Trunchiul de piramidă (definiție, elemente)

Avem aici o piramidă patrulateră pe care o secționăm după un plan paralel cu baza.

Secțiunea obținută este această figură geometrică care este asemenea cu baza piramidei

și de remarcat este faptul că oriunde am așeza acest plan, fie foarte aproape de vârf, fie din ce în ce mai aproape de bază,

vom obține întotdeauna două corpuri geometrice, ceea nume, o piramidă mai mică și partea de jos se numește trunc de piramidă, iată.

Deci avem aici, să se vadă mai bine, piramida mai mică și ce avem aici la bază se numește trunc de piramidă.

Să vedem acum care sunt elementele trunchiului de piramidă.

Trunchiul de piramidă are două baze paralele, iată, baza A, B, C, D este paralelă cu baza A prim, B prim, C prim, D prim

și poligoanele A, B, C, D și A prim, B prim, C prim, D prim sunt poligoane asemenea.

Deci reținem că bazele sunt poligoane asemenea și sunt situate în plane paralele.

Fețele laterale, de exemplu A prim, B prim, B, A, ce sunt? Sunt trapeze.

Deci reținem și acest fapt că fețele laterale sunt trapeze.

Același lucru se întâmplă și în cazul unui trunc de piramidă triunghiulară.

Vom avea bazele triunghiuri asemenea iar fețele laterale vor fi tot trapeze.

Avem aici A, B, muchii a bazei mari, A prim, B prim, muchii a bazei mici, A prim, A sau B prim, B,

oricare dintre aceste patru muchii se numesc muchii laterale.

Înălțimea într-un trunc de piramidă, iată, reprezintă segmentul cuprins între cele două baze și perpendicular pe ele.

Nu are importanță unde trecem înălțimea într-un trunc de piramidă.

Știm că într-un trunc de piramidă, oricare două înălțimi sunt congruente.

Ca să desenăm un trunc de piramidă, e mai simplu să pornim de la piramida din care acesta face parte.

Astfel.

Avem piramida patrulateră V, A, B, C, D.

Știm deja că dacă secționăm piramida cu un plan paralel cu baza, vom obține un trunc de piramidă.

Atenție! Trunchiul de piramidă moștenește proprietățile piramidei din care provine.

Astfel, dacă ni se dă o piramidă patrulateră regulată, atunci o să ne rezulte un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

Și acum să vedem planul care este paralel cu planul bazei și să construim trunchiul de piramidă.

Vom trasa acest segment, apoi pe acesta, pe acesta, cu alte cuvinte construim baza mică a trunchiului de piramidă și pe acesta.

Vom încolora tot cu portocaliu și muchiile laterale, precum și muchiile bazei A, B, C, D.

Vom obține un trunchi de piramidă pe care haideți să-l denumim.

Înainte de aceasta să facem în așa fel încât să nu se mai vadă acest plan.

Bun, și avem aici A' B' C' D'.

Deci avem trunchiul de piramidă patrulateră regulată A, B, C, D, A' B' C' D'.

Fețele laterale sunt trapezei soscele congruente.

Deci putem aici să notăm că aceste muchi laterale sunt congruente și fețele laterale de pet sunt trapezei soscele congruente.

Bazele sunt pătrate asemenea.

Deci trecem aici că pătratul A, B, C, D este asemenea cu pătratul A' B' C' D'.

Când vorbim de înălțimea într-un trunchi de piramidă, atunci să știți că în general alegem segmentul care se află între cele două baze și se află pe înălțimea piramidei.

Atunci să construim înălțimea acestei piramide V, A, B, C, D.

Cu alte cuvinte construim mai întâi centrul cercului circumscris bazei.

Deci trasăm intersecția diagonalelor.

Vom trece aici punctul O.

V, O este înălțime în această piramidă.

Și chiar o să trecem și intersecția înălțimii piramidei cu baza mică.

Cu alte cuvinte avem aici, să o facem tot punctat, trebuie să trasăm centrul cercului circumscris bazei mici care intersectează înălțimea V, O într-un punct pe care o să-l notăm aici O'

Nu știu dacă se vede prea bine.

O' este înălțime în trunchiul de piramidă.

Apotema trunchiului de piramidă este înălțimea unei fețe laterale.

Și de obicei alegem ca apotema a trunchiului de piramidă segmentul aflat pe apotema piramidei și cuprins între cele două baze.

Deci vrem să construim apotema piramidei mai întâi.

Trecem aici punctul M care este mișlocul segmentului B, C.

Și atunci dacă unim pe V cu M, V M este apotema a piramidei.

Avem aici punctul B prim.

Aici avem punctul M prim, intersecția dintre B prim, C prim și V M.

Chiar o să șterg aici pe B prim ca să trecem ceva mai departe.

Deci avem aici B prim.

De vreme ce V M este perpendiculară pe B C, avem aici un unghi de 90 de grade.

Cum B prim, C prim este paralelă cu B C înseamnă că și aici avem tot un unghi de 90 de grade.

Cu alte cuvinte apotema trunchiului de piramidă este M prim M.

Și chiar putem să notăm.

Apotema trunchiului de piramidă se notează cu A T R de la trunchi este egală cu M prim M.

Apotema bazei mari a trunchiului de piramidă este perpendiculară adusă din centru cercului circumscris pe o muche a bazei.

Știm deja că aceasta este O M.

Deci trecem aici că apotema bazei mari, dacă ne referim la trunchiul de piramidă o să trec aici un B mare de la apotema bazei mari este O M.

Deci perpendiculară adusă din centru cercului circumscris bazei pe o muche a bazei.

Și acum apotema bazei mici care se notează cu A indice B mic, trebuie să ducem perpendiculara din O prim pe B prim C prim, adică vorbim de O prim M prim.

Și să o trasăm, bun, aceasta este, și să o trecem și aici, este apotema bazei mici, O prim M prim.

Cu alte cuvinte, într-un trunchi de piramidă, iată am șters piramida și haideți acum să ștergem și aceste linii care sunt în plus,

care sunt elementele unui trunchi de piramidă.

Să facem și aici că avem 90 de grade.

Avem așa, înălțimea trunchiului de piramidă care este O prim O, apotema trunchiului de piramidă care este M prim M, apotema bazei mari care este O M și apotema bazei mici care este O prim M prim.

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată, avem, iată, O prim O este înălțimea trunchiului de piramidă, M prim M este apotema trunchiului de piramidă, O prim M prim este apotema bazei mici și O M este apotema bazei mari.