Proprietățile determinanților- teorie

Calculul determinanților cu ajutorul definițiilor sau unor tehnici de calcul nu este întotdeauna simplu,

mai ales pentru determinanți de ordine mai mare sau egal cu 4.

Totuși, acesta poate fi simplificat dacă avem în vedere câteva proprietăți ale determinanților.

Fie determinantul care are deasupra primei diagonale toate elementele egale cu 0.

Un astfel de determinant poartă numele de determinant subdiagonal.

Pentru a-l calcula, vom dezvolta determinantul după prima linie.

Obținem așadar suma a11 delta11 plus 0 delta12 plus 0 delta1n.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt nuli.

Obținem așadar că determinantul este egal cu produsul dintre a11 înmulțit cu minus 1 la puterea 1 plus 1

înmulțit cu complementul algebric al acestui element,

adică determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1 din acest determinant.

Dezvoltând încă o dată determinantul obținut după prima sa linie,

vom obține produsul a11 ori a12 înmulțit cu delta22,

adică delta22 este complementul algebric al elementului a22,

adică determinantul obținut prin suprimarea liniei și a coloanei care conține elementul a22.

Repetând această metodă pentru fiecare determinant obținut,

avem că determinantul d este egal cu produsul dintre a11, a22, a33, ann,

adică un determinant subdiagonal este egal cu produsul dintre elementele de pe prima diagonală

a oricărei matrice pătratice de ordine n subdiagonală.

Același rezultat îl obținem și în cazul unui determinant supradiagonal,

adică un determinant care are toate elementele nule, dar sub prima diagonală.

Spre exemplu, acest determinant este un determinant subdiagonal.

Îl calculăm așadar înmulțind elementele de pe prima diagonală

1, ori 2, ori 3, ori 4, ori 5, adică 5 factoriale.

Să considerăm acum o matrice A și transpusa acestea.

Determinantul matricei transpuse îl putem calcula utilizând dezvoltarea după coloana I.

Așadar, este egal cu I1, ori delta I1, plus I2, ori delta I2, plus In, or delta In.

Dar coloana I din matrice A transpus nu este altceva decât linia I din matrice A.

Cu alte cuvinte, determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse

pentru orice matrice pătratică de ordinul n.

Fie matricea A, al cărei determinant îl vom calcula utilizând regula triunghiului.

Așadar, 1, ori 0, ori 1, plus 2, ori 3, ori 1, plus minus 2, ori minus 1, ori minus 1,

minus minus 2, ori 0, ori 2, minus 1, ori 3, ori minus 1, minus 1, ori 1, ori minus 1.

Adică 0, plus 6, minus 2, minus 0, plus 3, plus 1, egal cu 4, plus 3, 7, plus 1, 8.

Chimbând între ele linia 1 cu linia 2, obținem matricea B în care, iată, linia a doua din matricea A

este, de fapt, linia 1 din matricea B, iar linia 1 din matricea A este linia a doua din matricea B.

Determinantul acestei matrice B îl vom calcula cu regula lui Sarus.

Copiem, așadar, primele două coloane, 3, 1, minus 2, 0, minus 1, 1, și obținem 3, ori minus 1, ori 1, plus 0, ori 2, ori minus 2,

plus minus 1, ori 1, ori 1, minus minus 1, ori minus 1, ori minus 2, minus 3, ori 2, ori 1, minus 6, și minus 0, ori 1, ori 1, adică 0.

Obținem, așadar, minus 3, plus 0, minus 1, plus 2, minus 6, minus 3 cu minus 1, minus 4, minus 4 cu minus 6, minus 10, plus 2, minus 8.

Observăm, așadar, că determinantul matricei B este, de fapt, opusul determinantului matricei A.

Cu alte cuvinte, schimbând între ele două linii ale unei matrice A, se obține o matrice al cărui determinant este opusul determinantului matricei A,

fie de un determinant de ordin N și, de prim, determinantul obținut din determinantul D prin înmulțirea liniei I cu numărul complex K.

Atunci, dezvoltând pe de prim după linia I, avem, de prim, este egal cu K îmulțit cu I1 delta I1, plus K îmulțit cu I2 ori delta I2, plus K ori IN delta IN.

Putem scoate factor comun în această sumă pe K, obținând K îmulțit cu suma I1 delta I1, plus I2 delta I2, plus IN delta IN.

Dar această sumă nu reprezintă altceva decât determinantul D.

Așadar, dacă elementele unei linii sau ale unei coloane din matrice A se îmulțesc cu un număr complex K, se obține o matrice al cărui determinant este egal cu produsul dintre K și determinantul matricei A.

Spre exemplu, observăm că în acest determinant elementele linii ei doi sunt multipli de 3. Așadar, el se poate calcula ca produs dintre 3 și un determinant în care linia 1 și linia 3 s-au păstrat, iar elementele linii ei 2 sunt câturile împărțirii acestor elemente la 3.

Dacă, în plus, dorim să calculăm determinantul produsului matricei A cu numărul complex K, atunci aplicăm această proprietate pentru fiecare dintre liniile matricei A, obținând produsul K or K or K de N-ori înmulțit cu determinantul matricei A, cu alte cuvinte, K la puterea N înmulțit cu determinantul matricei A.

Așadar, determinantul matricei K or A este egal cu K la puterea N înmulțit cu determinantul matricei A pentru orice matrice pătratică de ordinul N și orice K număr complex.

Fie acum un determinant în care elementele liniei i sunt egale cu 0. Dezvoltând determinantul după această linie, obținem suma 0 ori Δi1 plus 0 ori Δi2 plus 0 ori ΔiN, adică 0.

Așadar, dacă elementele unei linii sau ale unei coloane dintr-o matrice pătratică sunt egale cu 0, determinantul ei este egal cu 0.

Analizând acest determinant, observăm că elementele coloanei a doua sunt nule, așadar și determinantul va fi 0.

Fie acum un determinant în care linia i și linia j sunt linii identice și determinantul de prim în care schimbăm linia i cu linia j.

Știm deja că schimbarea între ele a două linii determină și o schimbare a semnului determinantului.

Cu alte cuvinte, determinantul de prim este egal cu minus determinantul d, dar de prim, pe de altă parte, observăm că este același cu determinantul d.

Așadar, d este egal cu minus d, adică, de fapt, d este egal cu 0.

Am obținut astfel proprietatea că dacă într-o matrice pătratică avem două linii sau două coloane identice, atunci determinantul este 0.

Dacă vom considera acum un determinant în care elementele liniei i sunt proporționale cu elementele liniei j,

acesta poate fi scris ca produsul dintre factorul de proporționalitate și determinantul în care am păstrat toate liniile, cu excepția liniei j,

ale cărei elemente sunt împărțite prin acest factor de proporționalitate.

Acest nou determinant obținut are însă două linii identice, așadar, este 0.

Cu alte cuvinte, determinantul inițial este egal cu 0.

Dacă într-o matrice pătratică elementele a două linii sau două coloane sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu 0.

Să considerăm acum forma generală a unei matrice în care elementele liniei i sunt scrise ca sume de numere reale.

Putem forma matricele B și C în care avem toate liniile matricei A, cu excepția liniei i.

Linia i din matricea B conține primul element din fiecare sumă, iar linia i din matricea C conține al doilea termen din fiecare sumă.

Determinantul matricei A este egal cu suma dintre determinanții celor două matrice.

Spre exemplu, dacă avem determinantul în care elementele primei linii sunt exprimate sub forma unor sume,

el se poate calcula ca suma a doi determinanți de forma A, C, E, F, respectiv B, D, E, F.

Să analizăm următorul determinant.

Elementele liniei i sunt combinații liniare ale liniei 1, respectiv liniei 2.

Aplicându-i acest determinant proprietatea precedentă, îl putem scrie ca suma acestor doi determinanți

în care linia i este formată din primii termeni din sumă, iar în al doilea determinant, linia i este formată din al doilea termen din sumă.

Observăm că în primul determinant avem linia 1 și linia i proporționale, iar în cel de-al doilea, linia 2 și linia i proporționale.

Așadar, determinantul D este 0.

În concluzie, dacă o linie sau o coloană a unei matrice este combinație liniară de celelalte linii, respectiv coloane,

atunci determinantul este 0.

Dacă dorim să calculăm un astfel de determinant, observăm că linia a treia este o combinație liniară a liniei 1, respectiv 2.

În concluzie, este egal cu 0.

Fie acum determinantul unei matrice pătratice de ordinul ien.

Și determinantul de prim obținut prin adunarea la linia j, linia i îmbulțită cu numărul complex alfa.

Acest determinant poate fi scris la rândul lui ca o sumă de 2 determinanți care păstrează toate liniile determinantului de prim, cu excepția liniei j.

În primul determinant, linia j conține primul termen din sumă, iar în cel de-al doilea determinant, al doilea termen din sumă.

Observăm că primul determinant este, de fapt, identic cu determinantul de, iar în cel de-al doilea determinant observăm că linia i și linia j sunt linii proporționale, ca atare va fi egal cu 0.

În concluzie, determinantul de prim este egal cu determinantul de.

Așadar, dacă la elementele unei linii sau ale unei coloane a unei matrice pătratice A se adună elementele altei linii sau alte coloane îmbulțite cu același număr, atunci matricea rezultată are același determinant ca matricea A.

Fie matricea A egală cu A, B, C, D și matricea B de formă X, Y, Z, T.

Produsul A or B este matricea AX plus BZ, AY plus BT, CX plus DZ, CY plus DT.

Determinantul acestui produs este egal cu AX plus BZ îmbulțit cu CY plus DT minus AY plus BT îmbulțit cu CX plus DZ.

Adică, efectuând calculele AX, CY plus AX, DT plus BZ, CY plus BZ, DT minus AY, CX minus AY, DZ minus BT, CX minus BT, DZ.

Observând că aceste două elemente se reduc ca și acești doi termeni, obținem astfel AX, DT plus BZ, CY minus AY, DZ minus BT, CX.

Dacă grupăm primul element cu ultimul element și dăm factor comun produsul X or T, obținem X or T îmbulțit cu AD minus BC.

Iar din celelalți doi termeni rămași, dăm factor comun pe YZ plus YZ îmbulțit cu BC minus AD.

Putem da din nou factor comun diferența AD minus BC și obținem, în paranteză, XT minus YZ.

Prima paranteză nu reprezintă altceva decât determinantul matricei A, iar cea de-a doua paranteză reprezintă determinantul matricei B.

Am obținut așadar relația determinantul produsului matricei A cu matricea B este produsul determinanților celor două matrice.