetele acestor triunghiuri s-au notat cu A și B.
Area pătratului din centru este egală cu C la a doua.
Știm că area unui pătrat este latura la puterea a doua.
Latura pătratului mare este A plus B.
Voi scrie acest lucru. Latura pătratului din exterior este A plus B.
Voi exprima area pătratului mare în două moduri.
Mai întâi area este latura la a doua, adică A plus B, totul la pătrat.
Dar area pătratului mare se poate calcula însumând area pătratului alb și cele patru ari ale triunghiurilor dreptunghice.
Așadar, area se mai poate scrie egal cu C pătrat plus de patru ori area unui triunghi dreptunghic.
Dar area triunghiului dreptunghic este produsul catetelor supra doi.
Catetele acestor triunghiuri sunt A și B.
Deci voi scrie patru ori AB supra doi.
Egal, se simplifică patru și doi și obținem C pătrat plus doi AB.
Egalăm cele două ari și obținem următoarea relație, A plus B totul la pătrat, egal cu C pătrat plus doi AB.
Pentru a calcula pătratul acestei sume folosim formule de calcul prescurtat învățate la algebră.
Astfel, A plus B totul la a doua este egal cu A la a doua plus doi AB plus B la a doua.
Egal în continuare cu C pătrat plus doi AB.
Termenul doi AB se reduce pentru că are același semn și este situat în membrii diferiți și obținem că A pătrat plus B pătrat este egal cu C pătrat.
Ținând cont de faptul că A, B și C erau laturile unui triunghi dreptunghic, rezultă că teorema lui Pitagora este demonstrată.
Observăm astfel că teorema lui Pitagora realizează o legătură interesantă între geometrie și algebră.
Să vedem în continuare unde vom aplica această teoremă.
Teorema lui Pitagora se poate aplica în cazul în care dorim să calculăm înălțimea într-un triunghi isoscel
sau atunci când ne propunem să calculăm latura unui romb, atunci când se cunosc diagonalele sale.
În clasa A8 o să aplicăm teorema lui Pitagora atunci când vom calcula diferite elemente ale unei piramide, cum ar fi înălțimea sau apotema.
Vechii egipteni au folosit teorema lui Pitagora atunci când au construit piramidele din Egipt.
Teorema lui Pitagora a făcut posibilă apariția unei ramuri importante a matematicii, numită trigonometrie.
Aceasta se ocupă cu studiul relațiilor dintre laturile și unghiurile unui triunghi.
Multe dintre triunghiurile din viața reală nu sunt dreptunghice, însă orice triunghi poate fi împărțit în două triunghiuri dreptunghice
și orice formă poligonală poate fi împărțită în triunghiuri.
Astfel, triunghiul dreptunghic este fundamental în trigonometrie.
Aplicarea teoremei lui Pitagora este posibilă și în cazul triunghiurilor oarecare, prin folosirea formei generalizate a acesteia.
În liceu veți învăța și teorema lui Pitagora generalizată pentru triunghiuri oarecare.
Teorema lui Pitagora a dezvăluit forma planetei noastre și locul ei în Univers.
Ea a fost un pas vital către tehnicile geometrice necesare pentru cartografiere, navigație și topografie.
Având la dispoziție ecuații trigonometrice și instrumente adecvate de măsură, a fost posibilă realizarea hărților precise.
S-a dezvoltat astfel topografia, adică știința care se ocupă cu tehnica măsurătorilor unei porțiuni de teren în scopul întocmirii hărților.
În anul 1615, un matematician olandez a folosit pentru întocmirea unei hărți un procedeu numit triangulație.
Suprafața topografiată era acoperită cu o rețea de triunghiuri și cu ajutorul ecuațiilor trigonometrice a fost posibilă calcularea unor distanțe și unghiuri.
Acest matematician a reușit astfel să calculeze mărimea Pământului.
Triangulația a făcut posibilă și calcularea înălțimii muntelui Everest.
În secolul nostru, întocmirea hărților se realizează folosindu-se fotografii din satelit și sistemul de poziționare globală, așa numitul GPS.
Nu se mai folosește triangulația explicită, însă ea continuă să existe în metodele folosite pentru aflarea localizărilor din datele primite de la satelit.
Pitagora l-a inspirat și pe Einstein, acesta folosind geometria triunghiului în teoria generală a relativității.
Extinderea teoremei la triunghiuri oarecare ne-a permis să cartografiem continentele și să ne măsurăm planeta.
Astfel, teorema lui Pitagora nu ne ajută doar să calculăm diagonala unui televizor, ea ne permite să măsurăm forma Universului.
Pitagora l-a inspirat și pe Einstein, acesta folosind geometria triunghiului în teoria generală a relativității.