Piramida triunghiulară regulată (formule)

Să vedem acum care sunt formulele pentru piramida triunghiulară regulată.

Însă, înainte, haideți să ne amintim câteva proprietăți specifice ale piramidei triunghiulare regulate și anume,

baza este triunghi echilateral, muchiile laterale VA, VB și VC sunt congruente.

Într-o piramidă triunghiulară regulată, înălțimea este segmentul care unește vârful piramidei cu centrul cercului circumscris bazei

și iată, pentru că vorbim aici de un triunghi echilateral, ABC este triunghi echilateral,

atunci, centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate, cu ortocentrul și cu punctul de intersecție al bisectoarelor.

Pentru că medianele coincid cu mediatoarele, cu înălțimile și cu bisectoarele.

Bun, ce înțelegem prin arie laterală?

Aria laterală reprezintă, de fapt, suma ariilor fețelor laterale și noi, ca fețe laterale, avem trei triunghiuri,

VAB, VBC și VAC. Cum sunt aceste triunghiuri?

Sunt triunghiuri isoscele, atenție, congruente.

Iată, triunghiul VAB, de ce este congruent cu triunghiul VBC?

Avem VA congruent cu VC, VB este latură comună, AB congruent cu BC,

deci, din cazul latură-latură-latură, înseamnă că aceste două triunghiuri sunt congruente.

Cu alte cuvinte, fețele laterale sunt reprezentate de triunghiuri isoscele congruente,

deci, aria laterală se poate scrie 3 înmulțit cu aria unui triunghi.

Să considerăm aria triunghiului VBC.

Și acum, ca să determinăm această formulă, trebuie să găsim aria triunghiului ales de noi, VBC.

Și știm că aria unui triunghi este egală cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare laturii respective.

Dacă alegem latura BC, trebuie să ducem înălțimea din V pe BC și mai întâi alegem M, mijlocul acestui segment,

Vm ce este?

Vm este mediană în triunghiul VBC, însă cum triunghiul este isoscel cu baza BC, înseamnă că avem aici un unghi de 90 de grade,

deci Vm este perpendiculară pe BC și putem să notăm formula pentru aria triunghiului VBC este BC ori Vm care reprezintă atenție apotema piramidei

Supra 2

Și acum înlocuim, deci rezultă că aria laterală cu cât este egală?

Păi avem 3 înmulțit cu aria triunghiului VBC, adică ce avem aici, trecem BC înmulțit cu apotema piramidei supra 2

Însă pe 3 îl putem scrie aici 3 supra 1 și dacă înmulțim pe 3 cu BC, ce vom obține?

Păi 3 ori BC, iată o să fac așa, ne va da de fapt perimetrul triunghiului ABC, pentru că avem un triunghi echilateral,

AB congruent cu BC congruent și cu AC, înseamnă că formula pentru aria laterală este 3 ori BC, am spus că înseamnă perimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei supra 2

Aceasta e formula pentru aria laterală

Aria totală, e foarte simplu, trebuie să adunăm aria laterală cu aria bazei, deci avem aria laterală plus aria bazei, care este aria bazei

Avem un triunghi echilateral, dacă considerăm că notăm latura muchea bazei cu l mic, atunci ce vom avea?

Aria unui triunghi echilateral cu latura notată aici l mic, este l mic la a doua radical din 3 supra 4

Bun, volumul unei piramide triunghiulare regulate este dat de raportul aria bazei ori înălțimea supra 3

Și înălțimea e reprezentată aici de VO

Acestea sunt formulele pentru piramida triunghiulară regulată, deci putem să încadrăm că avem aici aria laterală

Perimetru bazei ori apotema piramidei supra 2

Aria totală, e foarte ușor de ținut minte această formulă

Adunăm aria laterală cu aria bazei, aria bazei este aria unui triunghi echilateral

Și formula pentru determinarea volumului, avem aria bazei ori înălțimea supra 3

Acum, ca un exercițiu, să determinăm lungimea apotemei bazei în această piramidă

Ce înțelegem prin apotema bazei?

Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei, adică de la punctul O la o muche a bazei

Atunci, cum putem să construim distanța de la punctul O la latura BC, ca să găsim această apotema bazei?

AM, ce reprezintă?

De vreme, CM este mijlocul segmentului BC

AM este mediană în triunghiul ABC, care este triunghi echilateral

Dacă AM este mediană, înseamnă că AM este și înălțime

Deci, avem aici, sper să se vadă, un unghi de 90 de grade

Deci, o să trec că AM este perpendiculară pe BC

Cum punctele A, O și M sunt coliniare, înseamnă că OM este perpendiculară pe BC

Cu alte cuvinte, distanța de la O la BC este OM

Deci, voi trece aici, chiar o să scriem direct că apotema bazei, notată A, indice B, este OM

Cum determinăm acum lungimea segmentului OM?

Păi, punctul O este centrul cercului circumscris bazei, însă triunghiul este echilateral

Ce înseamnă asta? Că punctul O coincide cu centrul de greutate

Deci, triunghiul ABC este echilateral, înseamnă că punctul O egal cu punctul G, unde G este centrul de greutate

Păi, atunci, ce putem spune despre centrul de greutate?

Că el se află la două treimi față de vârf și o treime față de bază

Înseamnă că segmentul OM are lungimea egală cu o treime din lungimea medianei AM

1 supra 3 înmulțit cu AM

Aceste lucruri deja au fost discutate când s-a vorbit despre medianele unui triunghi

Și atunci, ca să determinăm lungimea segmentului OM, avem nevoie de lungimea segmentului AM

Ce este AM? Este înălțime în triunghi echilateral

Deci, triunghiul ABC este echilateral

AM este perpendiculară pe BC, asta înseamnă că AM este înălțime

Deci, AM cu cât este egal

Am notat latura triunghiului cu L mic

Avem formula pentru înălțimea unui triunghi echilateral

L mic radical din 3 pe 2

Și din aceste două relații, ce rezultă?

Îi vom înlocui OM

Este egal cu 1 supra 3 înmulțit cu

Îl înlocuim pe AM

În loc de AM, trecem ce avem aici

Linie de fracție

L ori radical din 3 supra 2

Și facem calculul

Avem L ori radical din 3

Și la numitor 3 ori 2, adică 6

Cu alte cuvinte, apotema bazei

Se scrie

L radical din 3 pe 6

Și astfel am obținut și formula

Pentru determinarea apotemei bazei

Unei piramide triunghiulare regulate