Transcript: Combinări

Să presupunem că, într-o urnă, avem 4 bile numerotate de la 1 la 4. Vrem să verificăm câte posibilități există de a extrage 3 numere din cele 4.
Pentru aceasta, va trebui să scriem toate submulțimile cu 3 elemente ale acestei mulțimi.
Aceste submulțimi vor fi următoarele 1, 2, 3, 1, 2, 4, sau 1, 3, 4, iar ultima variantă posibilă este 2, 3, 4.
Avem așadar 4 submulțimi cu 3 elemente. Numărul acestor submulțimi se notează astfel și se citește combinări de 4 elemente luate câte 3.
Așa cum am văzut, combinări de 4 luate câte 3 este egal cu 4, deoarece avem 4 submulțimi cu 3 elemente.
Atunci când discutăm despre combinări, nu contează ordinea în care sunt scrise elementele mulțimilor.
Dacă A este o mulțime cu N elemente, atunci combinări de N luate câte K reprezintă totalitatea submulțimilor de K elemente ale mulțimii A.
Vă reamintesc că aranjamente de N luate câte K reprezintă totalitatea submulțimilor ordonate de K elemente ale mulțimii A.
Dacă vom considera submulțimile de K elemente ale mulțimii A, atunci fiecare dintre acestea poate fi ordonată în P indice K moduri.
Așadar numărul total de submulțimi ordonate de K elemente va fi combinări de N luate câte K ori P indice K.
Dar totalitatea submulțimilor ordonate de K elemente este aranjamente de N luate câte K.
Așadar are loc această egalitate combinări de N luate câte K ori permutări de K egal cu aranjamente de N luate câte K.
Din această relație putem exprima combinări de N luate câte K și vom avea aranjamente de N luate câte K supra permutări de K elemente.
Aranjamente de N luate câte K este egal cu N factorial supra N minus K factorial, iar permutări de K este egal cu K factorial.
Vom obține în final N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.
Aceasta va fi formula combinărilor de N elemente luate câte K.
Așadar combinări de N luate câte K este egal cu N factorial supra K factorial pe lângă N minus K factorial.
N este număr natural nenul, K este număr natural, K este mai mic sau egal decât N.
Să calculăm de exemplu combinări de 4 luate câte 3 folosind această relație.
Obținem 4 factorial supra 3 factorial pe lângă 4 minus 3 factorial.
Egal cu 4 factorial supra 3 factorial ori 1 factorial.
Egal, exprimăm 4 factorial cu ajutorul lui 3 factorial.
Obținem 3 factorial ori 4 supra 3 factorial.
Simplificăm și egal în final cu 4.
Un alt exemplu, să calculăm combinat de 10 luate câte 8.
Aplicăm formula de mai sus și obținem 10 factorial supra 8 factorial pe lângă 10 minus 8 factorial.
Exprimăm 10 factorial cu ajutorul lui 8 factorial.
Obținem 8 factorial ori 9 ori 10 supra 8 factorial ori 2 factorial.
Se simplifică 8 factorial.
9 ori 10 este 90, 2 factorial este 2, iar 90 supra 2 este egal cu 45.
La următorul exercițiu aș vrea să răspundeți voi,
dacă într-o urnă avem bile numerotate de la 1 la 49,
câte posibilități există de a extrage 6 numere din 49?
Aștept răspunsurile voastre în secțiunea comentarii.
La final vom rezolva o ecuație.
Avem următoarea ecuație.
Combinat de n luate câte 3 este egal cu n pe lângă n minus 3.
Se cere să determinăm valorile numărului n.
Pentru început vom pune condițiile de existență pentru această ecuație.
Numărul combinat de n luat de câte 3 există,
dacă n este număr natural nenul,
n este mai mare sau egal decât 3.
Așadar, domeniul de existență pentru această ecuație
este mulțimea formată din elementele 3, 4, 5, 6 și așa mai departe.
Trecem acum la rezolvarea ecuației.
Pentru combinat de n luat de câte 3
avem următoarea formulă
n factorial supra 3 factorial pe lângă n minus 3 factorial
este egal cu n pe lângă n minus 3.
În continuare vom exprima numărul n factorial
cu ajutorul numărului n minus 3 factorial.
n factorial se poate scrie n minus 3 factorial
pe lângă n minus 2 ori n minus 1 ori n
supra 3 factorial este 6 pe lângă n minus 3 factorial
este egal cu n pe lângă n minus 3.
Observăm că se simplifică n minus 3 factorial.
De asemenea putem să împărțim această ecuație la n
pentru că n este diferit de 0
ținând cu unde faptul că n este mai mare sau egal decât 3
și atunci se simplifică și n
și obținem n minus 2 pe lângă n minus 1
totul supra 6 este egal cu n minus 3.
n minus 2 pe lângă n minus 1
este egal cu 6 pe lângă n minus 3.
Voi continua alăturat.
Desfacem parantezele și obținem
n pătrat minus 3n plus 2
este egal cu 6n minus 18.
n pătrat minus 9n plus 20
este egal cu 0.
Delta este 9 la pătrat 81 minus 4 ori 20.
81 minus 80 este egal cu 1.
n1 este 9 plus 1 pe 2 și egal cu 5.
n2 este egal cu 9 minus 1 pe 2 și egal cu 4.
Numerele 4 și 5 aparțin domeniului de existență
pentru ecuația dată
așadar soluția va fi mulțimea formată din numerele 4 și 5.