Combinări

Să presupunem că, într-o urnă, avem 4 bile numerotate de la 1 la 4. Vrem să verificăm câte posibilități există de a extrage 3 numere din cele 4.

Pentru aceasta, va trebui să scriem toate submulțimile cu 3 elemente ale acestei mulțimi.

Aceste submulțimi vor fi următoarele 1, 2, 3, 1, 2, 4, sau 1, 3, 4, iar ultima variantă posibilă este 2, 3, 4.

Avem așadar 4 submulțimi cu 3 elemente. Numărul acestor submulțimi se notează astfel și se citește combinări de 4 elemente luate câte 3.

Așa cum am văzut, combinări de 4 luate câte 3 este egal cu 4, deoarece avem 4 submulțimi cu 3 elemente.

Atunci când discutăm despre combinări, nu contează ordinea în care sunt scrise elementele mulțimilor.

Dacă A este o mulțime cu N elemente, atunci combinări de N luate câte K reprezintă totalitatea submulțimilor de K elemente ale mulțimii A.

Vă reamintesc că aranjamente de N luate câte K reprezintă totalitatea submulțimilor ordonate de K elemente ale mulțimii A.

Dacă vom considera submulțimile de K elemente ale mulțimii A, atunci fiecare dintre acestea poate fi ordonată în P indice K moduri.

Așadar numărul total de submulțimi ordonate de K elemente va fi combinări de N luate câte K ori P indice K.

Dar totalitatea submulțimilor ordonate de K elemente este aranjamente de N luate câte K.

Așadar are loc această egalitate combinări de N luate câte K ori permutări de K egal cu aranjamente de N luate câte K.

Din această relație putem exprima combinări de N luate câte K și vom avea aranjamente de N luate câte K supra permutări de K elemente.

Aranjamente de N luate câte K este egal cu N factorial supra N minus K factorial, iar permutări de K este egal cu K factorial.

Vom obține în final N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.

Aceasta va fi formula combinărilor de N elemente luate câte K.

Așadar combinări de N luate câte K este egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.

N este număr natural nenul, K este număr natural, K este mai mic sau egal decât N.

Să calculăm de exemplu combinări de 4 luate câte 3 folosind această relație.

Obținem 4 factorial supra 3 factorial pe lângă 4 minus 3 factorial.

Egal cu 4 factorial supra 3 factorial ori 1 factorial.

Egal, exprimăm 4 factorial cu ajutorul lui 3 factorial.

Obținem 3 factorial ori 4 supra 3 factorial.

Simplificăm și egal în final cu 4.

Un alt exemplu, să calculăm combinat de 10 luate câte 8.

Aplicăm formula de mai sus și obținem 10 factorial supra 8 factorial pe lângă 10 minus 8 factorial.

Exprimăm 10 factorial cu ajutorul lui 8 factorial.

Obținem 8 factorial ori 9 ori 10 supra 8 factorial ori 2 factorial.

Se simplifică 8 factorial.

9 ori 10 este 90, 2 factorial este 2, iar 90 supra 2 este egal cu 45.

La următorul exercițiu aș vrea să răspundeți voi,

dacă într-o urnă avem bile numerotate de la 1 la 49,

câte posibilități există de a extrage 6 numere din 49?

Aștept răspunsurile voastre în secțiunea comentarii.

La final vom rezolva o ecuație.

Avem următoarea ecuație.

Combinat de n luate câte 3 este egal cu n pe lângă n minus 3.

Se cere să determinăm valorile numărului n.

Pentru început vom pune condițiile de existență pentru această ecuație.

Numărul combinat de n luat de câte 3 există,

dacă n este număr natural nenul,

n este mai mare sau egal decât 3.

Așadar, domeniul de existență pentru această ecuație

este mulțimea formată din elementele 3, 4, 5, 6 și așa mai departe.

Trecem acum la rezolvarea ecuației.

Pentru combinat de n luat de câte 3

avem următoarea formulă

n factorial supra 3 factorial pe lângă n minus 3 factorial

este egal cu n pe lângă n minus 3.

În continuare vom exprima numărul n factorial

cu ajutorul numărului n minus 3 factorial.

n factorial se poate scrie n minus 3 factorial

pe lângă n minus 2 ori n minus 1 ori n

supra 3 factorial este 6 pe lângă n minus 3 factorial

este egal cu n pe lângă n minus 3.

Observăm că se simplifică n minus 3 factorial.

De asemenea putem să împărțim această ecuație la n

pentru că n este diferit de 0

ținând cu unde faptul că n este mai mare sau egal decât 3

și atunci se simplifică și n

și obținem n minus 2 pe lângă n minus 1

totul supra 6 este egal cu n minus 3.

n minus 2 pe lângă n minus 1

este egal cu 6 pe lângă n minus 3.

Voi continua alăturat.

Desfacem parantezele și obținem

n pătrat minus 3n plus 2

este egal cu 6n minus 18.

n pătrat minus 9n plus 20

este egal cu 0.

Delta este 9 la pătrat 81 minus 4 ori 20.

81 minus 80 este egal cu 1.

n1 este 9 plus 1 pe 2 și egal cu 5.

n2 este egal cu 9 minus 1 pe 2 și egal cu 4.

Numerele 4 și 5 aparțin domeniului de existență

pentru ecuația dată

așadar soluția va fi mulțimea formată din numerele 4 și 5.