Unghiuri formate în jurul unui punct

Unghiuri formate în jurul unui punct.

Trei sau mai multe unghiuri se numesc unghiuri formate în jurul unui punct dacă îndeprinesc următoarele trei condiții.

Au vârful comun, au interioarele disjungte și reuniunea dintre laturile unghiurilor și interioarele acestora este întreg planul.

În următoarea figură geometrică avem un punct O, iar în jurul lui s-au format patru unghiuri.

Acestea sunt unghiurile AOB, BOC, COD și DOA.

Unghiurile formate în jurul unui punct au următoarea proprietate.

Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 360 grade.

Vom arăta în cele ce urmează că măsura unghiului AOB

plus măsura unghiului BOC

plus măsura unghiului COD

și plus măsura unghiului DOA

va fi de 360 grade.

Pentru a demonstra acest lucru vom face o construcție ajutătoare.

Prelungim semidreapta OC cu o semidreaptă opusă pe care o notăm cu OE.

Voi nota aceste unghiuri care s-au format cu numere pentru a le putea scrie mai ușor.

Confort notație pe care tocmai am făcut-o, unghiul AOB va fi unghiul O2

deci voi scrie egal mai departe cu măsura unghiului O2

plus unghiul BOC este unghiul O3

măsura unghiului O3

plus măsura unghiului O4

iar unghiul DOA se compune din unghiul O5 plus unghiul O1

deci voi scrie plus măsura unghiului O5

plus măsura unghiului O1

Avem aici o sumă cu mai mulți termeni.

Știm că adunarea este comutativă și atunci vom putea schimba locul acestor termeni.

Voi scrie egal mai departe cu măsura unghiului O1

plus măsura unghiului O2

plus măsura unghiului O3

plus măsura unghiului O4

și plus măsura unghiului O5

Dacă ne uităm pe figură observăm că unghiul O1 plus O2 plus O3

formează unghiul EOC

acesta este un unghi alungit

având măsura de 180 grade

deci suma primelor trei măsuri

O1 plus O2 plus O3 va fi egală cu 180 grade

și de asemenea măsura unghiului O4 plus măsura unghiului O5

va fi tot 180 grade

Vom scrie egal în continuare cu 180 grade plus 180 grade

egal mai departe cu 360 grade

Am demonstrat că suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct

este de 360 grade

În continuare vom face o problemă

Unghiurile AOB, BOC și COA

sunt unghiuri în jurul unui punct

Aflați măsurile lor știind că măsura unghiului AOB

este egală cu doi ori măsura unghiului BOC

și măsura unghiului COA

va fi egală cu măsura unghiului BOC plus 80 grade

Să facem și figura geometrică

Avem trei unghiuri în jurul punctului O

Având în vedere că unghiurile AOB și COA

se exprimă cu ajutorul unghiului BOC

voi nota măsura unghiului BOC cu X

Atunci măsura unghiului AOB

fiind de două ori mai mare decât măsura unghiului BOC

se poate nota cu 2X

Iar măsura unghiului COA

fiind egală cu măsura unghiului BOC plus 80 grade

aceasta poate fi notată cu X plus 80

Știm că măsura unghiurilor

formată în jurul unui punct

este de 360 grade

Voi scrie acest lucru

măsura unghiului AOB

plus măsura unghiului BOC

plus măsura unghiului COA

este de 360 grade

Să scriem și notațiile făcute

Am notat măsura unghiului BOC

cu litera X

și atunci conform datelor problemei

măsura unghiului AOB

va fi egală cu 2X

și măsura unghiului COA

se va scrie X plus 80

Din toate aceste 3 relații

putem să scriem următoarea relație

Înlocuim fiecare măsură cu noile notații

În loc de măsura unghiului AOB

vom scrie 2X

În loc de măsura unghiului BOC

o să scriem X

și în loc de măsura unghiului COA

vom scrie X plus 80

egal cu 360

Am obținut o ecuație

în care avem necunoscuta X

2X plus X este 3X

plus X este 4X

plus 80

egal cu 360

Încercăm să separăm termenii

care conține cunoscuta X

de ceilalți termeni

Ca să eliminăm numărul 80

din membrul stâng

va trebui să scădem

acest număr din ambii membri ai relației

și obținem 4X

egal cu 360

minus 80

4X va fi egal cu 280

Împărțim egalitatea la 4

membru cu membru

și obținem X

egal cu 280

împărțit la 4

X va fi egal

cu 70 de grade

Deci am obținut măsura unghiului BOC

aceasta este 70 de grade

Voi scrie că măsura unghiului BOC

este egală cu 70 de grade

Acum aflăm măsura unghiului AOB

aceasta este egală cu 2X

adică 2 ori 70 de grade

egal cu 140 de grade

și măsura unghiului COA

este X plus 80 de grade

adică 70 plus 80

și obținem 150 de grade

Așadar am aflat măsurile acestor unghiuri

putem să ștergem acum notațiile făcute

și să scriem măsurile pe care le-am obținut