Teoreme de perpendicularitate

În continuare enumerăm câteva teoreme importante de perpendicularitate.

Pe prima deja o cunoaștem, o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.

Deci, dreapta D este perpendiculară pe dreapta A mic, dreapta D perpendiculară pe A mic.

Atenție, să nu ne sperie aici faptul că nu am mai desenat dreapta D perpendiculară pe dreptele A și B în punctul A, ci am desenat-o aici și nu concurentă cu cele două drepte.

Chiar și așa, dreptele D și A sunt drepte necoplanare, dar unghiul format de ele este tot de 90 de grade, deci putem să scriem că dreptele D și A sunt drepte perpendiculare.

La fel, dreapta D este perpendiculară pe dreapta B, dreptele A și B sunt drepte concurente, se intersectează în punctul A mare și ele fac parte din planul alfa, sunt incluse în alfa.

Atunci, din toate aceste relații și din teorema de mai sus rezultă că dreapta D este perpendiculară pe plan, deci trecem D perpendiculară pe alfa.

O altă teoremă, două drepte perpendiculare pe un același plan sunt paralele, deci dacă avem dreptele A și B perpendiculare pe un plan, A perpendiculară pe planul alfa,

iar dreapta B este perpendiculară tot pe planul alfa, atunci rezultă că dreptele A și B sunt drepte paralele, A paralelă cu B. Și o altă teoremă, dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane, atunci cele două plane sunt paralele.

În această situație avem dreapta D perpendiculară și pe planul alfa și pe planul gama, deci dreapta D perpendiculară pe alfa, dreapta D este perpendiculară în același timp și pe gama, atunci rezultă că cele două plane sunt paralele, alfa paralel cu gama.

Deci când avem o dreaptă perpendiculară pe două plane, înseamnă că cele două plane sunt paralele. Nu vom face demonstrațiile acestor teoreme, însă e foarte bine să le reținem pentru că le vom folosi în probleme.