Element neutru

În acest videoclip voi defini și exemplifica o altă proprietate a legilor de compoziție, elementul neutru.

Pentru a defini elementul neutru, considerăm M o mulțime nevidă și o lege de compoziție stea definită pe M or M cu valori în M.

Spunem că legea de compoziție stea admite element neutru dacă există E aparținându-i M, astfel încât să aibă loc această relație, adică x de-a E egal cu s de-a X egal cu x pentru orice x din M.

Elementul E din M cu proprietatea 1, adică cu această proprietate, se numește element neutru pentru legea de compoziție stea.

Ce înseamnă cuvântul neutru? Opriți înregistrarea video și gândiți-vă la semnificația acestui cuvânt.

Cuvântul neutru exprimă, printre altele, indiferență și lipsă de participare.

Cred că este evident acum de ce E se numește element neutru.

Voi da în continuare câteva exemple de legi de compoziție care admit element neutru.

Operația de adunare pe oricare din mulțimile de numere naturale, întregi, raționale, reale sau complexe,

admite elementul neutru 0 pentru că x plus 0 este egal cu 0 plus x și este egal cu x pentru orice x din aceste mulțimi.

Operația de înmulțire pe mulțimea numerelor naturale, întregi, raționale, reale sau complexe,

admite elementul neutru 1 pentru că prin înmulțire cu 1 numărul rămâne neschimbat.

Operația de adunare pe mulțimea matricilor de tip MN cu elemente din mulțimea numerelor naturale, întregi, raționale, reale sau complexe,

admite elementul neutru 0 pentru că MN cu elemente din mulțimea numerelor naturale, întregi, raționale, reale sau complexe,

Înmulțirea pe mulțimea matricilor pătratice cu elemente din N, Z, Q, R sau C, admite la rândul ei elementul neutru,

elementul neutru fiind matrica unitate, am notat-o cu I indice N, și este matrica care are 1 pe diagonala principală și 0 în rest.

Mai sunt și alte operații care admit element neutru, dar am să mă opresc aici pentru că vreau să mă întorc la definiția elementului neutru pentru a comenta câteva aspecte ale definiției.

Rescriu axioma elementului neutru pentru că toate comentariile pe care le-am de făcut sunt referitoare la ea.

Observăm că în această relație ne apar două semne egal.

Aceasta înseamnă că X de-a E trebuie să fie egal cu S de-a X,

X de-a E trebuie să fie egal cu X,

și S de-a X trebuie să fie egal cu X.

Dacă legea de compoziție stea este comutativă, înseamnă că această egalitate are loc.

Știm că o lege de compoziție este comutativă dacă pentru orice două elemente din M, X și Y avem X de-a Y egal cu Y de-a X,

E fiind din M, X fiind din M, este adevărat că X de-a E este egal cu S de-a X.

Înseamnă că pentru a arăta că legea de compoziție stea care este comutativă admite element neutru,

este suficient să arătăm una din aceste două relații.

Dacă pentru legea de compoziție stea există un element din M astfel încât să aibă loc această egalitate,

atunci spunem că acel element este element neutru la dreapta.

L-am și notat aici cu E indice D.

Iar dacă pentru legea de compoziție stea există un element din M pentru care are loc această egalitate,

atunci spunem că legea de compoziție stea admite element neutru la stânga.

L-am notat cu E indice S.

De fapt, legea de compoziție stea admite element neutru dacă

admite element neutru la dreapta, admite element neutru la stânga și elementul neutru la dreapta este egal cu elementul neutru la stânga.

Există legi de compoziție care nu admit element neutru.

Dar există legi de compoziție care, de exemplu, admit element neutru la dreapta sau element neutru la stânga fără a admite element neutru.

De exemplu, operația de scădere pe mulțimea numerelor reale are element neutru la dreapta.

x-0 este egal cu x pentru orice x din R, deci 0 este elementul neutru la dreapta.

0 însă nu va fi element neutru la stânga pentru că 0-x nu este egal cu x pentru orice x real.

Un alt aspect din definiția elementului neutru asupra căruia aș vrea să insist este faptul că E trebuie să fie din mulțimea pe care este definită operația stea.

Deci E trebuie neapărat să fie din mulțimea M.

În definiția elementului neutru este foarte important și locul celor doi conectori, există și oricare.

Pentru că primul conector care apare în definiția elementului neutru este există, înseamnă că elementul neutru E nu depinde de x.

De altfel, ați putut vedea atunci când am dat exemplele, elementul neutru E-0, E-1, E-nulă, E-unitate.

Aceste elemente sunt elemente din mulțimea pe care este definită legea de compoziție și nu depind de x sau de A.

Și o ultimă observație referitoare la definiția elementului neutru, dacă legea de compoziție stea admite element neutru, atunci acesta este unic.

Cu alte cuvinte, noi nu putem avea două elemente neutre diferite pentru aceiași lege de compoziție.

Continuăm cu două exerciții.

Primul exercițiu se consideră mulțimea M egală cu E, A, B, C și pe această mulțime se definește operația T prin tabla operației.

Mi se cere să arătăm că legea de compoziție T admite element neutru.

Dacă observăm tabla operației, constatăm că linia lui E este identică cu linia elementelor din tabla operației,

adică ETE este E, ETA este A, ETB este B și ETC este C.

Ceea ce înseamnă că ETX este egal cu X pentru orice X din M pentru că M nu are decât cele patru elemente E, A, B și C.

Constatăm că și coloana lui E este identică cu coloana elementelor din M, adică ETE este E, ATE este A, BTE este B și CTE este C.

Aceasta înseamnă că XTE este egal cu X pentru orice X din M.

Pentru că au loc relațiile 1 și 2, înseamnă că E va fi element neutru pentru legea de compoziție T.

Această modalitate de a arăta că o legă de compoziție admită element neutru poate fi utilizată atunci când M este o mulțime finită.

Adică, dacă M este o mulțime finită și în tabla operației există o linie identică cu linia elementelor lui M

și o coloană identică cu coloana elementelor lui M, dacă elementul căruia îi corespunde linia identică, respectiv coloana identică, este același,

acel element este elementul neutru.

Și acum un alt exercițiu.

Pe mulțimea M egală cu intervalul închis minus 2 plus infinit se definește legea de compoziție STEA prin ASTEAB egal cu 3AB plus 6 pe lângă A plus B plus 10.

Să se arate că legea de compoziție STEA admite element neutru.

Noi trebuie să arătăm că există E din M, astfel încât X STEA E să fie egal cu STEA X egal cu X pentru orice X din M.

Legea de compoziție STEA pare a fi comutativă, pentru că ea e simetrică în X și Y,

așa că vom începe prin a arăta că operația STEA este comutativă, pentru a ne asigura că are loc prima egalitate.

Considerăm oricare două elemente X și Y din M,

scriem ce înseamnă X STEA Y și scriem ce înseamnă Y STEA X.

Observăm că, pe baza comutativității operației de înmulțire pe mulțimea numerelor reale, XY este egal cu YX

și pe baza comutativității operației de adunare pe mulțimea numerelor reale, X plus Y este egal cu Y plus X.

Ne rezultă că, de fapt, X STEA Y este egal cu Y STEA X.

Deci asta se întâmplă pentru orice două elemente din M, adică dacă acest E din M va exista, atunci relația de egalitate este verificată.

Mai rămâne să îl identificăm pe E, adică să-l chiar găsim, să zicem E este atât,

dacă el există.

Pentru aceasta ne vom folosi de această relație de egalitate, la care ne vom uita ca la o ecuație în care E este necunoscută.

Adică pentru orice X din M trebuie să aibă loc relația X STEA E egal cu X, scriem ce înseamnă X STEA E și apoi eliminăm paranteza.

Cum spuneam, ne uităm la această relație ca la o ecuație în E.

Înseamnă că vom identifica termenii care îl conțin pe E, este vorba de 3XE și 6E și îl vom da factor comun pe E.

Am trecut pe 5X plus 10 în celălalt membru și acum ca să-l determinăm pe E, noi ar trebui să împărțim cu 3X plus 6,

dar trebuie să ne asigurăm că 3X plus 6 nu este egal cu 0.

Deci dacă 3X plus 6 diferit de 0, adică X diferit de minus 2, putem efectua împărțirea și obținem că E este egal cu minus 5 supra 3.

Verificăm dacă minus 5 supra 3 este din mulțimea M, să nu uităm, elementul neutru trebuia să fie din mulțimea M.

Minus 5 supra 3 aparține intervalului minus 2 plus infinit, deci este din M.

Înseamnă că până la acest moment am arătat că pentru orice X din M diferit de minus 2, elementul neutru este minus 5 supra 3.

Vom vedea acum ce se întâmplă dacă X este egal cu minus 2.

Este minus 5 supra 3 element neutru și dacă X este minus 2 sau nu?

Deci dacă X este egal cu minus 2, efectuăm operația minus 2 stea minus 5 supra 3

și dacă obținem că rezultatul acestei operații este minus 2, înseamnă că minus 5 supra 3 verifică această relație și dacă X este egal cu minus 2.

Scriem ce înseamnă minus 2 stea minus 5 supra 3, facem calculele, simplificăm, aducem la numitor comun

și pe final ajungem la 10 minus 22 plus 10 care este egal cu minus 2.

Să vedem ce am arătat până acum.

Voi scrie în acest spațiu ca să avem exercițiul și rezolvarea la îndemână.

Am arătat că minus 5 supra 3 stea X este egal cu X stea minus 5 supra 3 pentru că operația stea este comutativă.

Am arătat că minus 5 supra 3 verifică egalitatea X stea E egal cu X pentru orice X din M diferit de minus 2

După care pentru X egal cu minus 2 am arătat că minus 2 stea minus 5 supra 3 este egal cu minus 2

adică minus 5 supra 3 stea X este egal cu X stea minus 5 supra 3 și este egal cu X pentru orice X din M

Am menționat că minus 5 supra 3 aparține lui M

știm că aparține lui M pentru că minus 5 supra 3 este mai mare decât minus 2 și M este intervalul minus 2 plus infinit

înseamnă că minus 5 supra 3 este elementul neutru pentru legea stea pe mulțimea M