Suma masurilor unghiurilor unui triunghi. Unghi exterior unui triunghi

Proprietăți ale triunghiurilor oarecare

Mai întâi o să discutăm despre suma măsurilor unghiurilor unui triunghi.

Avem următoarea teoremă.

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180 grade.

Fiind dat un triunghi oarecare a, b, c,

atunci măsura unghiului a

plus măsura unghiului b

plus măsura unghiului c

va fi egală cu 180 de grade.

Vom demonstra această teoremă.

Dar mai întâi vom face o construcție ajutătoare.

O să ducem prin a o paralelă la dreapta b, c

pe care am notat-o cu m, n.

Fie m, n

paralelă cu b, c.

Dacă dreptele m, n și b, c sunt paralele

și considerăm dreapta a, b o secantă a acestora

s-au format de o parte și de alta a secantei

două unghiuri alterne interne congruente.

Acestea sunt unghiurile m, a, b și a, b, c.

Așadar, dacă a, b este o secantă

va rezulta că unghiul m, a, b

este congruent cu unghiul a, b, c

fiind unghiuri alterne interne.

Dacă m, n și b, c sunt paralele

și considerăm o altă secantă, dreapta a, c

s-a format o nouă pereche de unghiuri alterne interne congruente.

Este vorba de unghiurile m, a, c și a, c, b.

Dacă m, n este paralelă cu b, c

iar a, c este secantă

va rezulta că unghiul n, a, c

este congruent cu unghiul a, c, b

fiind unghiuri alterne interne.

Putem observa că măsura unghiului m, a, b

plus măsura unghiului b, a, c

plus măsura unghiului n, a, c

este egală cu 180 grade

deoarece aceste unghiuri formează împreună

unghiul alungit m, a, n.

Așadar voi scrie că măsura unghiului m, a, b

plus măsura unghiului b, a, c

plus măsura unghiului n, a, c

va fi egală cu 180 grade.

Dar în loc de măsura unghiului m, a, b

putem să scriem măsura unghiului a, b, c

deoarece am arătat că aceste două unghiuri sunt congruente

deci ele vor avea aceeași măsură.

Așadar voi scrie măsura unghiului a, b, c

plus

măsura unghiului b, a, c

iar în loc de măsura unghiului n, a, c

voi scrie măsura unghiului a, c, b

deoarece am arătat că aceste unghiuri sunt congruente.

Și egal mai departe cu 180 grade.

Așadar am arătat că între unghiul a, b, c

măsura unghiului a, b, c

plus măsura unghiului b, a, c

și plus măsura unghiului a, c, b

este egală cu 180 grade.

Această proprietate referitoare la suma măsurilor

unghiurilor într-un triunghi

este valabilă pentru orice triunghi.

În continuare o să discutăm despre

unghi exterior al unui triunghi.

Să ne reamintim ce este un unghi exterior.

Unghiul care este adiacent și suplementar

cu un unghi al unui triunghi

se numește unghi exterior triunghiului.

De exemplu, unghiul a, c, d

va fi un unghi exterior triunghiului a, b, c.

Acesta este adiacent și suplementar cu unghiul a, c, b.

Avem și o teoremă referitoare la măsura

unghiului exterior al unui triunghi.

Măsura unui unghi exterior al unui triunghi

este egală cu suma celor două unghiuri

ale triunghiului neadiacente cu el.

Mai exact, măsura unghiului a, c, d

va fi egală cu măsura unghiului a, b, c

plus măsura unghiului b, a, c.

Demonstrație.

Observăm că unghiurile a, c, d

și a, c, b sunt suplementare

și atunci putem să scriem că

măsura unghiului a, c, d

plus măsura unghiului a, c, b

va fi egală cu 180 de grade.

Din această relație exprimă

măsura unghiului a, c, d.

Aceasta va fi egală cu 180 de grade

minus măsura unghiului a, c, b.

Le ținem această relație și o notăm cu 1.

În triunghiul a, b, c știm că suma măsurilor

unghiurilor sale este de 180 de grade.

Așadar, măsura unghiului a, b, c

plus măsura unghiului b, a, c

plus măsura unghiului a, c, b

este egală cu 180 de grade

conform teoremiei pe care am demonstrat-o anterior.

Din această relație exprimăm suma primelor două măsuri.

Rezultă că măsura unghiului a, b, c

plus măsura unghiului b, a, c

va fi egală cu 180 de grade

minus măsura unghiului a, c, b.

Le ținem și această relație.

O notăm cu 2.

Dacă ne uităm la relațiile 1 și 2

observăm că în membru drept avem aceeași expresie

și anume 180 de grade minus măsura unghiului a, c, b

înseamnă că expresiile din membrul stâng

vor fi și ele egale.

Din relația 1 și 2

va rezulta că membrul stâng al primei relații

adică măsura unghiului a, c, d

este egală cu măsura unghiului a, b, c

plus măsura unghiului b, a, c

adică cu expresia din membrul stâng al celei de-a doua relații.

Așadar am demonstrat cerința teoremei

și anume măsura unghiului a, c, d

este egală cu suma măsurilor unghiurilor neadiacente cu el.

În continuare o să vedem o proprietate referitoare

la bisectoarea exterioră a unui triunghi,

dar mai întâi vom defini bisectoarea exterioră.

Bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi

se numește bisectoarea exterioră a triunghiului

corespunzătoare unghiului respectiv.

Bisectoarea interioară și cea exterioră a unui unghi

al triunghiului sunt perpendiculare.

Vom construi figura geometrică.

Avem un triunghi oarecare a, b, c.

Unghiul a, c, d este un unghi exterior acestui triunghi.

Am construit bisectoarea interioară și bisectoarea exterioră a acestui unghi.

Trebuie să arătăm că dreptele mc și nc sunt perpendiculare.

Vom demonstra această teoremă,

dar mai întâi pentru a scrie mai ușor demonstrația

voi nota aceste patru unghiuri care s-au format

cu 1, 2, 3 și 4.

Așadar, în ipoteză, se știe că

unghiul c1 este congruent cu unghiul c2

și unghiul c3 este congruent cu unghiul c4.

Trebuie să arătăm că mc este perpendiculară pe cn.

Demonstrație.

Cele patru unghiuri formează împreună

un unghi alungit bcd cu măsura de 180 grade.

Așadar, putem să scriem că măsura unghiului c1

plus măsura unghiului c2

plus măsura unghiului c3

și plus măsura unghiului c4

va fi așa.

Va fi egală cu 180 grade.

Dar măsura unghiului c1 este egală cu măsura unghiului c2

deoarece se știe în ipoteză că unghiurile c1 și c2 sunt congruente.

Așadar, în loc de măsura unghiului c1,

voi scrie măsura unghiului c2

plus măsura unghiului c2

plus măsura unghiului c3

iar în loc de măsura unghiului c4, putem să scriem din nou măsura unghiului c3

deoarece aceste două unghiuri sunt congruente

și egal mai departe cu 180 grade.

Observăm că măsura unghiului c2 plus măsura unghiului c2

înseamnă doi ori măsura unghiului c2

iar măsura unghiului c3 plus măsura unghiului c3

este egal cu doi ori măsura unghiului c3

și egal mai departe cu 180 grade.

Putem să dăm factor comun pe 2

și obținem 2 pe lângă măsura unghiului c2

plus măsura unghiului c3

egal mai departe cu 180 grade.

Din această relație, exprimăm suma acestor două măsuri,

vom împărți egalitatea la 2 în amii membri

și obținem că măsura unghiului c2 plus măsura unghiului c3

va fi egală cu 180 grade împărțit la 2,

adică măsura unghiului c2 plus măsura unghiului c3

va fi egală cu 90 grade.

Dar dacă ne uităm pe figură,

măsura unghiului c2 plus măsura unghiului c3

este egală cu măsura unghiului mcn.

Așadar am demonstrat că unghiul mcn este un ungh drept.

Va rezulta că mc este perpendiculară pe cn.

Așadar am demonstrat această teoremă

având în vedere că măsura unghiului c2 plus măsura unghiului c3

formează măsura unghiului mcn

și acesta fiind un ungh drept,

va rezulta că mc este perpendiculară pe cn.

În continuare o să discutăm despre relații referitoare

la laturile și unghiurile unui triunghi oarecare.

Rețineți această teoremă.

Într-un triunghi unui unghi mai mare îi se opune o latură mai mare.

În această figură observăm că cel mai mic

dintre cele trei unghiuri este unghiul c.

Înseamnă că cea mai mică latură a triunghiului

va fi latura opusă unghiului c,

adică ab, pe care am notat-o cu litera c mic.

Următorul unghi ca mărime este unghiul b.

Acestuia îi se opune latura b mic, adică ac,

iar cel mai mare unghi al triunghiului este unghiul a.

Lui îi se opune latura bc.

Înseamnă că bc va fi cea mai mare latură a triunghiului.

Așadar, dacă avem această inegalitate referitoare

la măsurile unghiurilor unui triunghi,

unghiul c este mai mic decât unghiul b și mai mic decât unghiul a,

această relație de inegalitate se păstrează și în cazul laturilor

care se opun acestor unghiuri.

Latura c mic va fi mai mică decât latura b

și mai mică decât latura a.

Și mai rețineți încă o teoremă.

Într-un triunghi, lungimea unei laturi este mai mică

decât suma lungimilor celorlalte două laturi,

adică latura bc este mai mică decât suma laturilor ab și ac,

prin aceasta înțelegând că drumul cel mai scurt

dintre două puncte este linia dreaptă.