Transcript: Piramida triunghiulară regulată (formule)

Să vedem acum care sunt formulele pentru piramida triunghiulară regulată.
Însă, înainte, haideți să ne amintim câteva proprietăți specifice ale piramidei triunghiulare regulate și anume,
baza este triunghi echilateral, muchiile laterale VA, VB și VC sunt congruente.
Într-o piramidă triunghiulară regulată, înălțimea este segmentul care unește vârful piramidei cu centrul cercului circumscris bazei
și iată, pentru că vorbim aici de un triunghi echilateral, ABC este triunghi echilateral,
atunci, centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate, cu ortocentrul și cu punctul de intersecție al bisectoarelor.
Pentru că medianele coincid cu mediatoarele, cu înălțimile și cu bisectoarele.
Bun, ce înțelegem prin arie laterală?
Aria laterală reprezintă, de fapt, suma ariilor fețelor laterale și noi, ca fețe laterale, avem trei triunghiuri,
VAB, VBC și VAC. Cum sunt aceste triunghiuri?
Sunt triunghiuri isoscele, atenție, congruente.
Iată, triunghiul VAB, de ce este congruent cu triunghiul VBC?
Avem VA congruent cu VC, VB este latură comună, AB congruent cu BC,
deci, din cazul latură-latură-latură, înseamnă că aceste două triunghiuri sunt congruente.
Cu alte cuvinte, fețele laterale sunt reprezentate de triunghiuri isoscele congruente,
deci, aria laterală se poate scrie 3 înmulțit cu aria unui triunghi.
Să considerăm aria triunghiului VBC.
Și acum, ca să determinăm această formulă, trebuie să găsim aria triunghiului ales de noi, VBC.
Și știm că aria unui triunghi este egală cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare laturii respective.
Dacă alegem latura BC, trebuie să ducem înălțimea din V pe BC și mai întâi alegem M, mijlocul acestui segment,
Vm ce este?
Vm este mediană în triunghiul VBC, însă cum triunghiul este isoscel cu baza BC, înseamnă că avem aici un unghi de 90 de grade,
deci Vm este perpendiculară pe BC și putem să notăm formula pentru aria triunghiului VBC este BC ori Vm care reprezintă atenție apotema piramidei
Supra 2
Și acum înlocuim, deci rezultă că aria laterală cu cât este egală?
Păi avem 3 înmulțit cu aria triunghiului VBC, adică ce avem aici, trecem BC înmulțit cu apotema piramidei supra 2
Însă pe 3 îl putem scrie aici 3 supra 1 și dacă înmulțim pe 3 cu BC, ce vom obține?
Păi 3 ori BC, iată o să fac așa, ne va da de fapt perimetrul triunghiului ABC, pentru că avem un triunghi echilateral,
AB congruent cu BC congruent și cu AC, înseamnă că formula pentru aria laterală este 3 ori BC, am spus că înseamnă perimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei supra 2
Aceasta e formula pentru aria laterală
Aria totală, e foarte simplu, trebuie să adunăm aria laterală cu aria bazei, deci avem aria laterală plus aria bazei, care este aria bazei
Avem un triunghi echilateral, dacă considerăm că notăm latura muchea bazei cu l mic, atunci ce vom avea?
Aria unui triunghi echilateral cu latura notată aici l mic, este l mic la a doua radical din 3 supra 4
Bun, volumul unei piramide triunghiulare regulate este dat de raportul aria bazei ori înălțimea supra 3
Și înălțimea e reprezentată aici de VO
Acestea sunt formulele pentru piramida triunghiulară regulată, deci putem să încadrăm că avem aici aria laterală
Perimetru bazei ori apotema piramidei supra 2
Aria totală, e foarte ușor de ținut minte această formulă
Adunăm aria laterală cu aria bazei, aria bazei este aria unui triunghi echilateral
Și formula pentru determinarea volumului, avem aria bazei ori înălțimea supra 3
Acum, ca un exercițiu, să determinăm lungimea apotemei bazei în această piramidă
Ce înțelegem prin apotema bazei?
Apotema bazei este distanța de la centrul cercului circumscris bazei, adică de la punctul O la o muche a bazei
Atunci, cum putem să construim distanța de la punctul O la latura BC, ca să găsim această apotema bazei?
AM, ce reprezintă?
De vreme, CM este mijlocul segmentului BC
AM este mediană în triunghiul ABC, care este triunghi echilateral
Dacă AM este mediană, înseamnă că AM este și înălțime
Deci, avem aici, sper să se vadă, un unghi de 90 de grade
Deci, o să trec că AM este perpendiculară pe BC
Cum punctele A, O și M sunt coliniare, înseamnă că OM este perpendiculară pe BC
Cu alte cuvinte, distanța de la O la BC este OM
Deci, voi trece aici, chiar o să scriem direct că apotema bazei, notată A, indice B, este OM
Cum determinăm acum lungimea segmentului OM?
Păi, punctul O este centrul cercului circumscris bazei, însă triunghiul este echilateral
Ce înseamnă asta? Că punctul O coincide cu centrul de greutate
Deci, triunghiul ABC este echilateral, înseamnă că punctul O egal cu punctul G, unde G este centrul de greutate
Păi, atunci, ce putem spune despre centrul de greutate?
Că el se află la două treimi față de vârf și o treime față de bază
Înseamnă că segmentul OM are lungimea egală cu o treime din lungimea medianei AM
1 supra 3 înmulțit cu AM
Aceste lucruri deja au fost discutate când s-a vorbit despre medianele unui triunghi
Și atunci, ca să determinăm lungimea segmentului OM, avem nevoie de lungimea segmentului AM
Ce este AM? Este înălțime în triunghi echilateral
Deci, triunghiul ABC este echilateral
AM este perpendiculară pe BC, asta înseamnă că AM este înălțime
Deci, AM cu cât este egal
Am notat latura triunghiului cu L mic
Avem formula pentru înălțimea unui triunghi echilateral
L mic radical din 3 pe 2
Și din aceste două relații, ce rezultă?
Îi vom înlocui OM
Este egal cu 1 supra 3 înmulțit cu
Îl înlocuim pe AM
În loc de AM, trecem ce avem aici
Linie de fracție
L ori radical din 3 supra 2
Și facem calculul
Avem L ori radical din 3
Și la numitor 3 ori 2, adică 6
Cu alte cuvinte, apotema bazei
Se scrie
L radical din 3 pe 6
Și astfel am obținut și formula
Pentru determinarea apotemei bazei
Unei piramide triunghiulare regulate