Proprietăţile funcţiilor sinusoidale.

În cea de-a șasea lecție de curent alternativ

vom discuta despre proprietăți ale funcțiilor sinusoidale

și despre implicațiile acestor proprietăți

pentru proprietățile curentului electric alternativ.

Prima proprietate foarte importantă a funcțiilor sinusoidale

din punct de vedere al curentului alternativ

este aceea că viteza de variație

a unei funcții sinusoidale

e tot o funcție sinusoidală

cu aceeași pulsație, dar defazată înainte

cu pi pe doi radiani, adică cu 90 de grade,

și cu amplitudinea Y, notată cu Y,

egală cu produsul dintre pulsația funcției sinusoidale

și amplitudinea primei funcții sinusoidale.

Haideți să scriem ecuația și să explicăm.

Ca și comentariu, toate aceste ecuații

și demonstrațiile lor sunt oarecum complicate,

dar ideea de bază este foarte simplă

și important pentru dumneavoastră este să rețineți

ideea de bază a acestei proprietăți.

Deci, ce spune această teoremă, dacă vreți?

Dacă avem o anumită funcție sinusoidală,

X de t, deci X este valoarea momentană sau instantană

la moment dat de t, care este egală cu o amplitudine

X mare mulțită cu sinus de omega t plus phi zero.

Aceasta este forma generală a unei funcții sinusoidale,

ce apare în modelul matematical

curentului alternativ. Această teoremă spune că

dacă X de t are această formă, atunci

Y de t, care prin definiție este viteza de variație

a lui X, deci delta X pe delta t, variația

lui X în unitatea de timp, are această formă.

Adică este și el, Y de t,

o funcție sinusoidală. Amplitudinea

lui Y de t este

produsul dintre pulsația omega și

magnitudinea X a lui X de t, deci omega X,

iar argumentul lui funcției

sinus în cazul lui Y de t este același

ca în cel pentru funcția X, deci omega t plus phi zero

plus un defazaj constant de pi

pe doi radiani, adică 90 de grade. Asta înseamnă

că Y de t într-o reprezentare fazorială

va fi perpendicular pe X de t.

Veți vedea în lecțiile viitoare de ce această

proprietate este foarte utilă, pentru că putem calcula

din ea variația unui curent sau variația unei

tensiuni. Deci pornim cu o anumită funcție sinusoidală

a tensiunii sau a curentului, alternativ, deci

X de t va fi ori o tensiune, ori un curent alternativ, și

folosind această proprietate putem scrie direct care

este viteza de variație a

curentului sau tensiunii respective. Haideți să demonstrăm

această proprietate. Deci vrem să calculăm întâi

delta X, unde X are această formă.

Delta X, prin definiție, este valoarea lui

X la un timp ulterior, deci t plus delta t,

aceasta este diferența de timp, delta t, minus

valoarea lui la momentul t. Deci aceasta este definiția

variației lui X

într-un interval delta t. Și pur și simplu înlocuim

în aceste două funcții, X

de t plus delta t și X de t, din definiția lui

X de t. Deci obținem că delta X este

egal cu amplitudinea X, înmulțit cu sinus de omega t

plus delta t plus fi zero, minus X sinus de omega t

plus fi zero. Deci t plus delta t a apărut

aici. Putem

rescrie foarte simplu, și veți vedea imediat de ce, această

funcție, ca fiind X sinus de omega delta t

plus omega t plus fi zero. Deci am grupat

acest argument în felul acesta, minus aceeași

funcție X de t. Apoi

folosind următoarea proprietate trigonometrică

și anume că sinus

de alpha plus beta este

egal cu sinus de alpha cosinus

de beta plus cosinus

de alpha sinus de beta.

Deci folosind

această proprietate trigonometrică

desfacem acest sinus, deci primul sinus, îl desfacem

în doi termeni, unde alpha va fi omega delta t

și beta va fi omega t plus fi zero. Deci

folosim acea proprietate, alpha

fiind această parte a argumentului și beta fiind această

parte a argumentului și obținem această formulă

aparent complicată. Deci delta X

va fi X înmulțit cu sinus

de alpha, adică omega delta t, cosinus de beta

adică omega t plus fi zero și apoi cea de-a doua

cosinus de alpha, adică omega delta t înmulțit cu sinus

omega t plus fi zero și ne-a rămas acest ultim termen

pe care îl pur și simplu scriem X fiind în față,

înmulțind întreaga formulă

trigonometrică. Acum o să vină simplificarea

care, ca întotdeauna, după cum am văzut în

lecțiile precedente, pornește de la ideea unghiurilor

mici sau defazajelor mici care corespund

unor intervale temporale mici. Deci

dacă delta fi care este omega delta t

tinde la zero, adică are o valoare mică,

atunci putem scrie urmarele formule aproximativ.

Sinus de un unghi mic este

aproximativ egal cu unghiul, adică sinus de omega delta t

este aproximativ egal cu omega delta t, iar cosinus de un unghi mic

este aproximativ egal cu 1. Deci cosinus de omega delta t

este aproximativ egal cu 1. Această aproximație

este evidentă pentru că cosinus de zero este 1.

Cosinus de alfa, unde alfa se apropie de zero, este 1.

Această aproximație este

mai puțin evidentă, totuși și ea este adevărată.

Și pur și simplu înlocuim aceste aproximații în

relația de sus, în formula de sus. Deci acest

termen va deveni omega delta t.

Acest termen va deveni 1.

Și imediat observăm că dacă acest termen este 1, atunci

al doilea termen din această paranteză pătrate

se va simplifica cu al treilea. Deci acesta se va simplifica cu

acesta. Rămânem numai cu primul termen. Deci

delta x este egal cu omega x delta t

cosinus de omega t plus phi zero.

Și de aici putem scrie că delta x este

egal cu omega x delta t sinus de omega t

plus phi zero plus pi pe 2, unde

am folosit faptul că cosinus, identitatea trigonometrică,

că cosinus de alfa este sinus de

alfa plus 90 de grade, adică pi pe 2 radiani.

Și aceasta este exact relația pe care

am dorit-o, pentru că dacă împărțim delta x la delta t pentru a obține

y, viteza de variație a lui x, vom obține

exact omega x sinus de omega t plus phi

zero plus pi pe 2. Ca și comentariu,

această fază, acest defazaj

pe care viteza de variație îl primește în plus față de x,

deci, din punct de vedere al unghiurilor, y

de t va primi un plus pi pe 2, plus 90

de grade față de x. Aceasta reprezintă

un interval temporal, după cum am

discutat în lecția trecută. Deci delta phi pi pe 2

implică un delta t între y și x

egal cu un sfert de perioadă, t pe 4

unde t este perioada funcției sinusoidale.

Ca și observație, iarăși foarte importantă, această

implicație, deci această teoremă care are

acest sens al demonstrației, este de fapt o echivalență

în sensul că putem pleca de la un y de t

cu o anumită formă și obține forma pentru t.

Deci, mai exact, dacă cunoaștem

invers, cunoaștem viteza de variație într-o problemă și ea

are forma asta, y sin omega t plus phi zero, atunci

parametrul x

are următoarea valoare, y împărțit la pulsatia omega

mulțit cu sinus de omega t plus phi zero minus phi pe 2.

Deci, putem aborda și problema

în sens opus. Cunoaștem invers viteza de variație

y și dorim să aflăm care este funcția

sinusoidală pentru funcția originală

x de t. Și atunci, aceasta este implicația.

O dăm fără demonstrație, dar ideea trebuie reținută.

Deci, dacă cunoaștem y de t și el are o astfel de formă,

atunci x de t va avea forma aceasta. Amplitudinea va fi

amplitudinea împărțită la pulsatie, argumentul lui sinus va fi același

cu excepția unui defazaj

negativ, deci minus 90 de grade, x de t va fi, bineînțeles,

dacă y este în față

cu 90 de grade față de x, atunci x va fi în spate

față de y cu 90 de grade.

O a doua proprietate importantă a funcțiilor sinusoidale

este că suma a două funcții sinusoidale de pulsatie omega

e tot o funcție sinusoidală de pulsatie omega.

Scrisă matematic, asta înseamnă următorul lucru,

că dacă avem, după cum am spus, două funcții sinusoidale, x1 de t

cu această formă și x2 de t cu această formă,

deci forma cea mai generală a două funcții sinusoidale

pe care le întâlnim în cazul

modelului matematic pentru curentul alternativ, bineînțeles,

atunci x de t, care este suma celor doi,

va avea forma x ori sinus de omega t plus fi zero.

Deci are tot o funcție sinusoidală,

tot pulsatia, termenul

dependent de timp al argumentului, al fazei, este omega t,

și va avea o anumită amplitudine și un anumit defazaj

fi zero, care sunt legate de x1, x2

și fi zero 1, fi zero 2. Putem și în manualul

dumneavoastră să aplică

tot felul de identități trigonometrice

pentru a demonstra această teoremă și, în particular,

pentru a găsi valorile lui x și fi zero

în funcție de... deci x se poate

calcula și se obține o valoare dependentă de

x1, x2, fi zero 1 și fi zero 2

și, la fel, fi zero

se poate calcula și se obține

o formulă a lui fi zero în funcție de aceiași parametri cunoscuți

sau dați x1, x2, fi zero 1, fi zero 2.

Această demonstrație nu este

una foarte simplă, în special dacă considerăm că x1

este diferit de x2, adică cele două funcții sinusoidale

au amplitudini diferite, totuși aia se poate rezolva

și o găsiți în manual. Interesant de comentat,

deci eu o să iau o direcție un pic diferită, este că

dacă folosim diagrama fazorială pentru x1, x2

pentru a afla pe x de t, soluția sau demonstrația

devine semnificativ mai simplă. Deci să considerăm

diagrama fazorială pe care am

explicat-o în lecția trecută, în care avem acești doi fazori

x1 și x2. Reamintesc valorile instantanee

deci x1 mic de t

și x2 mic de t

vor fi proiecțiile

pe axa Y. Și haideți să

folosim acești vectori pentru a

calcula, spre exemplu, phi zero. Deci bineînțeles că

vectorial vorbind, x este egal cu x1

plus x2. Fazorul total

x care descrie x de t, deci x de t

va fi proiecția pe Y, aceasta este valoarea momentană

deci x de t este descris de acest fazor cu roșu

și el este suma vectorială a fazorului x1 și x2.

Dacă scriem relații

dintre proiecții, deci proiectăm această ecuație vectorială

pe axa OX0. Deci când proiectăm pe axa OX0

obținem că x

cosinus de phi zero

este egal cu x1

cosinus de phi zero

plus x2 cosinus de phi zero

2. Deci pur și simplu am spus că proiecția

lui x pe axa OX0 este egală cu suma proiecțiilor

lui x1 și x2 pe axa OX0. Deci x cosinus de phi zero

este egal cu x1 cosinus de phi zero 1 plus

x2 cosinus de phi zero 2. La fel dacă proiectăm

ecuația vectorială pe axa OY0

obținem că x sinus

de phi zero este egal cu

x1 sinus de phi zero 1

plus x2 sinus

de phi zero 2. Și avem două ecuații

cu două necunoscute și anume x și phi zero.

Observăm că ecuația pentru phi zero rezultă imediat.

Dacă împărțim a doua ecuație la prima ecuație, x se simplifică

și obținem ecuația pentru phi zero care spune

că tangentă de phi zero, adică sinus împărțit la cosinus

va fi egal cu raportul dintre aceste două cantități.

Deci vedeți, spre exemplu, cât de imediat

putem obține, folosind diagrama fazorială,

ecuația pentru phi zero. La fel, apoi, după ce știm

phi zero, putem introduce într-una din ecuații

și obținem ecuația pentru phi zero.