Elemente simetrizabile - repere teoretice

În acest videoclip voi defini și prezenta câteva rezultate importante referitoare la elementele simetrizabile.

Voi începe cu definiția elementelor simetrizabile.

Considerăm mulțimea M diferită de mulțimea vida, pe care am definit legea de compoziție stea,

care admite element neutru.

Elementul X aparținându-i M se numește element simetrizabil în raport cu legea de compoziție stea dacă

există X' un element din M cu proprietatea că

X stea X' este egal cu X' stea X și este egal cu E.

Elementul X' din M cu această proprietate se numește simetricului X în raport cu legea de compoziție stea.

Câteva observații legate de elementele simetrizabile.

În primul rând, este esențial ca legea de compoziție stea să admită element neutru,

pentru că observăm că în această relație care definește elementul simetrizabil ne apare elementul neutru.

De câte ori discutăm despre elemente simetrizabile sau simetricul unui element în raport cu o lege de compoziție,

considerăm că legea de compoziție admite element neutru.

Și acum, prima observație.

Dacă simetricului X din M este X' aparținându-i M,

atunci simetricului X' este chiar X.

De ce se întâmplă acest lucru?

Priviți relația din definiția elementului simetrizabil,

opriți înregistrarea video și dați o explicație pentru acest rezultat.

Am rescris relația din definiția elementului simetrizabil pentru elementul X'

adică X' compus cu simetricul său

trebuie să fie egal cu simetricul lui X' compus cu X' și egal cu elementul neutru.

Considerăm egalitățile marcate cu cărămiziu în relațiile 1 și respectiv 2.

Observăm că în ambele egalități,

într-un membru ne apare X' pe poziția a doua în compunere,

iar pe prima poziție, aici avem X și aici avem simetricul lui X'.

Considerăm egalitățile marcate cu verde în relațiile 1 și respectiv 2.

În compunere, pe prima poziție, în membrul stâng al egalităților ne apare elementul X'

iar pe poziția a doua, în relația 1 ne apare X

iar pe poziția a doua ne apare simetricul lui X'.

Înseamnă că simetricul lui X' este egal cu X.

În definiție elementului simetrizabil este esențial faptul că X' trebuie să aparțină lui M.

De exemplu, dacă considerăm mulțimea numărelor naturale cu operația de adunare,

știm că elementul neutru al adunării pe N este 0

și considerăm 1, care este evident un număr natural.

Simetricul lui 1 față de adunare în N trebuie să fie un număr natural

care adunat cu 1 să ne dea 0, adică 1 plus simetricul său trebuie să fie 0.

Știm că 1 plus minus 1 este egal cu 0

dar minus 1 nu aparține mulțimea numărelor naturale

de unde ne rezultă că 1 nu este simetrizabil în raport cu adunarea pe N.

A treia observație, dacă legea de compoziție stea este comutativă,

atunci această egalitate din definiția simetricului unui element în raport cu operația stea este adevărată.

Înseamnă că, în cazul în care legea de compoziție este comutativă,

x prim aparținându-i M este simetricului x din M dacă

este verificată una din aceste două egalități, adică x stea x prim egal cu e sau x prim stea x egal cu e.

A patra observație, dacă legea de compoziție stea este asociativă și elementul x din M are simetric, atunci acesta este unii.

În cazul în care legea de compoziție stea nu este asociativă,

este posibil ca un element x din M să admită mai multe elemente simetrice.

Dacă x este un element din mulțimea M și este simetrizabil,

simetricul lui x depinde de x, adică fiecare element simetrizabil admite un simetric care este doar al lui.

De exemplu, dacă ne gândim la mulțimea numerelor întregi cu operația de adunare,

simetricul lui 5 este minus 5, simetricul lui minus 2 este 2.

În general, simetricul unui număr întreg x în raport cu operația de adunare este minus x, adică opusul său.

Notații

În notație aditivă, probabil că vă amintiți că legea de compoziție se notează cu plus,

atunci elementul neutru se notează cu zero și simetricul elementului x se notează cu minus x și se mai numește opusul lui x.

În notație multiplicativă, legea de compoziție o notam cu înmulțire,

elementul neutru se notează cu 1 și simetricul lui x se notează cu x la minus 1 sau cu 1 pe x și simetricul lui x se numește inversul lui x.

Următoarea observație este, de fapt, o teoremă, deci observația 6, notațiile erau observația 5.

Teorema ne spune că dacă m este o mulțime nevidă pe care am definit o lege de compoziție,

am notat-o aici cu stea, care este asociativă și admite element neutru,

atunci dacă x și y sunt două elemente din m simetrizabile,

și x stea y va fi simetrizabil, iar simetricul lui x stea y va fi egal cu simetricul lui y compus cu simetricul lui x.

Pentru a demonstra această teoremă, vom scrie explicit ceea ce ni se dă în teoremă.

În primul rând ni se spune că legea de compoziție admite element neutru,

adică există e din m cu proprietatea că x stea e egal cu stea x egal cu x pentru orice x din m.

Apoi ni se spune că x și y sunt simetrizabile,

scriem că x prim este simetricul lui x și că y prim este simetricul lui y.

Și legea de compoziție stea este asociativă,

adică dacă avem un șir de mai multe operații stea,

noi putem asocia oricum termenii pentru că rezultatul este același.

Ce se cere?

Noi trebuie să verificăm dacă acest element, simetricul lui y compus cu simetricul lui x, este simetricul lui x compus cu y.

Adică, conform definiției simetricului unui element,

trebuie să arătăm că simetricul lui y compus cu simetricul lui x,

deci acest element, compus la stânga și la dreapta cu x compus cu y, este egal cu e.

Dacă au loc aceste două egalități pe care le-am marcat aici cu MOV,

atunci înseamnă că simetricul lui y compus cu simetricul lui x, este simetricul lui x compus cu y.

Și evident, x compus cu y este simetrizabil.

Pentru a demonstra cele două egalități, am să numerotez relațiile care ni se dau.

Aceasta va fi relația 1, relația 2, relația 3 și relația 4.

Prima dată demonstrăm această egalitate și pornim cu membrul stâng al egalității,

deci x compus cu y compus cu simetricul lui y compus cu simetricul lui x.

Pentru că legea de compoziție este asociativă, putem asocia termenii cum dorim

și atunci desfacem parantezele și vom efectua prima dată operația dintre y și simetricul său.

Pe baza relației 3 știm că y compus cu simetricul său este e

deci vom avea x stea e stea x prim.

Acum ne folosim din nou de faptul că legea de compoziție este asociativă

și prima dată efectuăm operația dintre x și e,

deci folosim relația 4

și ne folosim și de relația 1

știm că x stea e este egal cu x

deci va fi egal mai departe cu x stea x prim

care pe baza relației 2 x stea x prim este egal cu e

deci prima egalitate este demonstrată.

Acum trebuie demonstrată a doua egalitate

și de această dată se pornește cu membrul stâng al egalității

se folosesc relațiile 1, 2, 3 și 4

și trebuie să se ajungă la membrul drept al egalității.

Opriți înregistrarea video și demonstrați singuri această egalitate.

Dacă doriți să vă verificați am scris aici demonstrația acestei egalități.

Cu aceasta teorema este demonstrată.

Pentru că nu toate elementele unei mulțime sunt simetrizabile

în raport cu o lege de compoziție

introducem o nouă mulțime

care să conține elementele simetrizabile din M

în raport cu legea de compoziție stea.

Adică considerăm mulțimea M diferită de mulțimea vidă

pe care am definit o lege de compoziție stea

această lege de compoziție admite element neutru

și atunci notăm cu U de M

mulțimea elementelor din M

care sunt simetrizabile în raport cu legea de compoziție stea.

Această mulțime se mai numește și mulțimea unităților lui M.

Mulțimea unităților lui M este inclusă în M

este o submulțime de-a lui M

și este o mulțime nevidă

pentru că întotdeauna elementul neutru face parte din mulțimea unităților lui M.

Estea E este egal cu E.

Într-un alt videoclip voi da câteva exemple de legi cu elemente simetrice

și voi rezolva exerciții în care se ceră determinarea elementelor simetrizabile ale unei mulțime în raport cu o lege de compoziție

cu alte cuvinte voi determina mulțimea unităților unei mulțime.