Proporţii.

Proporții. Să presupunem că avem două rapoarte. Primul raport este 1 supra 5, iar al doilea raport este 2 supra 10.

Dacă efectăm împărțirile, 1 supra 5 este egal cu 0,2, iar 2 supra 10 este egal tot cu 0,2.

Înseamnă că aceste două rapoarte sunt egale, deci putem pune între ele semnul egalității.

O astfel de egalitate de două rapoarte se numește proporție.

Fiind dată proporția a supra b egal cu c supra d, numerele a, b, c și d se numesc termenii proporției.

Mai exact, a și d se numesc extremi, iar b și c se numesc mezi.

Proporțiile au o proprietate fundamentală și anume, într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

Să facem și un exemplu ca să verificăm acest aspect.

Să presupunem că avem proporția 3 supra 4 egal cu 6 supra 8.

Să verificăm dacă are loc această egalitate și anume 3 ori 8 egal cu 4 ori 6.

3 ori 8 este 24, 4 ori 6 este 24.

Observăm așadar că este adevărată această proprietate și ea se aplică oricărei proporții.

Dacă ne uităm la această proporție, observăm că al doilea raport s-a obținut din primul raport prin amplificare cu 2.

În general, putem obține rapoarte egale prin amplificare și simplificare cu un număr.

În continuare, o să discutăm despre proporții derivate.

Fiind dată proporția a supra b egal cu c supra d,

atunci putem scrie proprietatea fundamentală a acestea și anume a or d sau a d egal cu b or c sau b c.

Dorim să aflăm alte proporții având aceiași termeni cu proporția dată.

Știm că înmulțirea este comutativă și atunci produsul b or c se mai poate scrie și c or b sau c b.

Mai exact, obținem relația a d egal cu c b.

Dar această relație va duce la următoarea proporție a supra c egal cu b supra d.

Observăm așadar că într-o proporție, dacă schimbăm locul mezilor între ei,

adică locul termenilor b și c, obținem o nouă proporție având aceiași termeni cu proporția dată.

Revenind la proprietatea fundamentală a proporției date a d egal cu b c,

atunci în cazul factorilor a d putem aplica comutativitatea înmulțirii și vom scrie d or a sau d a.

Acest lucru este echivalent cu faptul că d a egal cu b c.

Dar această relație ne duce la o nouă proporție și anume d supra b egal cu c supra a.

Observăm că și dacă schimbăm locul extremilor între ei, obținem o nouă proporție.

Dacă a d este egal cu b c, atunci cu siguranță și b c este egal cu a d, adică putem inversa locul acestor termeni.

Această relație va duce la următoarea proporție, b supra a egal cu d supra c.

Observăm că dacă inversăm rapoartele, obținem de asemenea o nouă proporție.

Aceste trei proporții obținute se numesc proporții derivate cu aceiași termeni,

deoarece ele au aceiași termeni ca și proporția inițială de la care am pornit.

Să vedem dacă putem obține proporții derivate din aceasta, dar având alți termeni.

O să mai scriem din nou proporția dată a supra b egal cu c supra d și proprietatea fundamentală a acesteia ad egal cu bc.

Ne propunem să calculăm valoarea raportului a plus b supra b.

Revenim la această egalitate.

Deoarece ad este egal cu bc, putem să scriem egal mai departe cu un număr oarecare k.

Atunci ad va fi egal cu k și bc va fi egal cu k.

Prima relație o să o împărțim la d, adică amii membri ai relației îi împărțim la d și vom obține a egal cu k supra d.

A doua relație o să o împărțim membru cu membru la numărul c și obținem b egal cu k supra c.

Revenim la raportul pe care dorim să-l calculăm, iar în loc de a vom scrie k supra d și în loc de b vom scrie k supra c.

Atunci a plus b supra b va fi egal cu k supra d plus k supra c totul supra k supra c.

Pentru a aduna aceste două fracții trebuie să le aducem la numitor comun.

Numitorul comun va fi produsul celor doi numitori, adică c or d.

Prima fracție o să o amplificăm cu c, iar a doua fracție o să o amplificăm cu d.

Și vom obține egal cu ck supra cd plus dk supra cd și totul supra k supra c.

Egal mai departe cu ck plus dk supra cd și totul supra k supra c.

Aici avem o fracție supraetajată și putem ține cont de faptul că această linie de fracție înseamnă împărțire.

Și atunci această fracție supraetajată se poate scrie ck plus dk supra cd împărțit la cea de-a doua fracție, la k supra c.

Egal mai departe, aici putem da factor comun pe k și obținem k pe lângă c plus d supra cd ori c supra k.

Pe această diagonală putem să simplificăm cu c iar pe cealaltă diagonală putem să simplificăm cu k și vom obține egal cu c plus d supra d.

Așadar am pornit de la acest raport a plus b supra b și am ajuns la c plus d supra d, adică putem obține următoarea proporție a plus b supra b egal cu c plus d supra d.

Aceasta este o nouă proporție derivată din prima proporție, dar ea este cu alți termeni și atunci observăm că pornind de la o proporție dată a supra b egal cu c supra d, putem obține o nouă proporție dacă adunăm numitorii la numărători.

În mod analog se pot obține o serie de alte proporții derivate. Nu o să le demonstrez pe toate, însă putem să le evidențiem într-o schemă.

Cea din mijloc este proporția principală. Cele trei din stânga sunt proporțiile derivate cu aceiași termeni pe care le-am demonstrat, iar celelalte sunt proporții derivate cu alți termeni.

Noi am demonstrat proporția aceasta în cazul adunării, ea se verifică și în cazul scăderii.

De asemenea, putem obține proporții derivate și dacă adunăm numărătorii la numitori sau dacă înmulțim un raport cu un număr dat, k.

Așadar, toate acestea sunt proporții derivate. Ele se pot aplica în exercițiile următoare. Nu o să le mai demonstrez pe fiecare în parte.

În cazul proporției pe care deja am demonstrat-o, o să dăm și un exemplu.

Să presupunem că avem proporția 2 supra 3 egal cu 6 supra 9.

Să încercăm să obținem o proporție derivată folosind această proprietate și anume adunând numitorii la numărători.

Obținem atunci proporția 2 plus 3 supra 3 egal cu 6 plus 9 supra 9, adică 5 supra 3 egal cu 15 supra 9.

Asta este o nouă proporție obținută din prima proporție prin adunarea numitorilor la numărători.

Să vedem dacă se respectă proprietatea fundamentală produsul mezilor egal cu produsul extremilor.

5 ori 9 este 45 și 3 ori 15 este 45. Așadar, se respectă și proprietatea fundamentală a proporțiilor.