Elemente simetrizabile - exemple și exerciții

În acest videoclip voi da câteva exemple de legi cu elemente simetrice

și voi rezolva două exerciții în care se cere să se determine elementele simetrizabile ale unei mulțimi,

pe care avem definit o lege de compoziție ce admită element neutru.

Știm că dacă M este o mulțime nevidă pe care am definit o lege de compoziție care admită element neutru,

atunci spunem că un element x din M este simetrizabil dacă există x' aparținându-i M,

astfel încât x stea x' egal cu x' stea x și este egal cu e.

Elementul x' spuneam că se numește simetricul lui x.

Am notat cu U de M mulțimea unităților lui M sau, dacă vreți, mulțimea tuturor elementelor simetrizabile din mulțimea M.

Să vedem acum câteva exemple cunoscute de legi cu elemente simetrice.

Față de adunarea numerelor naturale, singurul element simetrizabil este 0,

deci mulțimea unităților lui N este formată din elementul 0.

Adunarea este o operație comutativă, elementul neutru față de adunare este 0,

iar elementele simetrizabile ar trebui să fie acele numere naturale care au un opus în mulțimea numerelor naturale.

Singurul element care are opus în mulțimea numerelor naturale este elementul 0.

Față de adunarea pe z, unde elementul neutru este tot 0 și, să nu uităm, și adunarea pe z este comutativă,

avem că mulțimea elementelor simetrizabile este chiar egală cu z,

pentru că pentru orice număr întreg există opusul său,

astfel încât numărul adunat cu opusul său să ne dea elementul neutru față de adunare, adică 0.

Într-o situație similară sunt și mulțimile de numere raționale sau reale sau complexe cu operația de adunare.

Elementul neutru este tot 0 și fiecare număr rațional are un opus în mulțimea numerelor raționale,

la fel cum fiecare număr real are un opus în mulțimea numerelor reale și fiecare număr complex are un opus în mulțimea numerelor complexe.

Față de înmulțirea pe mulțimea numerelor naturale avem un singur element simetrizabil sau inversabil

și acest element este 1.

Pentru că, elementul neutru fiind 1, singurul număr care admite invers în mulțimea numerelor naturale este chiar elementul neutru.

Față de înmulțirea pe mulțimea numerelor întregi avem două elemente simetrizabile, acestea sunt minus 1 și 1.

În acest caz, elementul neutru este tot 1, inversului 1 este chiar 1 și inversului minus 1 este chiar minus 1.

Față de înmulțirea pe mulțimea numerelor raționale, toate elementele cu excepția lui 0 sunt elemente inversabile.

Pentru că, pentru orice x din Q stelat, există 1 pe x aparținându-i Q stelat, astfel încât x ori 1 pe x să fie egal cu 1.

În mulțimea numerelor reale sau complexe în raport cu operația de înmulțire, toate elementele cu excepția lui 0 sunt inversabile.

Deci mulțimea unităților lui R este R stelat și mulțimea unităților lui C este C stelat.

Față de înmulțirea pe mulțimea matricilor pătratice cu elemente din mulțimea numerelor complexe,

elementul neutru este matrica unitate, am notat-o cu i indice n, și atunci mulțimea tuturor elementelor simetrizabile sau inversabile, pentru că e vorba de înmulțire,

va fi formată din mulțimea tuturor matricilor pătratice care au determinantul diferit de 0.

Dacă determinantul unei matrici pătratice este n-ul, atunci există A la minus 1, am numit-o matrica inversă, astfel încât A ori A la minus 1 este egal cu A la minus 1 ori A și este egal cu matrica unitate.

Vă propun spre rezolvare următorul exercițiu.

Se consideră Z4 mulțimea claselor de resturi modulo 4, adică clasa lui 0, clasa lui 1, clasa lui 2, clasa lui 3 modulo 4, cu operația de înmulțire.

Să se determine mulțimea unităților lui Z4.

Pentru aceasta trebuie să scriem tabla operației de înmulțire.

Opriți înregistrarea video și scrieți tabla operației de înmulțire pentru mulțimea Z4.

Ați obținut această tablă a operației.

Să ne uităm un pic la elementele din interiorul tablei acestei operații.

În primul rând, constatăm că operația de înmulțire pe Z4 este comutativă pentru că observăm simetrie față de diagonala principală a tablei.

Ar trebui să vedem acum cine este elementul neutru.

Pentru asta, căutăm o linie care este identică cu linia elementelor din Z4.

Această linie este linia clasei lui 1 și o coloană care este identică cu coloana elementelor din Z4.

Aceasta este coloana clasei lui 1.

Înseamnă că clasa lui 1 este elementul neutru în raport cu operația de înmulțire.

Pentru a identifica elementele simetrizabile, căutăm în interiorul tablei elementul 1.

Elementul neutru este aici și aici.

Asta înseamnă că clasa lui 1 ori clasa lui 1 ne dă clasa lui 1 și clasa lui 3 ori clasa lui 3 ne dă clasa lui 1.

Pentru că 1 este elementul neutru, înseamnă că inversul lui 1 este 1 și inversul lui 3 este 3.

Aceasta înseamnă că singurele două elemente inversabile din Z4 sunt clasa lui 1 și clasa lui 3

și atunci mulțimea unităților lui Z4 este clasa lui 1 și clasa lui 3.

În general, pentru a determina elementele simetrizabile ale unei mulțimi care este finită,

se utilizează tabla operației pentru a identifica elementele simetrizabile.

Pentru a determina simetricul unui element, x, procedăm astfel.

Se urmărește pe linia lui x elementul neutru.

Elementul corespunzător coloanei pe care se găsește elementul neutru reprezintă simetricul lui x.

Dacă pe linia unui element nu apare deloc elementul neutru, înseamnă că acel element nu este simetrizabil.

Să rezolvăm acum un alt exercițiu.

Pe mulțimea h egală cu interval închis 5, 7,

se definește legea de compoziție stea prin x stea y egal cu x y minus 6 pe lângă x plus y plus 42.

Lc înseamnă că este legea de compoziție.

Legea de compoziție stea este asociativă, comutativă și admită elementul neutru e egal cu 7.

Să se determine elementele simetrizabile ale mulțimii h în raport cu legea de compoziție stea.

Să scriem ce înseamnă că un element x din h este simetrizabil.

Opriți înregistrarea și scrieți definiția elementului simetrizabil.

Elementul x aparținându-i h este simetrizabil dacă există x prim element din h,

astfel încât x stea x prim egal cu x prim stea x și egal cu e.

Pentru exercițiul nostru, h este intervalul închis 5, 7

și elementul neutru este 7.

Înseamnă că x aparține intervalului închis 5, 7 este simetrizabil

dacă există x prim din intervalul închis 5, 7

astfel încât x stea x prim egal cu x prim stea x și este egal cu 7.

În textul exercițiului, operația este asociativă.

Asta înseamnă că dacă un element din h este simetrizabil,

atunci el are un simetric unic.

Ni se mai spune că legea de compoziție stea este comutativă,

ceea ce înseamnă că această egalitate este adevărată

pentru orice două elemente din h,

deci nu mai trebuie să o verificăm.

Faptul că elementul neutru este egal cu 7 l-am folosit aici înlocuindu-l pe e cu 7.

Pentru a găsi elementele simetrizabile ale mulțimii h

trebuie să pornim de la această egalitate

pentru a-l găsi pe x prim din intervalul 5, 7

atunci când x este din intervalul 5, 7.

Vom scrie ce înseamnă x stea x prim

folosindu-ne definiția legii de compoziție

și apoi vom privi relația x stea x prim egal cu 7

ca o ecuație în necunoscuta x prim

pentru că noi pe x prim trebuie să-l identificăm.

Apoi vom verifica dacă

atunci când x este din intervalul închis 5, 7

x prim este tot din intervalul 5, 7.

Am făcut ce am spus, am pornit de la această egalitate

m-am folosit de definiția legii de compoziție

am făcut calculele

și apoi pentru că spuneam că ne uităm la această relație de egalitate

ca la o ecuație în x prim, l-am separat pe x prim

asta fiind necunoscuta și

am ajuns la faptul că dacă x este diferit de 6

x prim este egal cu 6x-35

supra x-6

De ce trebuie ca x să fie diferit de 6?

Pentru ca această paranteză să fie diferită de 0

și să putem efectua împărțirea.

Dar x prim trebuie să aparține lui h când x aparține lui h

ceea ce înseamnă că x prim trebuie să aparține

intervalului închis 5, 7

pentru x din intervalul închis 5, 7

x prim aparține intervalului 5, 7

dacă x prim e mai mare sau egal cu 5

și mai mic sau egal cu 7

Vom rezolva acum aceste două inequații

x prim mai mare sau egal cu 5

și x prim mai mic sau egal cu 7

pentru x din intervalul închis 5, 7

Am rezolvat inequația 1

Am scris pe x prim cu cine este egal

Am mutat 5 din membrul drept în membrul stâng

Am adus la numitor comun

Atenție! Nu putem elimina numitorul pentru că e vorba de o inequație

și numitorul depinde de x

Am făcut calculele și am ajuns la inequația

x-5 supra x-6 mai mare sau egal cu 0

când x este din intervalul 5, 7

Am făcut tabelul de semne

semnului x-5, semnului x-6 și semnul fracției

x-5 se anulează în 5

pentru x mai mic decât 5 are semnul minus

pentru x mai mare decât 5 are semnul plus

x-6 se anulează în 6

pentru x mai mic decât 6 are semnul minus

pentru x mai mare decât 6 are semnul plus

Am ținut cont de faptul că x este din intervalul 5, 7

de aceea am și așurat aici porțiunea

pentru x mai mic decât 5 și pentru x mai mare decât 7

și am aplicat regula semnelor

În 6 fracția nu există

de fapt, x-1 există doar dacă x este diferit de 6

deci am pus bară verticală

și apoi am ales acele valori ale lui x

pentru care fracția este mai mare sau egală cu 0

acolo unde e 0, deci pentru x egal cu 5

și unde este mai mare decât 0, adică are semnul plus

pe intervalul deschis 6 închis 7

rezolvăm acum inequația 2

rezolvarea acestei inequații

este analoagă cu inequația 1

după ce înlocuim și calculăm, ajungem la minus x plus 7

supra x minus 6 mai mic sau egal cu 0

când x este din 5, 7

din nou am făcut tabelul de semne și pentru că fracția trebuie să fie mai mică

sau egală cu 0, înseamnă că fie are semnul minus

adică x este din intervalul închis 5 deschis 6

în 6 deschis pentru că fracția nu există

fie are valoarea 0 și asta se întâmplă când x este egal cu 7

pentru că inequațiile 1 și 2

formează de fapt un sistem de două inequații

rezultatul final se obține intersectând mulțimea soluțiilor în equație 1

cu mulțimea soluțiilor în equație 2

cu alte cuvinte, mulțimea H are doar două elemente simetrizabile

și aceste elemente sunt elementele 5 și 7