Transcript: Proprietăţile funcţiilor sinusoidale.

În cea de-a șasea lecție de curent alternativ
vom discuta despre proprietăți ale funcțiilor sinusoidale
și despre implicațiile acestor proprietăți
pentru proprietățile curentului electric alternativ.
Prima proprietate foarte importantă a funcțiilor sinusoidale
din punct de vedere al curentului alternativ
este aceea că viteza de variație
a unei funcții sinusoidale
e tot o funcție sinusoidală
cu aceeași pulsație, dar defazată înainte
cu pi pe doi radiani, adică cu 90 de grade,
și cu amplitudinea Y, notată cu Y,
egală cu produsul dintre pulsația funcției sinusoidale
și amplitudinea primei funcții sinusoidale.
Haideți să scriem ecuația și să explicăm.
Ca și comentariu, toate aceste ecuații
și demonstrațiile lor sunt oarecum complicate,
dar ideea de bază este foarte simplă
și important pentru dumneavoastră este să rețineți
ideea de bază a acestei proprietăți.
Deci, ce spune această teoremă, dacă vreți?
Dacă avem o anumită funcție sinusoidală,
X de t, deci X este valoarea momentană sau instantană
la moment dat de t, care este egală cu o amplitudine
X mare mulțită cu sinus de omega t plus phi zero.
Aceasta este forma generală a unei funcții sinusoidale,
ce apare în modelul matematical
curentului alternativ. Această teoremă spune că
dacă X de t are această formă, atunci
Y de t, care prin definiție este viteza de variație
a lui X, deci delta X pe delta t, variația
lui X în unitatea de timp, are această formă.
Adică este și el, Y de t,
o funcție sinusoidală. Amplitudinea
lui Y de t este
produsul dintre pulsația omega și
magnitudinea X a lui X de t, deci omega X,
iar argumentul lui funcției
sinus în cazul lui Y de t este același
ca în cel pentru funcția X, deci omega t plus phi zero
plus un defazaj constant de pi
pe doi radiani, adică 90 de grade. Asta înseamnă
că Y de t într-o reprezentare fazorială
va fi perpendicular pe X de t.
Veți vedea în lecțiile viitoare de ce această
proprietate este foarte utilă, pentru că putem calcula
din ea variația unui curent sau variația unei
tensiuni. Deci pornim cu o anumită funcție sinusoidală
a tensiunii sau a curentului, alternativ, deci
X de t va fi ori o tensiune, ori un curent alternativ, și
folosind această proprietate putem scrie direct care
este viteza de variație a
curentului sau tensiunii respective. Haideți să demonstrăm
această proprietate. Deci vrem să calculăm întâi
delta X, unde X are această formă.
Delta X, prin definiție, este valoarea lui
X la un timp ulterior, deci t plus delta t,
aceasta este diferența de timp, delta t, minus
valoarea lui la momentul t. Deci aceasta este definiția
variației lui X
într-un interval delta t. Și pur și simplu înlocuim
în aceste două funcții, X
de t plus delta t și X de t, din definiția lui
X de t. Deci obținem că delta X este
egal cu amplitudinea X, înmulțit cu sinus de omega t
plus delta t plus fi zero, minus X sinus de omega t
plus fi zero. Deci t plus delta t a apărut
aici. Putem
rescrie foarte simplu, și veți vedea imediat de ce, această
funcție, ca fiind X sinus de omega delta t
plus omega t plus fi zero. Deci am grupat
acest argument în felul acesta, minus aceeași
funcție X de t. Apoi
folosind următoarea proprietate trigonometrică
și anume că sinus
de alpha plus beta este
egal cu sinus de alpha cosinus
de beta plus cosinus
de alpha sinus de beta.
Deci folosind
această proprietate trigonometrică
desfacem acest sinus, deci primul sinus, îl desfacem
în doi termeni, unde alpha va fi omega delta t
și beta va fi omega t plus fi zero. Deci
folosim acea proprietate, alpha
fiind această parte a argumentului și beta fiind această
parte a argumentului și obținem această formulă
aparent complicată. Deci delta X
va fi X înmulțit cu sinus
de alpha, adică omega delta t, cosinus de beta
adică omega t plus fi zero și apoi cea de-a doua
cosinus de alpha, adică omega delta t înmulțit cu sinus
omega t plus fi zero și ne-a rămas acest ultim termen
pe care îl pur și simplu scriem X fiind în față,
înmulțind întreaga formulă
trigonometrică. Acum o să vină simplificarea
care, ca întotdeauna, după cum am văzut în
lecțiile precedente, pornește de la ideea unghiurilor
mici sau defazajelor mici care corespund
unor intervale temporale mici. Deci
dacă delta fi care este omega delta t
tinde la zero, adică are o valoare mică,
atunci putem scrie urmarele formule aproximativ.
Sinus de un unghi mic este
aproximativ egal cu unghiul, adică sinus de omega delta t
este aproximativ egal cu omega delta t, iar cosinus de un unghi mic
este aproximativ egal cu 1. Deci cosinus de omega delta t
este aproximativ egal cu 1. Această aproximație
este evidentă pentru că cosinus de zero este 1.
Cosinus de alfa, unde alfa se apropie de zero, este 1.
Această aproximație este
mai puțin evidentă, totuși și ea este adevărată.
Și pur și simplu înlocuim aceste aproximații în
relația de sus, în formula de sus. Deci acest
termen va deveni omega delta t.
Acest termen va deveni 1.
Și imediat observăm că dacă acest termen este 1, atunci
al doilea termen din această paranteză pătrate
se va simplifica cu al treilea. Deci acesta se va simplifica cu
acesta. Rămânem numai cu primul termen. Deci
delta x este egal cu omega x delta t
cosinus de omega t plus phi zero.
Și de aici putem scrie că delta x este
egal cu omega x delta t sinus de omega t
plus phi zero plus pi pe 2, unde
am folosit faptul că cosinus, identitatea trigonometrică,
că cosinus de alfa este sinus de
alfa plus 90 de grade, adică pi pe 2 radiani.
Și aceasta este exact relația pe care
am dorit-o, pentru că dacă împărțim delta x la delta t pentru a obține
y, viteza de variație a lui x, vom obține
exact omega x sinus de omega t plus phi
zero plus pi pe 2. Ca și comentariu,
această fază, acest defazaj
pe care viteza de variație îl primește în plus față de x,
deci, din punct de vedere al unghiurilor, y
de t va primi un plus pi pe 2, plus 90
de grade față de x. Aceasta reprezintă
un interval temporal, după cum am
discutat în lecția trecută. Deci delta phi pi pe 2
implică un delta t între y și x
egal cu un sfert de perioadă, t pe 4
unde t este perioada funcției sinusoidale.
Ca și observație, iarăși foarte importantă, această
implicație, deci această teoremă care are
acest sens al demonstrației, este de fapt o echivalență
în sensul că putem pleca de la un y de t
cu o anumită formă și obține forma pentru t.
Deci, mai exact, dacă cunoaștem
invers, cunoaștem viteza de variație într-o problemă și ea
are forma asta, y sin omega t plus phi zero, atunci
parametrul x
are următoarea valoare, y împărțit la pulsatia omega
mulțit cu sinus de omega t plus phi zero minus phi pe 2.
Deci, putem aborda și problema
în sens opus. Cunoaștem invers viteza de variație
y și dorim să aflăm care este funcția
sinusoidală pentru funcția originală
x de t. Și atunci, aceasta este implicația.
O dăm fără demonstrație, dar ideea trebuie reținută.
Deci, dacă cunoaștem y de t și el are o astfel de formă,
atunci x de t va avea forma aceasta. Amplitudinea va fi
amplitudinea împărțită la pulsatie, argumentul lui sinus va fi același
cu excepția unui defazaj
negativ, deci minus 90 de grade, x de t va fi, bineînțeles,
dacă y este în față
cu 90 de grade față de x, atunci x va fi în spate
față de y cu 90 de grade.
O a doua proprietate importantă a funcțiilor sinusoidale
este că suma a două funcții sinusoidale de pulsatie omega
e tot o funcție sinusoidală de pulsatie omega.
Scrisă matematic, asta înseamnă următorul lucru,
că dacă avem, după cum am spus, două funcții sinusoidale, x1 de t
cu această formă și x2 de t cu această formă,
deci forma cea mai generală a două funcții sinusoidale
pe care le întâlnim în cazul
modelului matematic pentru curentul alternativ, bineînțeles,
atunci x de t, care este suma celor doi,
va avea forma x ori sinus de omega t plus fi zero.
Deci are tot o funcție sinusoidală,
tot pulsatia, termenul
dependent de timp al argumentului, al fazei, este omega t,
și va avea o anumită amplitudine și un anumit defazaj
fi zero, care sunt legate de x1, x2
și fi zero 1, fi zero 2. Putem și în manualul
dumneavoastră să aplică
tot felul de identități trigonometrice
pentru a demonstra această teoremă și, în particular,
pentru a găsi valorile lui x și fi zero
în funcție de... deci x se poate
calcula și se obține o valoare dependentă de
x1, x2, fi zero 1 și fi zero 2
și, la fel, fi zero
se poate calcula și se obține
o formulă a lui fi zero în funcție de aceiași parametri cunoscuți
sau dați x1, x2, fi zero 1, fi zero 2.
Această demonstrație nu este
una foarte simplă, în special dacă considerăm că x1
este diferit de x2, adică cele două funcții sinusoidale
au amplitudini diferite, totuși aia se poate rezolva
și o găsiți în manual. Interesant de comentat,
deci eu o să iau o direcție un pic diferită, este că
dacă folosim diagrama fazorială pentru x1, x2
pentru a afla pe x de t, soluția sau demonstrația
devine semnificativ mai simplă. Deci să considerăm
diagrama fazorială pe care am
explicat-o în lecția trecută, în care avem acești doi fazori
x1 și x2. Reamintesc valorile instantanee
deci x1 mic de t
și x2 mic de t
vor fi proiecțiile
pe axa Y. Și haideți să
folosim acești vectori pentru a
calcula, spre exemplu, phi zero. Deci bineînțeles că
vectorial vorbind, x este egal cu x1
plus x2. Fazorul total
x care descrie x de t, deci x de t
va fi proiecția pe Y, aceasta este valoarea momentană
deci x de t este descris de acest fazor cu roșu
și el este suma vectorială a fazorului x1 și x2.
Dacă scriem relații
dintre proiecții, deci proiectăm această ecuație vectorială
pe axa OX0. Deci când proiectăm pe axa OX0
obținem că x
cosinus de phi zero
este egal cu x1
cosinus de phi zero
plus x2 cosinus de phi zero
2. Deci pur și simplu am spus că proiecția
lui x pe axa OX0 este egală cu suma proiecțiilor
lui x1 și x2 pe axa OX0. Deci x cosinus de phi zero
este egal cu x1 cosinus de phi zero 1 plus
x2 cosinus de phi zero 2. La fel dacă proiectăm
ecuația vectorială pe axa OY0
obținem că x sinus
de phi zero este egal cu
x1 sinus de phi zero 1
plus x2 sinus
de phi zero 2. Și avem două ecuații
cu două necunoscute și anume x și phi zero.
Observăm că ecuația pentru phi zero rezultă imediat.
Dacă împărțim a doua ecuație la prima ecuație, x se simplifică
și obținem ecuația pentru phi zero care spune
că tangentă de phi zero, adică sinus împărțit la cosinus
va fi egal cu raportul dintre aceste două cantități.
Deci vedeți, spre exemplu, cât de imediat
putem obține, folosind diagrama fazorială,
ecuația pentru phi zero. La fel, apoi, după ce știm
phi zero, putem introduce într-una din ecuații
și obținem ecuația pentru phi zero.