Pozițiile relative a două plane (plane paralele, plane secante)

În această secvență discutăm despre pozițiile relative a două plane.

Cu alte cuvinte, ce așezare poate avea un plan față de altul?

Și putem întâlni. Plane confundate, planul alfa coincide, iată, cu planul determinat de punctele A, B și C, alfa egal cu planul A, B, C,

sau putem avea plane paralele, ce înțelegem prin plane paralele? Plane care nu au puncte în comun.

Și am notat aici că planul alfa intersectat cu planul beta este mulțimea vidă.

Și mai putem avea plane secante. Ce înțelegem prin plane secante? Și să vedem definiția.

Două plane se numesc plane secante dacă intersecția lor este o dreaptă.

Deci, planul alfa intersectat cu planul beta, notăm alfa intersectat cu beta, ne dă dreapta D.

Deci, dreapta D intersecție a planelor alfa și beta.

Despre plane paralele vom discuta mai în detaliu când vom vorbi și despre teoremele de paralelism în spațiu.

Însă, cum demonstrăm că două plane sunt secante?

Păi să ne amintim că avem această teoremă care a fost demonstrată atunci când am discutat despre axiomele geometriei în spațiu.

Și anume, dacă două plane distincte au un punct în comun, atunci intersecția lor este o dreaptă.

Ca să fie foarte clar, dacă două plane au un punct în comun, atunci avem de fapt două posibilități.

Deci, avem două plane care au un punct în comun. Ce înseamnă asta?

Fie avem plane confundate, fie avem plane secante.

Însă, atenție! Când punem condiția ca cele două plane să fie plane distincte,

deci dacă două plane distincte, dacă trecem aici și cuvântul distincte,

atunci clar ele nu au cum să fie plane confundate, deci această variantă pică și ne rămân doar plane secante.

Concret, ca să arătăm că două plane sunt secante, vom arăta că ele sunt distincte și că au un punct în comun.

Și acum să facem această aplicație.

Mi se dă cubul ABCD A'B'C'D' și vrem să arătăm că planele ABC și D'C'C sunt plane secante.

Prin urmare, avem planul ABC, să vedem care este, să-l avem aici pe figură, ABC,

deci avem acest plan și planul D'C'C.

Deci, avem D'C'C.

Bun, cu alte cuvinte avem acest plan.

Trebuie să arătăm că aceste două plane sunt plane secante.

Păi ce avem de făcut?

Trebuie să arătăm că ele au un punct în comun și că sunt plane distincte.

Păi e clar care este punctul pe care l-au în comun, se vede foarte ușor pe figură.

Deci să trecem așa că punctul C aparține intersecției planelor ABC și D'C'C.

Știm că planele sunt distincte, planul ABC este diferit de planul D'C'C,

pentru că, iată, nu are cum ca ele să fie plane confundate,

pentru că planul ABC este, de fapt, planul ABCD,

acest plan cu verde este planul D'C'C, deci acesta,

și cum avem aici un cub, înseamnă că ele sunt, într-adevăr, plane distincte.

Cum avem două plane distincte care au un punct în comun,

înseamnă că ele sunt plane secante.

Deci avem că planele ABC și D'C'C sunt plane secante.

Următoarea cerință să arătăm că planele A'D'C și D'C'B sunt plane secante.

Și avem aici planele A'D'C și planul D'C'B.

Trebuie să arătăm că aceste două plane sunt plane secante.

Punctul lor de intersecție nu este evident,

cum a fost în exercițiu anterior, însă haide să notăm mai întâi

că cele două plane sunt plane distincte, deci A'D'C este diferit de planul D'C'B'.

Iată, dacă ele ar coincide, atunci asta înseamnă că punctul C

aparține planului D'C'B, ceea ce e fals pentru că avem aici un cub.

Și acum să vedem care este punctul de intersecție al celor două plane,

să găsim de fapt un punct de intersecție al celor două plane.

Păi e ușor de văzut că planul D'C'B' este de fapt planul D'C'B'A'

și A' este de fapt punctul de intersecție, un punct de intersecție.

Deci haide să arătăm că planul D'C'B' coincide cu planul A'B'C'D'.

Am mai făcut asemenea demonstrații și într-o altă secvență,

însă dacă tot vorbim aici de pozițiile relative a două plane,

haide să facem și aici demonstrația.

Și avem așa, A'B' este o dreaptă paralelă cu D'C'

pentru că avem aici pătrat această dreaptă paralelă cu aceasta,

prin urmare înseamnă că ele determină un plan unic.

Deci există alfa plan, astfel încât alfa conține aceste două drepte,

cu alte cuvinte conține și punctele A'B'C'D'.

Toate aparțin planului alfa.

Însă, oricare trei din aceste patru puncte sunt necoliniare,

prin urmare și punctele date aici D'C'B' sunt necoliniare.

Asta înseamnă că planul determinat de ele, D'C'B' este un plan unic.

Dacă ele determină un plan și se află în același timp și în planul alfa,

iată B'D'C' sunt și în alfa, înseamnă că planul alfa

trecem aici, coincide de fapt cu planul D'C'B'.

Bun, dar la ce ne folosește această informație?

Păi, punctul A' aparține planului alfa.

Alfa este identic cu acest plan, deci rezultă că A' aparține planului D'C'B'.

D'C'B'

Și deja problema noastră s-a rezolvată, dacă vreți putem să scriem în continuare,

că asta înseamnă că planele, haideți să scriem aici,

că planele D'C'B' și A'B'C'B' coincid.

Bun, ne oneste de folos această informație, iată,

punctul A' aparține acestui plan, deci putem să notăm,

A' aparține planului D'C'B'.

Punctul A' aparține și acestui plan A'D'C', asta e evident.

Cu alte cuvinte, punctul A' aparține intersecției celor două plane.

Cum ele sunt plane distincte, haideți să copiem aici,

deci rezultă că planele D'C'B' și A'D'C' sunt plane secante.

Acum știm că două plane secante au ca intersecție o dreaptă.

Haideți totuși să trecem și care este dreapta de intersecție a acestor două plane,

adică planul D'C'B' intersectat cu planul A'D'C.

Ce dreaptă vom obține?

Păi haideți să ne uităm puțin pe figură, că nu e deloc complicat.

Planul D'C'B' este de fapt acest plan, iată,

planul D'C'B'A', chiar o să și trec aici,

deci vorbim de fapt de acest plan.

Bun, așurăm aici.

Planul A'D'C este de fapt acest plan,

A'B'C'D, deci avem acest plan.

Păi care este dreapta lor de intersecție?

Este dreapta A'B'.

Deci să trecem aici, că avem de fapt dreapta A'B'.