Teorema înălţimii (teorie)

În această lecție o să învățăm teorema înălțimii într-un triungh dreptunghic, dar mai întâi aș vrea să vă reamintesc o noțiune învățată la algebră și anume media geometrică a două numere.

Dacă avem două numere pozitive A și B, atunci media geometrică a acestor două numere este radical din produsul lor.

Dacă ridicăm la pătrat această egalitate, obținem că media geometrică la pătrat este egală cu A ori B.

Media geometrică se mai numește și media proporțională a numerelor A și B.

Și acum putem să enunțăm teorema înălțimii.

Într-un triungh dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Avem un triungh dreptunghic ABC și am dus înălțimea AD corespunzătoare ipotenuzei BC.

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt BD și DC.

Atunci AD la pătrat va fi egal cu BD ori DC.

O să demonstrăm această teoremă.

Vom arăta că triunghul ABD este asemenea cu triunghul CAD.

Pentru că nu avem nicio informație referitoare la lungimile laturilor acestor două triunghiuri,

vom arăta că ele sunt asemenea conform primului caz de asemânare și vom demonstra că aceste triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente.

Așadar ne propunem să arătăm că triunghul ABD este asemenea cu triunghul CAD.

Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice,

deci o pereche de unghiuri congruente ar fi unghiurile ADB și ADC,

deoarece acestea sunt unghiuri drepte.

Unghiul ADB este congruent cu unghiul ADC,

pentru că acestea au măsura egală cu 90 de grade.

Vom arăta în continuare că unghiul ABD este congruent cu unghiul CAD.

Știm că în triunghiul ABC suma măsurilor unghiurilor sale este de 180 de grade,

deci putem să scriem că măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C este egală cu 180 de grade.

Măsura unghiului A este de 90 de grade,

deci putem să scriem 90 de grade plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C este egală cu 180 de grade.

De aici va rezulta că măsura unghiului B plus măsura unghiului C va fi egală cu 180 de grade minus 90, adică 90 de grade.

De unde va rezulta că măsura unghiului B este egală cu 90 de grade minus măsura unghiului C.

Notam această relație cu 1.

Acum să ne uităm în triunghiul ADC și în acest triunghi suma măsurilor este de 180 de grade.

Vom scrie că măsura unghiului ADC plus măsura unghiului DAC plus măsura unghiului C este egală cu 180 de grade.

Măsura unghiului ADC este de 90 de grade.

90 plus măsura unghiului DAC plus măsura unghiului C va fi egală cu 180 de grade.

De aici va rezulta că măsura unghiului DAC plus măsura unghiului C este egală cu 180 minus 90, egal cu 90 de grade.

Exprimăm din această relație măsura unghiului DAC.

Aceasta va fi egală cu 90 de grade minus măsura unghiului C.

Notăm această relație cu 2.

Din relațiile 1 și 2 putem afirma că unghiul B, adică unghiul ABD, este congruent cu unghiul DAC deoarece aceste două unghiuri au același complement.

Din relația 1 și 2 rezultă că unghiul ABD este congruent cu unghiul DAC pentru că au același complement.

Am arătat astfel că cele două triunghiuri ABD și CAD au două unghiuri respectiv congruente.

Și atunci va rezulta, conform primului caz de asemănare, că triunghiurile ABD și CAD sunt triunghiuri asemenea.

Putem să tăiem semnul întrebării.

Din relația de asemânare a celor două triunghiuri va rezulta o relație de proporționalitate dintre laturile acestora.

Trebuie să fim atenți atunci când scriem egalitatea rapoartelor.

Întotdeauna la numărători o să avem laturi ale triunghiului ABD, iar la numitor o să avem laturile triunghiului CAD.

Vom începe cu triunghiul ABD și vom scrie, de exemplu, latura care se opune unghiului drept din triunghiul ADB. Aceasta este AB.

Supra, latura care se opune unghiului drept din triunghiul CAD. Aceasta este AC.

Acum, în primul triunghi, vom scrie latura care se opune unghiului B. Aceasta este AD.

Iar, în al doilea triunghi, vom scrie latura care se opune unghiului congruent cu unghiul B, și anume, latura opusă unghiului CAD. Aceasta este DC.

Și acum vom scrie laturile care au mai rămas. În triunghiul ABD a mai rămas latura BD, iar din triunghiul CAD a mai rămas latura AD.

Sau ne putem gândi și altfel. Putem să scriem cea mai mare latură din primul triunghi supra cea mai mare latură din al doilea triunghi, egal cu cea mai mică latură din primul triunghi supra cea mai mică latură din al doilea triunghi, și așa mai departe.

Am obținut astfel un șir de rapoarte egale. Din această relație vom folosi doar egalitatea dintre ultimele două rapoarte.

Având în vedere că avem o proporție, putem egala produsul mezilor cu produsul extremilor. Astfel obținem AD ori AD egal cu BD ori DC.

Dar AD ori AD este AD la pătrat egal cu BD ori DC.

Am arătat astfel că într-un triunghi dreptunghic înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Este valabilă și reciprocă acestei teoreme, fie un triunghi ABC și D un punct situat pe latura BC astfel încât AD să fie perpendiculară pe BC, adică AD este înălțime, și AD la pătrat este egal cu BD ori DC.

Atunci măsura unghiului A este egală cu 90 de grade, deci triunghiul va fi dreptunghic.

O altă teoremă, teorema 2, care se mai numește și a doua teoremă a înălțimii, într-un triunghi dreptunghic înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză.

Dacă avem un triunghi dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade și am dus înălțimea AD, atunci AD va fi egal cu AB ori AC supra BC.

Vom demonstra această teoremă.

Voi scrie area triunghiului ABC în două moduri.

Mai întâi, area triunghiului ABC poate fi scrisă ca produsul dintre baza BC ori înălțimea AD supra 2.

Dar area triunghiului ABC se mai poate scrie și produsul catetelor supra 2, având în vedere că acesta este un triunghi dreptunghic.

Astfel putem considera baza latura AB, iar înălțimea corespunzătoare ei, cealaltă catetă AC.

Area triunghiului se mai scrie AB ori AC supra 2.

Putem să egalăm cele două arii și va rezulta că BC ori AD supra 2 este egal cu AB ori AC supra 2.

Înmulțim toată egalitatea cu 2 și obținem că BC ori AD este egal cu AB ori AC.

Ca să-l aflăm pe AD, o să împărțim această egalitate la BC și obținem că AD este egal cu AB ori AC supra BC.

Rețineți și această formulă. Înălțimea într-un triunghi dreptunghic se poate scrie ca raportul dintre produsul celor două catete și ipotenuză.

În continuare o să facem o aplicație.

Avem următoarea problemă. Se dă un triunghi ABC dreptunghic cu măsura unghiului AD 90 de grade.

AD este perpendiculară pe BC. AD este egal cu 12 cm și CD este egal cu 8 cm.

Se cere să calculăm lungimea segmentelor BD și BC.

Având în vedere că AD este înălțime în triunghiul dreptunghic ABC, putem să aplicăm prima teoremă pe care am văzut-o în această lecție.

AD este perpendiculară pe BC și atunci va rezulta că AD la pătrat este egal cu BD ori DC.

AD este 12, 12 la pătrat, egal cu BD ori 8.

12 la a doua este 144, egal cu BD ori 8.

Pentru a afla lungimea segmentului BD împărțim această egalitate la 8.

144 împărțit la 8 este 18, egal cu BD.

Altfel scris, BD este egal cu 18.

Și acum, pentru a afla lungimea segmentului BC, o să adunăm segmentele BD și DC.

BC va fi egal cu BD plus DC, egal cu 18 plus 8 și egal cu 26 centimetri.