Proprietățile determinanților- aplicații

Ne propunem, spre exemplu, să calculăm acest determinant.

Pentru a-l calcula mai ușor, urmărim să obținem, în urma aplicării unor proprietăți, cât mai multe zero-uri,

spre exemplu, pe linia a doua sau pe linia a treia sau coloana a treia, respectiv coloana a patra.

Să ne oprim la linia a doua.

Ne propunem să obținem în locul acestui element zero.

Păstrăm așadar coloana a doua, 2, 1, minus 3, 4,

iar această coloană o mulțim cu minus 2 și o adunăm la coloana 1, adică 1 plus 2 ori minus 2.

2 plus 1 ori minus 2.

3 plus minus 3 ori minus 2.

2 plus 4 ori minus 2.

Pentru a obține și în locul acestui element zero, vom aduna coloana a doua cu coloana a treia.

Obținem 2 minus 2, 1 minus 1, minus 3 plus 0, 4 minus 1.

Coloana a patra o vom copia, deoarece aceasta îl conține deja pe zero.

3, 0, 5, 2.

Am obținut așadar determinantul 1 minus 4 minus 3, 2 minus 2, 0, 3 plus 6, 9, 2 minus 8, minus 6.

2, 1, minus 3, 4, 0, 0, minus 3, 3, 3, 0, 5, 2.

Putem dezvolta acum după linia 2 obținând determinantul 1 îmulțit cu minus 1 la puterea 2 plus 2,

îmulțit cu determinantul obținut prin suprimare a liniei 2 și a coloanei 2, adică determinantul minus 3, 0, 3, 9, minus 3, 5, minus 6, 3, 2.

Egal, observăm că elementele coloanei 1, respectiv coloanei 2, sunt multipli de 3 și atunci determinantul acesta îl putem scrie ca fiend minus 3 îmulțit cu minus 3, îmulțit cu 1, minus 3, 2, 0, 1, minus 1, 3, 5, 2.

În noul determinant obținut, observăm că dacă vom aduna linia 3 la linia 2, obținem elementul de pe linia a doua, coloana a doua, egal cu 0, ceea ce ne permite dezvoltarea după coloana a doua, adică avem astfel 9 îmulțit cu,

spuneam că păstrăm linia 1, 1, 0, 3, păstrăm linia 3, 2, minus 1, 2, iar la această linie adunăm linia a doua obținând elementele minus 1, 0, 7.

Așadar, determinantul este egal cu 9 îmulțit cu minus 1, îmulțit cu minus 1 la puterea linia a treia, coloana a doua, adică 5, și îmulțit cu determinantul 1, 3, minus 1, 7,

adică 9 îmulțit cu 7 plus 3, 10, 90.

O altă aplicație interesantă este și calculul determinantului Vandermont de ordine 3.

Acest determinant se poate calcula utilizând atât regula lui Sarus, respectiv regula triunghului, urmând ca în final să descompunem în factor expresia obținută,

cât și metoda dezvoltării după o linie sau după o coloană, metodă care ne oferă în același timp și descompunerea în factor.

Ne vom opri asupra ultimei tehnici, încercând însă să formăm pe una dintre linii sau coloane cât mai multe zerouri.

Observăm că linia 1 conține numere identice, așadar va fi cel mai simplu să formăm zerouri pe această linie.

Vom păstra astfel coloana 1, o vom îmulți cu minus 1 și o vom aduna la coloana a doua, respectiv la coloana a treia.

Am obținut astfel determinantul în care pe prima linie avem două zerouri.

Putem dezvolta acum determinantul după linia 1 obținând 1 îmulțit cu delta 1,1 plus 0 îmulțit cu delta 1,2 plus 0 îmulțit cu delta 1,3.

Avem așadar determinantul V3 egal cu minus 1 la puterea 1 plus 1 îmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 1 din determinantul V3.

Observăm că elementele liniei a doua din acest determinant pot fi descompuse în produse de factor,

așadar observăm că elementele coloanei 1, respectiv elementele coloanei a doua, sunt multiplicate prin factorul B-A, respectiv C-A.

Se obține astfel un determinant egal cu produsul dintre cei doi factori, B-A, respectiv C-A, și acest determinant,

în care elementele coloanei 1, respectiv coloanei a doua, conțin câturile împărțirii la acești factori.

Vom calcula acum acest determinant conform definiției determinantului de ordenul 2,

obținând determinantul V3 ca fiind produsul dintre B-A, C-A, respectiv C plus A minus B minus A.

Așadar, determinantul V3 se poate scrie sub formă de produs ca B-A, C-A, respectiv C minus B.

În mod analog, putem calcula un determinant van der Monde ordinul 4 ca fiind un produs dintre B-A, C-A, D-A, C minus B, D minus B, D minus C,

adică un produs de diferențe ale elementelor liniei a doua în care descăzutul are indicele de coloană mai mare decât cel al scăzătorului, B minus A, C minus A, D minus A, și așa mai departe.

Vă propun să aplicăm proprietățile determinanților și în următoarea problemă.

Fie a o matrice pătratică de ordinul 3 care are elementul 2-2, elementul 3-1 și elementul 3-3 depinzând de un număr real X.

O primă cerință este să determinăm numărul real X astfel încât determinantul matricei A de X să fie egal cu 0.

O a doua cerință este să calculăm determinantul matricei 2 ori A de 1, iar în ultimă instanță ni se cere să calculăm determinantul sumei matricelor A de 1, A de 2, A de 2017.

Pentru calculul determinantului matricei A de X, observăm că adunând coloana 1 la coloana 3, obținem pe aceasta, pe coloana 3-a, obținem două zerouri.

Așadar, determinantul matricei A de X este 1, 0, X, 2X, 0, 0, 0, 2X, plus 1.

Determinant pe care îl putem dezvolta după coloana A3-a, astfel, 2X plus 1 înmulțit cu minus 1 la puterea 3 plus 3 și înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 3 și a coloanei 3, adică determinantul 1, 2, 0, X.

Așadar, determinantul matricei A de X este egal cu 2X plus 1 înmulțit cu X.

Egalând acum acest determinant cu 0, obținem ecuația care are ca soluții X1 egal cu minus 1 pe 2 și X2 egal cu 0.

Pentru calculul determinantului 2Xad1 vom folosi proprietatea determinantul matricei K or A este egal cu K la puterea N or determinantul matricei A, unde N reprezintă numărul de linii respectiv de coloane al matricei A.

Așadar, determinantul matricei 2ad1 va fi egal cu 2 la puterea 3a înmulțit cu determinantul matricei AD1.

Acum, determinantul matricei ADX este 2X plus 1 înmulțit cu X. Înlocuindu-l pe X cu 1, obținem determinantul matricei 2ad1 ca fiind egal cu 2 la puterea 3a înmulțit cu 3 înmulțit cu 1, adică 24.

Pentru rezolvarea cerinței C, să calculăm întâi suma acestor matrice. Vom înlocui în matricea ADX pe X pe rând cu numerele naturale 1, 2, 2017.

Obținem, așadar, suma acestor 2017 matrice, care este egală cu matricea care are ca elemente sumele elementelor corespunzătoare din cele 2017 matrice, adică 1 plus 1 plus 1 de 2017 ori,

2 plus 2 plus 2 de 2017 ori, minus unu minus unu minus unu de 2017 ori, 0 plus 0 plus 0,

1 plus 2 plus 2017, 0 plus 0 plus 0, 1 plus 2 plus 2017, 0 plus 0 plus 0 și, în sfârșit, 2 plus 3 plus 2018.

Calculând aceste sume, obținem matricea care are ca elemente 2017, 2017 ori 2, minus 2017.

Am aplicat pentru calcul acestei sume suma lui Gauss, obținând numărul 2017 ori 2018 supra 2.

În același mod, obținem și elementul de pe linia 3, coloana 1.

Pentru calculul acestui element, l-am scris pe 2018 ca o sumă dintre 1 și 2017,

obținând așadar suma lui Gauss până la 2017, însumând încă o dată numărul 2017.

Efectuând calculele, obținem această matrice și observăm că toate elementele matricei A sunt divizibile cu 2017,

ceea ce înseamnă că o putem scrie ca produsul dintre 2017 și matricea care conține câturile împărțirii fiecărui element la 2017.

Observăm de asemenea că elementele liniei 1 sunt aceleași cu elementele liniei 1 din ADX,

iar în locul elementului X observăm că avem 1.009,

adică această matrice nu este altceva decât produsul dintre 2017 și A de 1.009.

Putem acum calcula determinantul acestei sume, AD1 plus AD2 plus AD2017,

ca fiind determinantul matricei 2017 înmulțit cu A de 1.009,

adică 2017 la puterea 3a înmulțit cu 2 ori 1.009 plus 1 înmulțit cu 1.009.

Obținem așadar determinantul ca fiind egal cu 2017 la puterea 3a înmulțit cu 2019 și înmulțit cu 1.009.