Proprietăți ale șirurilor care au limită - partea a doua

În acest videoclip voi aborda alte proprietăți importante ale șirurilor care au limită.

Proprietatea 5-a are legătură cu subșirurile unui șir.

De aceea voi începe cu definiția unui subșir.

Fie xn un șir de număre reale și funcția fii definită pe n-stea cu valori în n-stea o funcție strict crescătoare.

Șirul x-indice fii n este un subșir al șirului xn.

Să vedem ce vrea să spună această definiție.

Considerăm șirul xn cu termenii x1, x2, x3, x4, x5, x6 și așa mai departe, x2n-1, x2n și așa mai departe.

Dacă din acest șir luăm termenii de rang impar adică x1, x3, x5 și așa mai departe, x2n-1 și așa mai departe,

obținem un subșir al șirului xn.

În acest caz, funcția fii din definiție este

fii definită pe n-stea cu valori în n-stea

fii de n egal cu 2n-1

Funcția fii este o funcție strict crescătoare

Și acum să vedem de unde știm noi că fii de n este 2n-1

Pentru că am luat termenii de rang impar și forma generală a numărelor impare este 2n-1 sau 2n-1

Pentru că dacă n egal cu 1 fii de 1 este 2 ori 1 minus 1 și primul termen are rangul 1

Dacă n egal cu 2 atunci fii de 2 egal cu 2 ori 2 minus 1 adică 4 minus 1 egal 3 și al doilea termen are rangul 3

Înseamnă că legea de corespondență a funcției fii este 2n-1 și nu 2n-1

Notăm acest șir cu x indice 2n-1

Dacă fii este definită pe n-stea cu valori în n-stea fii de n egal cu 2n

Și această funcție este o funcție strict crescătoare

Înseamnă că subshirul pe care îl vom avea va fi format din termenii de rang par ai șirului inițial

Acest subshir va avea termenii x2, x4, x6, ..., x2n, ...

Și îl putem nota cu x indice 2n

Dacă fii de n este 10n-1 și această funcție este o funcție strict crescătoare

Definită pe n-stea cu valori în n-stea

Atunci termenii subshirului vor fi x9, x19, x29, x10n-1, ...

Și acest subshir se notează astfel

Există o infinitate de subshiruri ale șirului xn

Pentru că avem o infinitate de funcții strict crescătoare

Definite pe n-stea cu valori în n-stea

În general, funcțiile strict crescătoare pe care le alegem

Sunt funcții de gradul întâi în n

Cu coeficientului n pozitiv pentru a putea fi strict crescătoare

O observație

Orice subshir are o infinitate de termeni

Până la urmă, fiecare subshir este la rândul lui un șir

Cam atât despre subshiruri

Voi formula acum proprietatea 5

Dacă xn este un șir de numere reale cu limita L din R barat

Atunci orice subshir al său are aceeași limita

Am reprezentat pe axă cu albastru termenii șirului xn

Cu mof termenii unui subshir al său

Cu verde am marcat o vecinătate oarecare a lui L

Dacă xn este un subshir al șirului xn

Și L este limita șirului xn

Înseamnă că în afara oricărei vecinătăți a lui L

Se află un număr finit de termeni ai șirului

Deci și un număr finit de termeni ai subshirului

Dacă în afara oricărei vecinătăți a lui L

Se află un număr finit de termeni ai subshirului

xn

Înseamnă că subshirul xn are limita L

Să verificăm proprietatea p5 pe un exemplu

Considerăm șirul xn egal cu n pentru orice număr natural nenul

Este șirul numerelor naturale

Și vom considera trei subshiruri ale sale

Subshirul termenilor de rang par

x indice 2n egal cu 2n

Subshirul termenilor de rang impar

x indice 2n-1 egal cu 2n-1

Și subshirul x indice n plus 25 egal cu n plus 25 pentru orice n

Șirul xn egal cu n are limita plus infinit

La fel ca și toate cele trei subshiruri

O consecință acestei proprietăți este următorul criteriu de divergență

Dacă șirul xn conține două subshiruri convergente cu limite diferite

Atunci șirul xn este divergent

Cu alte cuvinte un șir este divergent dacă conține două subshiruri convergente cu limite diferite

De exemplu, să considerăm șirul xn egal cu minus 1 la puterea n pentru orice n din n-stelat

Pentru a arăta că șirul xn este divergent

Este suficient să găsim două subshiruri convergente cu limite diferite

Vom considera șirul x2n egal cu minus 1 la puterea 2n pentru orice n natural diferit de 0

Acest subshir este constant

A retermeni 1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1

Va avea limita 1

Si vom considera subshirul X2n-1

Egal cu minus 1 la puterea 2n-1

Pentru orice n natural diferit de 0

Si acest subshir este un shir constant

Pentru ca termenii sai sunt egali cu

minus 1, minus 1, minus 1

Si asa mai departe

Deci subshirul X2n-1

Va avea limita minus 1

Pentru ca shirul Xn

Contine doua subshiruri

Convergente cu limite diferite

Inseamna ca shirul Xn

Egal cu minus 1 la puterea n

Este divergent

Acesta este un procedeu

Foarte des utilizat

Pentru a arata ca un shir este divergent

Ceea ce avem de facut este

Sa gasim doua subshiruri

Ale shirului initial

Care sunt convergente

La limite diferite

Proprietatea 6

Daca Xn este un shir convergent

Cu limita L

Atunci shirul modul din Xn

Va fi la randul sau convergent

Si limita shirului modul din Xn

Este egala cu modul din L

Formulata mai pe scurt

Aceasta proprietate

Are urmatorul enunt

Limita modulului este egala

Cu modulul limitei

Verificam aceasta proprietate

Pe un exemplu

Consideram shirul Xn

Egal cu minus 4n plus 1

Supra n plus 1

Termenii acestui shir sunt

Minus 3 pe 2

Minus 7 pe 3

Minus 11 pe 4

Minus 3 si asa mai departe

Acest shir are limita

Minus 4

Si acest shir

Este un modul

Din Xn

Este egal cu modul

Din minus 4n plus 1

Supra n plus 1

Si va avea termenii

Modul din minus 3 pe 2

Adica 3 pe 2

Modul din minus 7 pe 3

Adica 7 pe 3

Modul din minus 11 pe 4

Adica 11 pe 4

Modul din minus 3

Care este 3

Si asa mai departe

Shirul modul din Xn

Are limita 4

Care este egala

Cu modulul

Limitei lui Xn

Adica modul

Din minus 4

O observatie

Reciproca

Propozitiei P6

Nu este adevarata

De exemplu

Consideram shirul Xn

Egal cu minus 1 la puterea n

Pentru orice n din n-stelat

Shirul modul

Din Xn este egal

Cu modul din minus 1

La puterea n

Si va fi shirul constant 1

Inseamna ca shirul

Modul din Xn

Are limita 1

In timp ce

Shirul Xn este divergent

Am aratat inainte

Ca are doua subshiruri

X2n si

X2n-1

Care sunt convergente

Si au limite diferite

Proprietatea 7

Orice shir convergent

Este marginit

Adica daca shirul Xn

Are limita L

L fiind un numar real

Atunci

Shirul Xn este

marginit

Sa ne reamintim ca

Xn este un shir marginit

Daca exista M

pozitiv

Astfel incat modul din Xn

Sa fie mai mic sau egal

Cu M pentru orice

N

Am reprezentat prin desen

Ce inseamna ca shirul Xn este marginit

Tot termenii

Shirului trebuie sa se gaseasca

Intre minus M

Si M

Pentru ca modul din

Xn sa fie mai mic

Sau egal cu M pentru orice

N

Sa demonstram aceasta

Proprietate

Din moment ce Xn este un shir

Convergent catre L

In orice vecinatate

A lui L

Se gasesc tot termenii shirului

I-am marcat cu albastru

Cu exceptia

Unui numar finit

De termeni

Am reprezentat in afara vecinatatii

Cativa termenii shirului

Vom considera

Vecinatatea

V egal cu

Minus 1 minus modul din L

Modul din L plus 1

De ce aleg aceasta vecinatate?

Vreau sa fiu sigura

Ca extremitatea din dreapta

A vecinatatii

Este un numar pozitiv

Mai mare decat L

Daca iau modul din L

Acesta sigur este

Un numar pozitiv

Si daca adaug 1

Dar si fi putut adauga

Orice alt numar

Atunci sunt sigura ca

Modul din L plus 1

Este mai mare strict decat L

Acest interval este

O vecinatatea lui L

Asa ca in interiorul intervalului

Gasim o infinitate

De termeni ai shirului

Si in afara intervalului

Un numar finit de termeni

Nu stim cat

Dar stim sigur

Ca este un numar finit

Notez cu

Xn1, Xn2, XnP

Termenii din shirul Xn

Care se gasesc in afara

Vecinatatii

Minus 1 minus modul din L

Modul din L plus 1

Evident

In 1, in 2, in P

Trebuie sa fie numere naturale

P la randul lui este un numar natural

Pentru a arata

Ca shirul Xn este marginit

Trebuie sa gasim

Acest M mare pozitiv

Pentru care modul

Din Xn e mai mic sau egal

Cu M

Voi alege ca

M mare sa fie

Cel mai mare dintre

Extremitatile

Acestei vecinatati

Si modulele

Termenilor

Aflati in afara vecinatati

Adica

M este maximul

Dintre modul

Din Xn1, modul din Xn2

Si asa mai departe

Modul din XnP

Si 1 plus

Modul din L

Nu am mai inclus extremitatea

Stanga a vecinatatii

Pentru ca oricum este negativa

Rezulta ca

Toti termenii shirului

Sunt in intervalul inchis

Minus M

Adica modul din Xn

Este mai mic sau egal

Cu M pentru orice

N, adica shirul Xn

Este marginit

O observatie

Nu orice shir marginit

Este si convergent

De exemplu, shirul Xn

Egal cu minus 1 la puterea N

Termenii shirului sunt

Doar minus 1 sau 1

Acest shir este evident

Marginit, dar am aratat

Inainte ca este

Un shir divergent

O consecinta acestei

Proprietati

Este

Urmatorul criteriu

De divergenta

Daca Xn este un shir nemarginit

Atunci el este divergent