Trunchiul de piramidă regulată (aplicații)

Să aplicăm acum formulele învățate pentru trunchiul de piramidă regulată, mai exact vom avea un trunchi de piramidă triangulară regulată.

Ni se dă această piramidă triangulară regulată cu înălțimea de 9 cm și muchea bazei de 18 cm.

Secționăm piramida cu un plan paralel cu baza situat la 3 cm de bază, să găsim area totală și volumul trunchiului de piramidă care se formează.

Deci, în această piramidă știm că muchea bazei este de 18 cm, deci trecem aici că avem 18 cm și mai știm că înălțimea VO are 9 cm.

Secționăm piramida cu un plan paralel cu baza situat la 3 cm de bază.

Deci, dacă am secționat această piramidă cu un plan paralel cu baza, acest plan este situat la 3 cm de bază.

Ce ne spune acest lucru? Că dacă VO intersectează acest plan în punctul oprim, atunci oprim O are 3 cm și cum VO are 9 cm, înseamnă că VO prim are 9 minus 3, adică 6 cm.

Și să trecem aici să notăm și acest plan cu A prim, B prim, C prim.

Deci trebuie să găsim area totală și volumul trunchiului de piramidă A, B, C, A prim, B prim, C prim.

Care este formula pentru area totală?

Păi ca să găsim area totală avem nevoie mai întâi de area laterală, adică trebuie să trecem aici.

Deci area laterală, avem perimetrul bazei mici adunat cu perimetrul bazei mari înmulțit cu apotema trunchiului de piramidă supra 2.

Deci avem nevoie pe lângă muchea bazei mari și de muchea bazei mici și de apotema trunchiului de piramidă.

Cum le determinăm? Care e ideea de rezolvare?

Păi când am vorbit despre secțiuni paralele cu baza am văzut că datorită acestei secțiuni paralele se formează foarte multe triunghiuri asemenea.

Și chiar am vorbit și de corpuri asemenea această piramidă Va'B'C' este asemenea cu piramida mare și am vorbit și de raportul de asemănare care se formează.

Și haideți să ne amintim pe scurt. Iată, triunghiul A'B'C' este asemenea cu triunghiul ABC.

O să notez aici că triunghiul A'B'C' asemenea cu triunghiul ABC.

Păi din acest raport de asemănare, din această relație de asemănare se formează următoarele rapoarte.

Și avem A'B' supra AB egal cu B'C' supra BC egal mai departe și cu A'C' supra AC.

Dar și triunghiul Va'B' este asemenea cu triunghiul VAB.

Deci triunghiul Va'B' asemenea cu triunghiul VAB.

Asta înseamnă că raportul A'B' supra AB, pe care iată îl regăsim aici, este egal.

Deci putem să trecem egal în continuare cu V' supra VA egal mai departe cu VB' supra VB.

Evident, același lucru se întâmplă și în cazul triunghiurilor VB'C' asemenea cu VBC.

Deci VB' supra VB, adică acest raport este egal și cu VC' supra VC.

Deci putem să trecem în continuare VC' supra VC.

Și o să trecem aici, în această parte, să nu se subînțeleagă că din această relație reiese egalitatea cu raportul VC' supra VC.

Bun. Ce mai avem?

Păi mai avem, de exemplu, și triunghiul VO'B' asemenea cu VOB.

Deci triunghiul VO'B' asemenea cu triunghiul VOB.

Ce rezultă de aici?

Rezultă că VB' supra VB, adică acest raport, este egal, deci putem să trecem egal în continuare, cu VO' supra VO și OB' supra OB.

Egal mai departe și cu O'C' supra OB.

Egal mai departe și cu O'C' supra OC și cu O'A' supra OA.

Și mai avem, probabil, și alte rapoarte de asemănare.

Dacă am construit și apotema piramidei, atunci o să obținem alte două triunghiuri asemenea și vom continua cu aceste egalități.

Notăm cu capa raportul de asemănare.

Bun. De vreme ce avem toate aceste rapoarte, o să ne fie destul de simplu să găsim elementele trunghiului de piramidă.

De ce? Pentru că noi, iată, avem, știm cât este VO' și VO'.

Cu alte cuvinte, cunoaștem acest raport pe care chiar o să-l încerc cu est.

VO' supra VO. E un raport pe care îl cunoaștem și în funcție de el vom găsi și celelalte elemente ale trunghiului de piramidă.

Momentan. Să ștergem aici.

Această relație pe care am scris-o aici o vom trece mai sus.

Și acum, am spus că avem acest raport VO' supra VO, adică șase supra nouă și vrem să găsim, de exemplu, muchea bazei mici A'B'.

Unde apare A'B'? Aici.

Deci avem această egalitate A'B' supra AB egal cu VO' supra VO.

De unde rezultă că A'B' supra AB este 18 egal cu VO' care este 6 supra VO care este 6 plus 3, adică nouă.

Avem o proporție, determinăm pe A'B' care este egal cu 18 ori 6 supra nouă.

Putem să simplificăm aici prin nouă și ne rămâne 1 și 2, 2 ori 6, 12.

Deci egal mai departe cu 12 centimetri și venim, trecem și aici pe figură.

Deci am găsit muchea bazei mici.

Avem nevoie să determinăm acum și a potema trunchiului de piramidă.

Și pentru a face acest lucru avem mai multe variante.

O variante este aceea de a determina muchea laterală a trunchiului de piramidă.

Și atunci, ca să găsim înălțimea în trunchiul de piramidă, putem să lucrăm în plan, adică luăm separat trapezul B, C, C'B'.

Cunoaștem lungimea bazei mici, lungimea bazei mari, cunoaștem aceste și lungimirile laturilor B'B și C'C'B'

și atunci construim înălțimea și o aflăm.

O altă variantă este acia de a construi apotema piramidei.

Și pentru aceasta trecem aici mijlocul segmentului B, C.

Nu voi mai trece, ca nu voi mai hașura B, M și M, C.

Ca să nu încărcăm notația, construim mediana V, M care este și înălțime pentru că vorbim de un triunghi isoscel.

Deci avem aici V, M.

Asta înseamnă că avem aici un unghi de 90 de grade.

Punctul de intersecție al segmentului V, M cu B'C', îl trecem aici, îl notăm cu M'

și M' este mijlocul segmentului B'C'.

Și ce am obținut aici, chiar o să șterg aici să trecem B' mai aproape.

Ce am obținut aici M'M este de fapt apotema trunchiului de piramidă.

Deci putem să notăm aici apotema trunchiului de piramidă.

Bun, cum facem să determinăm?

Păi putem să ne folosim de triunghiurile V, O' M' care este asemenea cu triunghiul V, O, M.

Cunoaștem raportul V, O' supra V, O însă o să avem nevoie și de lungimea segmentului V, M.

Cum determinăm lungimea acestui segment V, M?

Păi e foarte simplu, în triunghiul V, O, M putem să aplicăm teorema lui Pitagora

pentru că triunghiul V, O, M este un triunghi dreptunghic în O.

Însă mai înainte trebuie să găsim lungimea segmentului O, M adică apotema bazei mari.

Și pentru aceasta putem să notăm că în triunghiul A, B, C am mai făcut asemenea rezolvări

care este echilateral.

Centrul cercului circumscris coincide cu centrul de greutate notat G.

Rezultă că O, M are lungimea egală cu o treime din lungimea segmentului A, M

care atenție este și mediană dar și înălțime într-un triunghi echilateral.

Atunci dacă notăm cu L, latura triunghiului echilateral, lungimea înălțimii A, M

este egală cu L radical din 3 supra 2.

Deci putem să trecem în continuare că avem 1 supra 3 înmulțit cu L mare este 18.

Deci avem aici 18 radical din 3 pe 2.

3 ori 2 ne dă 6, 18 împărțit la 6 ne dă 3.

Deci avem 3 radical din 3 centimetri și am găsit lungimea segmentului O, M.

Trecem aici 3 radical din 3.

Acum, ca să găsim cât este V, M, avem în triunghiul V, O, M

măsura unghiului O. Știm că este de 90 de grade

pentru că V, O este înălțime perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în planul A, B, C

deci și pe O, M

și rezultă conform teoremei lui Pitagora că V, M la pătrat

lungimea acestui segment este egală cu V, O la pătrat

adunat cu O, M la pătrat.

Și acum nu facem decât să înlocuim V, M la pătrat egal cu V, O este 6 cu 3 adică 9

la a doua trecem direct 81 plus

O, M la pătrat 3 radical din 3 la a doua înseamnă 27 deci obținem 108

cu alte cuvinte V, M este egal cu radical din 108 adică 6 radical din 3 centimetri

și voi șterge aici

o să las doar ultima relație

și anume valoarea lui V, M.

triunghiul V, O, M este asemenea cu triunghiul V, O, M

ce rezultă de aici?

rezultă că avem această egalitate de rapoarte și anume

V, O, M este egal cu V, M, O, M

nu uitați, noi vrem să determinăm segmentul M, M

știm cât este V, M, deci avem nevoie și de V, M, M

sigur, acest raport puteam să îl trecem în continuare

pentru că regăsim V, O, M, O și aici

și putem să trecem și că este egal cu O, M, O, M

dacă vrem să aflăm și pe O, M, O

și acum înlocuim rezultă că V, O, M este 6

V, O, M este 9

deci 6 supra 9 este egal cu V, M, 1

supra V, M, 6 radical din 3

și rezultă că V, M, 1 cât ne dă?

avem o proporție 6 ori 6 radical din 3

supra 9

avem aici 36 împărțit la 9

4 radical din 3 centimetri

și am găsit cât este V, M și cât este V, M, 1

pe cât este M, 1, M?

M, 1, M este V, M, minus V, M, 1

deci V, M, minus V, M, 1

egal cu 6 radical din 3

minus 4 radical din 3

adică 2 radical din 3 centimetri

și iată că am găsit și valoarea apotemei trunchiului de piramidă

deci ștergem aici

și vom trece cât am găsit

și anume 2 radical din 3 centimetri

acum haide să determinăm area laterală

pentru că avem tot ce ne trebuie

deci putem să ștergem tot ce am scris aici

reținem că V, M are 6 radical din 3 centimetri bun

cred că avem suficient spațiu să calculăm

area laterală

care este egală cu perimetrul bazei mici

deci avem 3 înmulțit cu 12 adunat

cu 3 înmulțit cu perimetrul bazei mari 18

înmulțit cu apotema trunchiului de piramidă 2 radical din 3

supra 2

și acum putem să simplificăm pe 2 și 2 prin 2 ne rămâne aici 1 și 1

și aici vom avea așa 12 plus 18 ne dă 30

ori 3, 90

deci avem 90 radical din 3 centimetri pătrați

area totală să trecem formula

este egală cu area laterală plus area bazei mici plus area bazei mari

cât este area bazei mici?

păi avem așa L mic dacă notăm aici cu L mic

avem L mic la a doua radical din 3 pe 4

deci 12

la a doua radical din 3 supra 4

sau putem să scriem 12 ori 12 chiar o să scriu așa ca să facem un calcul rapid

deci 12 ori 12 radical din 3

noi putem să simplificăm aici 4 și 12 ne rămâne 1 și 3

3 ori 12 36 radical din 3

area bazei mari să vedem cât este o voi trece aici

area bazei mari

L mare la a doua radical din 3 supra 4

în loc de 18 la pătrat o să scriu tot așa

18 ori 18 ori radical din 3 supra 4

și aici putem să simplificăm pe 18 și 4 prin 2

o să ne rămână 9 și 2 la fel și aici

9 ori 9 o să ne dea 81 radical din 3

centimetri pătrați

la fel centimetri pătrați și aici

păi ce rezultă?

area totală cu cât este egală

avem area laterală 90 radical din 3

plus area bazei mici 36 radical din 3

plus area bazei mari 81 radical din 3

egal cu avem 6 cu 1 7

8 cu 3 11 cu 9 20

deci 207 radical din 3 centimetri pătrați

nu ne-a rămas decât să calculăm

volumul notăm formula pentru volum

avem înălțimea pe 3

înmulțit cu area bazei mari

plus area bazei mici plus radical din

area bazei mari înmulțită cu area bazei mici

deci egal cu s-au mai bine zis rezultă

volumul ne va da

înălțimea trunchiului de piramidă

supra 3 înălțimea trunchiului de piramidă

adică H este O prim O care este egal cu 3

deci avem 3 supra 3 înmulțit cu

area bazei mari 81 radical din 3

plus area bazei mici 36 radical din 3

plus radical din 81

ori 36 și mai avem aici radical din 3

o radical din 3 care ne dă 3

bun și facem acest calcul vom obține

81 cu 36 care ne dă

117 radical din 3

plus și vom avea aici 9

ori 6 deci 54 radical din 3

obținem în final facem suma chiar o să o trec aici

171 radical din 3

centimetri cub și astfel am determinat și

volumul trunchiului de piramidă deci avem area

laterală area totală care ne-a dat 207

radical din 3 și volumul 171 radical din 3 centimetri cub