Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie

În această lecție ne propunem să aflăm un termen necunoscut dintr-o proporție și pornim de la următoarea proporție 2 supra 3 este egal cu x supra 6.

Dorim să aflăm necunoscuta x din această proporție.

Pornim de la proprietatea fundamentală a acesteia și anume, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Prin urmare putem să scriem că 2 ori 6 este egal cu 3 ori x.

Observăm că între 3 și x avem operația de înmulțire.

Prin urmare, ca să îl determinăm pe x, trebuie să împărțim această egalitate la 3.

Și obținem 2 ori 6 totul supra 3, putem să scriem sup formă de fracție, este egal cu x pentru că 3 supra 3 ne dă 1.

Și acum dacă facem calculele obținem că x este egal cu 2 ori 6 12 supra 3, adică 4.

Acum să ne uităm puțin mai bine la această relație.

Observăm că pentru a-l determina pe x a trebuit să înmulțim termenii de pe diagonala opusă lui x și apoi să împărțim la celălalt termen.

Cu alte cuvinte, dacă x este un mez, pentru a determina necunoscuta x trebuie să înmulțim extremii și să împărțim rezultatul la celălalt mez.

Iar dacă x va fi unul dintre extremi, pentru a-l determina pe x o să înmulțim mezii, apoi rezultatul se împarte la celălalt extrem.

Prin urmare, pentru a afla un termen necunoscut dintr-o proporție, o să folosim aceste formule.

Avem prima proporție de forma x supra b egal cu c supra d.

În acest caz, x este extrem și atunci x va fi egal cu b ori c supra d.

Apoi, dacă avem proporția a supra x egal cu c supra d, x va fi egal cu a ori d supra c.

La fel procedăm și în următorul caz, a supra b egal cu x supra d.

Înmulțim termenii de pe diagonala opusă lui x, adică x va fi egal cu a ori d supra b.

Iar dacă avem următoarea proporție, a supra b egal cu c supra x, x va fi egal cu b ori c supra a.

Să facem în continuare câteva exemple.

În primul exemplu avem proporția x supra 7 egal cu 6 supra 21.

În acest caz, x este egal cu 6 ori 7 supra 21.

x este egal cu 42 supra 21.

x este egal cu 2.

Apoi, un al doilea exemplu, 5 supra x egal cu 10 supra 6.

x este egal, înmulțim termenii de pe diagonala opusă, 5 ori 6, totul supra 10.

x este egal cu 30 supra 10.

x este egal cu 3.

Punctul c, 5 supra 4 egal cu 20 supra x.

În acest caz, x este egal cu 4 ori 20 supra 5.

Simplificăm pe 20 cu 5, ne rămâne 4.

x este egal cu 4 ori 4, adică 16.

Și un alt exemplu, punctul d.

Avem proporția a minus 6 totul supra 3 egal cu 2a supra 9.

În acest caz, termenul necunoscut este a.

Observăm că acesta apare și în partea stângă și în partea dreaptă.

O să aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor.

Înmulțim așadar pe diagonală, 9 pe lângă a minus 6 este egal cu 3 ori 2a.

Aici aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere și îl înmulțim pe 9 cu fiecare număr din paranteză.

9 ori a minus 6 ori 9 este 54 egal cu 6a.

Dorim să avem necunoscuta a într-un singur membru.

Ca să-l eliminăm pe 6a din membrul drept, trebuie să scădem numărul 6a din ambii membri ai ecuației.

9a minus 6a minus 54 este egal cu 0.

9a minus 6a este egal cu 3a minus 54 este egal cu 0.

Adunăm 54 în ambii membri. 3a este egal cu 54.

Împărțim ecuația la 3.

3a este egal cu 54 împărțit la 3.

a va fi egal cu 18.

În continuare o să mai facem un exercițiu.

Dacă a minus 3b supra 2a plus b este egal cu 4 supra 11, aflați valoarea raportului a supra b.

Să mai scriem o dată această proporție dată în problemă.

a minus 3b supra 2a plus b este egal cu 4 supra 11.

Înmulțim pe diagonală și obținem că 11 pe lângă a minus 3b este egal cu 4 pe lângă 2a plus b.

Aplicăm și aici distributivitatea înmulțirii.

11a minus 11 ori 3 este 33b egal cu 4 ori 2a este 8a plus 4b.

Încercăm acum să separăm cele două necunoscute.

Ca să-l eliminăm de exemplu pe b din membrul stâng trebuie să adunăm cu 33b în ambii membrii deoarece aici avem scădere.

Și obținem astfel că 11a va fi egal cu 8a plus 4b plus 33b.

11a este egal cu 8a plus 4 și cu 33 este egal cu 37b.

Acum ca să eliminăm necunoscuta a din partea dreaptă trebuie să-l scădem pe 8a din ambii membrii a egalității.

11a minus 8a este egal cu 37b pentru că 8a minus 8a este 0.

11 minus 8 este 3a egal cu 37b.

Noi trebuie să aflăm valoarea raportului a supra b.

Ca să ne apară acest raport trebuie să împărțim această egalitate la b.

3a supra b putem să scriem linia de fracție doar la a egal cu 37 pentru că b supra b ne dă 1.

Între 3 și a supra b avem în mulțire.

Ca să eliminăm coeficientul 3 va trebui să împărțim la 3 această egalitate.

a supra b va fi egal cu 37 supra 3.

Așadar valoarea raportului a supra b este 37 supra 3.