Transcript: Proprietățile combinărilor

În acest videoclip o să vedem câteva formule utile în calculul cu combinări.
Prima este formula combinărilor complementare.
Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N luate câte N minus K.
Demonstrația acestei relații se face prin calcul direct.
Combinări de N luate câte K este egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial
iar combinări de N luate câte N minus K este egal cu N factorial supra N minus K factorial pe lângă N minus N minus K factorial.
Egal cu N factorial supra N minus K factorial ori K factorial.
Din aceste două relații se obține egalitatea de mai sus și anume combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N luate câte N minus K.
De exemplu, combinări de 8 luate câte 5 este egal cu combinări de 8 luate câte 3.
Suma indicilor superiori este egală cu indicele inferiori.
O altă proprietate, formula de recurență în calculul cu combinări.
Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1.
Vom calcula mai întâi combinări de N minus 1 luate câte K și obținem N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus 1 minus K factorial.
Combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 va fi egal cu N minus 1 factorial supra K minus 1 factorial pe lângă N minus 1 minus K minus 1 factorial.
Combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 este egal cu N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.
Adunăm acum cele două relații și vom obține combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1 este egal cu N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K minus 1 factorial plus N minus 1 factorial supra K minus 1 factorial.
Pentru a aduce cele două fracții la numitor comun amplificăm prima fracție cu N minus K iar a doua o amplificăm cu numărul K astfel vom obține la numitor K factorial pe lângă N minus K factorial.
Avem așadar egal cu N minus 1 factorial pe lângă N minus K supra K factorial pe lângă N minus K factorial plus N minus 1 factorial ori K supra K factorial pe lângă N minus K factorial.
În continuare dăm factor comun pe N minus 1 factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.
N minus K plus K egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial iar această relație reprezintă combinări de N luate câte K așadar am demonstrat formula de recurrență în calculul cu combinări.
O altă formulă utilă combinări de N luate câte 0 plus combinări de N luate câte 1 plus combinări de N luate câte 2 plus puncte puncte plus combinări de N luate câte N este egal cu 2 la puterea N.
Suma din membrul stâng reprezintă numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu N elemente așadar această formulă se poate exprima și sub forma unei teoreme astfel numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu N elemente este egal cu 2 la puterea N.
Demonstrația acestei teoreme se face prin inducție matematică.
În continuare vom rezolva un exercițiu.
Calculați suma S egal cu combinări de 5 luate câte 5 plus combinări de 6 luate câte 5 plus combinări de 7 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.
În rezolvarea acestui exercițiu vom aplica formula de recurență în calculul cu combinări.
Combinări de N luate câte K este egal cu combinări de N minus 1 luate câte K plus combinări de N minus 1 luate câte K minus 1.
Mai întâi vom folosi o altă relație și anume combinări de N luate câte N este egal cu 1.
Deci combinări de 5 luate câte 5 va fi egal cu combinări de 6 luate câte 6.
Și atunci suma S se poate scrie astfel.
În loc de combinări de 5 luate câte 5 voi scrie combinări de 6 luate câte 6 pentru a putea aplica ulterior această formulă.
Și restul copiem plus combinări de 6 luate câte 5 plus combinări de 7 luate câte 5 plus combinări de 8 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.
Egal.
Acum putem observa că această sumă combinări de 6 luate câte 6 plus combinări de 6 luate câte 5 este egal cu combinări de 7 luate câte 6.
Am folosit aici această formulă de recurență.
Și mai departe copiem combinări de 7 luate câte 5 plus combinări de 8 luate câte 5 plus puncte puncte plus combinări de 20 luate câte 5.
Grupăm iarăși primii doi termeni.
Combinări de 7 luate câte 6 plus combinări de 7 luate câte 5 este egal cu combinări de 8 luate câte 6 conform relației scrise mai sus.
Restul termenilor îi copiem.
Combinări de 8 luate câte 5 urmează apoi combinări de 9 luate câte 5 și așa mai departe plus combinări de 20 luate câte 5.
Egal.
La fel procedăm și în pasul următor.
Grupăm primii doi termeni și obținem combinări de 9 luate câte 6 plus combinări de 9 luate câte 5 plus puncte puncte.
Penultimul termen va fi combinări de 19 luate câte 5 plus combinări de 20 luate câte 5.
Dacă vom continua să grupăm termenii câte doi, se va obține în final combinări de 20 luate câte 6 iar ultimul termen este combinări de 20 luate câte 5.
Se aplică din nou formula de recurență și vom obține combinări de 21 luate câte 6.