Proprietățile combinărilor

În acest videoclip o să vedem câteva formule utile în calculul cu combinări.

Prima este formula combinărilor complementare.

Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N luate câte N minus K.

Demonstrația acestei relații se face prin calcul direct.

Combinări de N luate câte K este egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial

iar combinări de N luate câte N minus K este egal cu N factorial supra N minus K factorial pe lângă N minus N minus K factorial.

Egal cu N factorial supra N minus K factorial ori K factorial.

Din aceste două relații se obține egalitatea de mai sus și anume combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N luate câte N minus K.

De exemplu, combinări de 8 luate câte 5 este egal cu combinări de 8 luate câte 3.

Suma indicilor superiori este egală cu indicele inferiori.

O altă proprietate, formula de recurență în calculul cu combinări.

Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1.

Vom calcula mai întâi combinări de N minus 1 luate câte K și obținem N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus 1 minus K factorial.

Combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 va fi egal cu N minus 1 factorial supra K minus 1 factorial pe lângă N minus 1 minus K minus 1 factorial.

Combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 este egal cu N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.

Adunăm acum cele două relații și vom obține combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 este egal cu N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K minus 1 factorial plus N minus 1 factorial supra K minus 1 factorial.

Pentru a aduce cele două fracții la numitor comun amplificăm prima fracție cu N minus K iar a doua o amplificăm cu numărul K astfel vom obține la numitor K factorial pe lângă N minus K factorial.

Avem așadar egal cu N minus 1 factorial pe lângă N minus K supra K factorial pe lângă N minus K factorial plus N minus 1 factorial ori K supra K factorial pe lângă N minus K factorial.

În continuare dăm factor comun pe N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.

N minus K plus K egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial iar această relație reprezintă combinări de N luate câte K așadar am demonstrat formula de recurrență în calculul cu combinări.

O altă formulă utilă combinări de N luate câte 0 plus combinări de N luate câte 1 plus combinări de N luate câte 2 plus puncte puncte plus combinări de N luate câte N este egal cu 2 la puterea N.

Suma din membrul stâng reprezintă numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu N elemente așadar această formulă se poate exprima și sub forma unei teoreme astfel numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu N elemente este egal cu 2 la puterea N.

Demonstrația acestei teoreme se face prin inducție matematică.

În continuare vom rezolva un exercițiu.

Calculați suma S egal cu combinări de 5 luate câte 5 plus combinări de 6 luate câte 5 plus combinări de 7 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.

În rezolvarea acestui exercițiu vom aplica formula de recurență în calculul cu combinări.

Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1.

Mai întâi vom folosi o altă relație și anume combinări de N luate câte N este egal cu 1.

Deci combinări de 5 luate câte 5 va fi egal cu combinări de 6 luate câte 6.

Și atunci suma S se poate scrie astfel.

În loc de combinări de 5 luate câte 5 voi scrie combinări de 6 luate câte 6 pentru a putea aplica ulterior această formulă.

Și restul copiem plus combinări de 6 luate câte 5 plus combinări de 7 luate câte 5 plus combinări de 8 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.

Egal.

Acum putem observa că această sumă combinări de 6 luate câte 6 plus combinări de 6 luate câte 5 este egal cu combinări de 7 luate câte 6.

Am folosit aici această formulă de recurență.

Și mai departe copiem combinări de 7 luate câte 5 plus combinări de 8 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.

Grupăm iarăși primii doi termeni.

Combinări de 7 luate câte 6 plus combinări de 7 luate câte 5 este egal cu combinări de 8 luate câte 6 conform relației scrise mai sus.

Restul termenilor îi copiem.

Combinări de 8 luate câte 5 urmează apoi combinări de 9 luate câte 5 și așa mai departe plus combinări de 20 luate câte 5.

Egal.

La fel procedăm și în pasul următor.

Grupăm primii doi termeni și obținem combinări de 9 luate câte 6 plus combinări de 9 luate câte 5 plus puncte puncte.

Penultimul termen va fi combinări de 19 luate câte 5 plus combinări de 20 luate câte 5.

Dacă vom continua să grupăm termenii câte doi, se va obține în final combinări de 20 luate câte 6 iar ultimul termen este combinări de 20 luate câte 5.

Se aplică din nou formula de recurență și vom obține combinări de 21 luate câte 6.