Transcript: Proprietăți ale șirurilor care au limită - partea a doua

În acest videoclip voi aborda alte proprietăți importante ale șirurilor care au limită.
Proprietatea 5-a are legătură cu subșirurile unui șir.
De aceea voi începe cu definiția unui subșir.
Fie xn un șir de număre reale și funcția fii definită pe n-stea cu valori în n-stea o funcție strict crescătoare.
Șirul x-indice fii n este un subșir al șirului xn.
Să vedem ce vrea să spună această definiție.
Considerăm șirul xn cu termenii x1, x2, x3, x4, x5, x6 și așa mai departe, x2n-1, x2n și așa mai departe.
Dacă din acest șir luăm termenii de rang impar adică x1, x3, x5 și așa mai departe, x2n-1 și așa mai departe,
obținem un subșir al șirului xn.
În acest caz, funcția fii din definiție este
fii definită pe n-stea cu valori în n-stea
fii de n egal cu 2n-1
Funcția fii este o funcție strict crescătoare
Și acum să vedem de unde știm noi că fii de n este 2n-1
Pentru că am luat termenii de rang impar și forma generală a numărelor impare este 2n-1 sau 2n-1
Pentru că dacă n egal cu 1 fii de 1 este 2 ori 1 minus 1 și primul termen are rangul 1
Dacă n egal cu 2 atunci fii de 2 egal cu 2 ori 2 minus 1 adică 4 minus 1 egal 3 și al doilea termen are rangul 3
Înseamnă că legea de corespondență a funcției fii este 2n-1 și nu 2n-1
Notăm acest șir cu x indice 2n-1
Dacă fii este definită pe n-stea cu valori în n-stea fii de n egal cu 2n
Și această funcție este o funcție strict crescătoare
Înseamnă că subshirul pe care îl vom avea va fi format din termenii de rang par ai șirului inițial
Acest subshir va avea termenii x2, x4, x6, ..., x2n, ...
Și îl putem nota cu x indice 2n
Dacă fii de n este 10n-1 și această funcție este o funcție strict crescătoare
Definită pe n-stea cu valori în n-stea
Atunci termenii subshirului vor fi x9, x19, x29, x10n-1, ...
Și acest subshir se notează astfel
Există o infinitate de subshiruri ale șirului xn
Pentru că avem o infinitate de funcții strict crescătoare
Definite pe n-stea cu valori în n-stea
În general, funcțiile strict crescătoare pe care le alegem
Sunt funcții de gradul întâi în n
Cu coeficientului n pozitiv pentru a putea fi strict crescătoare
O observație
Orice subshir are o infinitate de termeni
Până la urmă, fiecare subshir este la rândul lui un șir
Cam atât despre subshiruri
Voi formula acum proprietatea 5
Dacă xn este un șir de numere reale cu limita L din R barat
Atunci orice subshir al său are aceeași limita
Am reprezentat pe axă cu albastru termenii șirului xn
Cu mof termenii unui subshir al său
Cu verde am marcat o vecinătate oarecare a lui L
Dacă xn este un subshir al șirului xn
Și L este limita șirului xn
Înseamnă că în afara oricărei vecinătăți a lui L
Se află un număr finit de termeni ai șirului
Deci și un număr finit de termeni ai subshirului
Dacă în afara oricărei vecinătăți a lui L
Se află un număr finit de termeni ai subshirului
xn
Înseamnă că subshirul xn are limita L
Să verificăm proprietatea p5 pe un exemplu
Considerăm șirul xn egal cu n pentru orice număr natural nenul
Este șirul numerelor naturale
Și vom considera trei subshiruri ale sale
Subshirul termenilor de rang par
x indice 2n egal cu 2n
Subshirul termenilor de rang impar
x indice 2n-1 egal cu 2n-1
Și subshirul x indice n plus 25 egal cu n plus 25 pentru orice n
Șirul xn egal cu n are limita plus infinit
La fel ca și toate cele trei subshiruri
O consecință acestei proprietăți este următorul criteriu de divergență
Dacă șirul xn conține două subshiruri convergente cu limite diferite
Atunci șirul xn este divergent
Cu alte cuvinte un șir este divergent dacă conține două subshiruri convergente cu limite diferite
De exemplu, să considerăm șirul xn egal cu minus 1 la puterea n pentru orice n din n-stelat
Pentru a arăta că șirul xn este divergent
Este suficient să găsim două subshiruri convergente cu limite diferite
Vom considera șirul x2n egal cu minus 1 la puterea 2n pentru orice n natural diferit de 0
Acest subshir este constant
A retermeni 1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1
Va avea limita 1
Si vom considera subshirul X2n-1
Egal cu minus 1 la puterea 2n-1
Pentru orice n natural diferit de 0
Si acest subshir este un shir constant
Pentru ca termenii sai sunt egali cu
minus 1, minus 1, minus 1
Si asa mai departe
Deci subshirul X2n-1
Va avea limita minus 1
Pentru ca shirul Xn
Contine doua subshiruri
Convergente cu limite diferite
Inseamna ca shirul Xn
Egal cu minus 1 la puterea n
Este divergent
Acesta este un procedeu
Foarte des utilizat
Pentru a arata ca un shir este divergent
Ceea ce avem de facut este
Sa gasim doua subshiruri
Ale shirului initial
Care sunt convergente
La limite diferite
Proprietatea 6
Daca Xn este un shir convergent
Cu limita L
Atunci shirul modul din Xn
Va fi la randul sau convergent
Si limita shirului modul din Xn
Este egala cu modul din L
Formulata mai pe scurt
Aceasta proprietate
Are urmatorul enunt
Limita modulului este egala
Cu modulul limitei
Verificam aceasta proprietate
Pe un exemplu
Consideram shirul Xn
Egal cu minus 4n plus 1
Supra n plus 1
Termenii acestui shir sunt
Minus 3 pe 2
Minus 7 pe 3
Minus 11 pe 4
Minus 3 si asa mai departe
Acest shir are limita
Minus 4
Si acest shir
Este un modul
Din Xn
Este egal cu modul
Din minus 4n plus 1
Supra n plus 1
Si va avea termenii
Modul din minus 3 pe 2
Adica 3 pe 2
Modul din minus 7 pe 3
Adica 7 pe 3
Modul din minus 11 pe 4
Adica 11 pe 4
Modul din minus 3
Care este 3
Si asa mai departe
Shirul modul din Xn
Are limita 4
Care este egala
Cu modulul
Limitei lui Xn
Adica modul
Din minus 4
O observatie
Reciproca
Propozitiei P6
Nu este adevarata
De exemplu
Consideram shirul Xn
Egal cu minus 1 la puterea n
Pentru orice n din n-stelat
Shirul modul
Din Xn este egal
Cu modul din minus 1
La puterea n
Si va fi shirul constant 1
Inseamna ca shirul
Modul din Xn
Are limita 1
In timp ce
Shirul Xn este divergent
Am aratat inainte
Ca are doua subshiruri
X2n si
X2n-1
Care sunt convergente
Si au limite diferite
Proprietatea 7
Orice shir convergent
Este marginit
Adica daca shirul Xn
Are limita L
L fiind un numar real
Atunci
Shirul Xn este
marginit
Sa ne reamintim ca
Xn este un shir marginit
Daca exista M
pozitiv
Astfel incat modul din Xn
Sa fie mai mic sau egal
Cu M pentru orice
N
Am reprezentat prin desen
Ce inseamna ca shirul Xn este marginit
Tot termenii
Shirului trebuie sa se gaseasca
Intre minus M
Si M
Pentru ca modul din
Xn sa fie mai mic
Sau egal cu M pentru orice
N
Sa demonstram aceasta
Proprietate
Din moment ce Xn este un shir
Convergent catre L
In orice vecinatate
A lui L
Se gasesc tot termenii shirului
I-am marcat cu albastru
Cu exceptia
Unui numar finit
De termeni
Am reprezentat in afara vecinatatii
Cativa termenii shirului
Vom considera
Vecinatatea
V egal cu
Minus 1 minus modul din L
Modul din L plus 1
De ce aleg aceasta vecinatate?
Vreau sa fiu sigura
Ca extremitatea din dreapta
A vecinatatii
Este un numar pozitiv
Mai mare decat L
Daca iau modul din L
Acesta sigur este
Un numar pozitiv
Si daca adaug 1
Dar si fi putut adauga
Orice alt numar
Atunci sunt sigura ca
Modul din L plus 1
Este mai mare strict decat L
Acest interval este
O vecinatatea lui L
Asa ca in interiorul intervalului
Gasim o infinitate
De termeni ai shirului
Si in afara intervalului
Un numar finit de termeni
Nu stim cat
Dar stim sigur
Ca este un numar finit
Notez cu
Xn1, Xn2, XnP
Termenii din shirul Xn
Care se gasesc in afara
Vecinatatii
Minus 1 minus modul din L
Modul din L plus 1
Evident
In 1, in 2, in P
Trebuie sa fie numere naturale
P la randul lui este un numar natural
Pentru a arata
Ca shirul Xn este marginit
Trebuie sa gasim
Acest M mare pozitiv
Pentru care modul
Din Xn e mai mic sau egal
Cu M
Voi alege ca
M mare sa fie
Cel mai mare dintre
Extremitatile
Acestei vecinatati
Si modulele
Termenilor
Aflati in afara vecinatati
Adica
M este maximul
Dintre modul
Din Xn1, modul din Xn2
Si asa mai departe
Modul din XnP
Si 1 plus
Modul din L
Nu am mai inclus extremitatea
Stanga a vecinatatii
Pentru ca oricum este negativa
Rezulta ca
Toti termenii shirului
Sunt in intervalul inchis
Minus M
Adica modul din Xn
Este mai mic sau egal
Cu M pentru orice
N, adica shirul Xn
Este marginit
O observatie
Nu orice shir marginit
Este si convergent
De exemplu, shirul Xn
Egal cu minus 1 la puterea N
Termenii shirului sunt
Doar minus 1 sau 1
Acest shir este evident
Marginit, dar am aratat
Inainte ca este
Un shir divergent
O consecinta acestei
Proprietati
Este
Urmatorul criteriu
De divergenta
Daca Xn este un shir nemarginit
Atunci el este divergent