Transcript: Unghiuri formate în jurul unui punct

Unghiuri formate în jurul unui punct.
Trei sau mai multe unghiuri se numesc unghiuri formate în jurul unui punct dacă îndeprinesc următoarele trei condiții.
Au vârful comun, au interioarele disjungte și reuniunea dintre laturile unghiurilor și interioarele acestora este întreg planul.
În următoarea figură geometrică avem un punct O, iar în jurul lui s-au format patru unghiuri.
Acestea sunt unghiurile AOB, BOC, COD și DOA.
Unghiurile formate în jurul unui punct au următoarea proprietate.
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 360 grade.
Vom arăta în cele ce urmează că măsura unghiului AOB
plus măsura unghiului BOC
plus măsura unghiului COD
și plus măsura unghiului DOA
va fi de 360 grade.
Pentru a demonstra acest lucru vom face o construcție ajutătoare.
Prelungim semidreapta OC cu o semidreaptă opusă pe care o notăm cu OE.
Voi nota aceste unghiuri care s-au format cu numere pentru a le putea scrie mai ușor.
Confort notație pe care tocmai am făcut-o, unghiul AOB va fi unghiul O2
deci voi scrie egal mai departe cu măsura unghiului O2
plus unghiul BOC este unghiul O3
măsura unghiului O3
plus măsura unghiului O4
iar unghiul DOA se compune din unghiul O5 plus unghiul O1
deci voi scrie plus măsura unghiului O5
plus măsura unghiului O1
Avem aici o sumă cu mai mulți termeni.
Știm că adunarea este comutativă și atunci vom putea schimba locul acestor termeni.
Voi scrie egal mai departe cu măsura unghiului O1
plus măsura unghiului O2
plus măsura unghiului O3
plus măsura unghiului O4
și plus măsura unghiului O5
Dacă ne uităm pe figură observăm că unghiul O1 plus O2 plus O3
formează unghiul EOC
acesta este un unghi alungit
având măsura de 180 grade
deci suma primelor trei măsuri
O1 plus O2 plus O3 va fi egală cu 180 grade
și de asemenea măsura unghiului O4 plus măsura unghiului O5
va fi tot 180 grade
Vom scrie egal în continuare cu 180 grade plus 180 grade
egal mai departe cu 360 grade
Am demonstrat că suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct
este de 360 grade
În continuare vom face o problemă
Unghiurile AOB, BOC și COA
sunt unghiuri în jurul unui punct
Aflați măsurile lor știind că măsura unghiului AOB
este egală cu doi ori măsura unghiului BOC
și măsura unghiului COA
va fi egală cu măsura unghiului BOC plus 80 grade
Să facem și figura geometrică
Avem trei unghiuri în jurul punctului O
Având în vedere că unghiurile AOB și COA
se exprimă cu ajutorul unghiului BOC
voi nota măsura unghiului BOC cu X
Atunci măsura unghiului AOB
fiind de două ori mai mare decât măsura unghiului BOC
se poate nota cu 2X
Iar măsura unghiului COA
fiind egală cu măsura unghiului BOC plus 80 grade
aceasta poate fi notată cu X plus 80
Știm că măsura unghiurilor
formată în jurul unui punct
este de 360 grade
Voi scrie acest lucru
măsura unghiului AOB
plus măsura unghiului BOC
plus măsura unghiului COA
este de 360 grade
Să scriem și notațiile făcute
Am notat măsura unghiului BOC
cu litera X
și atunci conform datelor problemei
măsura unghiului AOB
va fi egală cu 2X
și măsura unghiului COA
se va scrie X plus 80
Din toate aceste 3 relații
putem să scriem următoarea relație
Înlocuim fiecare măsură cu noile notații
În loc de măsura unghiului AOB
vom scrie 2X
În loc de măsura unghiului BOC
o să scriem X
și în loc de măsura unghiului COA
vom scrie X plus 80
egal cu 360
Am obținut o ecuație
în care avem necunoscuta X
2X plus X este 3X
plus X este 4X
plus 80
egal cu 360
Încercăm să separăm termenii
care conține cunoscuta X
de ceilalți termeni
Ca să eliminăm numărul 80
din membrul stâng
va trebui să scădem
acest număr din ambii membri ai relației
și obținem 4X
egal cu 360
minus 80
4X va fi egal cu 280
Împărțim egalitatea la 4
membru cu membru
și obținem X
egal cu 280
împărțit la 4
X va fi egal
cu 70 de grade
Deci am obținut măsura unghiului BOC
aceasta este 70 de grade
Voi scrie că măsura unghiului BOC
este egală cu 70 de grade
Acum aflăm măsura unghiului AOB
aceasta este egală cu 2X
adică 2 ori 70 de grade
egal cu 140 de grade
și măsura unghiului COA
este X plus 80 de grade
adică 70 plus 80
și obținem 150 de grade
Așadar am aflat măsurile acestor unghiuri
putem să ștergem acum notațiile făcute
și să scriem măsurile pe care le-am obținut