Numărul e - Teorema lui Daniel Bernoulli - demonstrație

În primul videoclip din cadrul acestei lecții spuneam că descoperirea numărului irrațional e îi este atribuită lui Iacob Bernoulli,

care a încercat să găsească valoarea limitei când întinde la infinit din 1 plus 1 pe n la puterea n.

El nu a reușit să găsească valoarea acestei limite, dar unul dintre nepoții săi, Daniel Bernoulli, a demonstrat convergența șirului 1 plus 1 pe n la puterea n.

În acest videoclip voi enunța și demonstra teorema lui Daniel Bernoulli.

Daniel Bernoulli s-a născut în 8 februarie 1700 la Gröningen, în țările de jos, și a murit în 17 martie 1782 la Basel, în Elveția.

El a fost un matematician elvețian, partea celebrei familii de matematicieni Bernoulli.

Să vedem ce spune teorema lui Daniel Bernoulli.

Dacă șirul xn are termenul general 1 plus 1 pe n la puterea n când n este mai mare sau egal cu 1,

atunci xn este un șir mărginit, toți termenii lui se găsesc între 2 și 3,

șirul xn este monoton strict crescător și șirul xn este convergent.

Evident că dacă vom demonstra supunctele a și b cu ajutorul proprietății lui Weierstrass,

va rezulta imediat și faptul că xn este un șir convergent.

Vom începe prin a demonstra că xn este un șir mărginit, adică supunctul A al acestei teoreme.

Pentru că în termenul general al șirului xn ne apare un binom la puterea n,

să ne reamintim formula binomului lui Newton.

a plus b la puterea n este egal cu combinări de n luate câte 0 a la puterea n

plus combinări de n luate câte 1 a la puterea n minus 1 ori b plus puncte puncte puncte plus

combinări de n luate câte k a la n minus k b la k, am scris și termenul general,

plus puncte puncte puncte plus combinări de n luate câte n minus 1 a ori b la n minus 1

plus combinări de n luate câte n b la puterea n.

Pentru ca să nu scriem așa o sumă lungă, putem folosi simbolul sigma, simbolul sumei

și atunci a plus b la puterea n este egal cu sumă de la k egal cu 0 până la n

combinări de n luate câte k a la n minus k b la puterea k.

Vedeți că dacă avem k egal cu 0 obținem primul terminal sumei

combinări de n luate câte 0, k este 0, a la puterea n minus 0 adică a la puterea n

și b la puterea 0 care este 1.

Apoi urmează al doilea terminal sumei în care îl înlocuim pe k cu 1 și așa mai departe

până când ajungem la ultimul terminal sumei în care k este egal cu n.

Asta în caz că nu știți notația sumei cu sigma.

Voi folosi formula binomului lui Newton crisă cu ajutorul simbolului sumei

pentru a dezvolta 1 plus 1 pe n la puterea n.

În acest caz, exponentul rămâne același, este tot n la fel ca și în binomul lui Newton

a este egal cu 1 și b este egal cu 1 pe n.

Deci voi obține sumă de la k egal cu 0 până la n

combinări de n luate câte k ori 1 la puterea n minus k pentru că a este egal cu 1

ori 1 pe n la puterea k pentru că b este egal cu 1 pe n.

Și acum vom lucra în termenul general al acestei sume.

În primul rând vom scrie ce înseamnă combinări de n luate câte k

apoi vom ține cont de faptul că 1 la puterea n minus k este egal cu 1.

Combinări de n luate câte k este egal cu n factorial supra k factorial ori n minus k factorial

îl voi separa pe 1 supra k factorial

obținem 1 supra k factorial ori n factorial supra n minus k factorial

și acum vom simplifica această fracție scriindu-l pe n factorial în funcție de n minus k factorial

obținem 1 supra k factorial ori n minus k factorial ori n minus k plus 1

ar urma n minus k plus 2 și așa mai departe până la n

supra n minus k factorial

n minus k factorial se simplifică și rămânem cu

1 supra k factorial ori n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n totul supra 1

aici vom avea de fapt k factori

pentru că n factorial are n factori

n minus k factori s-au simplificat

înseamnă că au mai rămas k factori

de la n minus k plus 1 și până la n

voi înlocui acum acest rezultat

în calculul lui 1 plus 1 pe n la puterea n

adică voi înlocui combinările de n luate câte k

cu 1 supra k factorial ori n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n

iar pe 1 supra n totul la puterea k

îl voi scrie ca 1 supra n ori n ori n de k ori

obținem sumă de la k egal cu 0 la n

din 1 supra k factorial ori

n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n ori

1 supra n ori n ori n de k ori

pentru că aici avem k factori

și aici avem tot k factori

vom pune sub fiecare factor din acest produs

câte un n

obținem sumă de la k egal cu 0 la n

din 1 supra k factorial ori

n minus k plus 1 pe n

deci acest factor supra n

am scris și factorul următor ar fi n minus k plus 2 supra n

puncte puncte puncte

am scris și ce aș avea înaintea lui n

este factorul n minus 1 supra n

și în final n supra n

și acum voi lucra în fiecare fracție

obținem sumă de la k egal cu 0 la n

din 1 supra k factorial ori

și aici voi scrie n supra n minus linie de fracție

și atunci la numărător voi avea k minus 1 supra n

deci n supra n minus k minus 1 supra n ori

urmează a doua fracție fac același lucru

n supra n minus k minus 2 supra n ori

aici la penultima fracție voi scrie n supra n minus 1 supra n

deci ori 1 minus 1 supra n

și n supra n se simplifică

voi ține cont că n supra n este 1

și voi înlocui n supra n în fiecare paranteză cu 1

și vom obține sumă de la k egal cu 0 până la n

din 1 supra k factorial ori

1 minus k minus 1 pe n

ori 1 minus k minus 2 supra n ori

puncte puncte puncte

1 minus 1 pe n

fiecare factor din acest produs este

un număr subunitar

adică cuprins între 0 deschis, 1 deschis

pentru că din 1 scădem o cantitate pozitivă

mai mică decât 1

k este mai mic decât n

și înseamnă că acest termen va fi mai mic decât

1 supra k factorial

știm că dacă înmulțim un număr pozitiv

cu un număr subunitar pozitiv

produsul va fi mai mic decât

numărul pozitiv inițial

și atunci aici obținem că

această sumă va fi mai mică decât

suma de la k egal cu 0 și până la n

din 1 supra k factorial

și acum scriem toți termenii sumei

îl înlocuim pe k cu 0

pentru primul termen al sumei

deci 1 pe 0 factorial plus

apoi k egal cu 1

1 supra 1 factorial plus

1 supra 2 factorial și așa mai departe

până la 1 supra n factorial

acum mă voi folosi de faptul că

0 factorial este 1

și că pentru orice n mai mare sau egal cu 2

avem că n factorial este mai mare sau egal cu 2

la puterea n minus 1

adică 1 supra n factorial va fi mai mic sau egal

cu 1 supra 2 la puterea n minus 1

pentru orice n mai mare sau egal decât 2

și atunci rescriu această sumă

și obțin 1 supra 1

pentru că 0 factorial este 1 plus

și restul termenilor doar i-am copiat

și acum fiecare termen începând

de la 1 supra 2 factorial și până la

1 supra n factorial

îl înlocuiesc cu

1 pe 2 la 2 și așa mai departe

până la 1 pe 2 la n minus 1

și atunci evident această sumă va fi

mai mică sau egală decât

1 plus 1 plus 1 pe 2 plus

puncte puncte puncte plus 1 supra 2

la puterea n minus 1

de la al doilea 1 începând și până la final

avem suma primilor n termeni

a unei progresii geometrice

de rație 1 pe 2

și cu primul termen 1

să ne reamintim formula

sumei primilor n termeni

a unei progresii geometrice

cu rația diferită de 1

pe care am notat-o cu Q și primul termen

pe care l-am notat cu B1

este egal cu B1 pe lângă 1 minus Q la puterea n

supra 1 minus Q

folosim această formulă și înlocuim

suma 1 plus 1 pe 2

plus puncte puncte puncte plus 1 supra 2

la n minus 1 cu

1 ori

1 minus 1 pe 2 la puterea n

supra 1 minus 1 pe 2

1 minus 1 pe 2 de la numitor

este egal cu 1 pe 2

și atunci, pentru că 1 pe 2 este la numitor

trebuie să înmulțim

numărătorul

cu inversul numitorului

adică vom obține

1 plus 2 ori

inversului 1 pe 2 este 2

minus 1 supra 2 la puterea n

facem produsul 2 ori 1

minus 2 ori 1 supra 2

la puterea n

și obținem 1 plus 2 minus

1 supra 2 la puterea n minus 1

care este egal cu 3 minus

1 supra 2 la puterea n minus 1

care este evident mai mic decât 3

scăbăm o cantitate pozitivă

ceea ce am arătat până acum

este că

xn este mai

mic sau egal

decât 3 pentru orice

n mai mare sau egal cu 1

noi de la punctul A

am demonstrat doar această

inegalitate xn mai mic sau egal

decât 3 pentru orice n din n-stea

pentru a arăta că xn este mai mare

sau egal cu 2 pur și simplu

scriem 1 plus 1

pe n la puterea n folosind

formula binomului lui Newton

am rescris aici formula binomului

lui Newton pe care o aplicăm

pentru dezvoltarea lui 1 plus 1 pe n

la puterea n, a este 1

b este 1 pe n și n rămâne n

deci avem combinări de n luate câte 0

ori 1 la puterea n plus combinări de n

luate câte 1 1 la puterea n minus 1 ori 1 pe n

și așa mai departe combinări de n

luate câte n 1 pe n la puterea n

scriem ce înseamnă

combinările de n luate câte 0 și combinările

de n luate câte 1 folosind

formula combinărilor

ținem cont că 0 factorial

este 1 și atunci aici

n factorial cu n factorial se simplifica

1 la puterea n este 1

pentru al doilea termen din sumă vom

obține n factorial supra 1 factorial

n factorial și n minus 1 factorial se simplifică

aici rămâne n

1 la puterea n minus 1 este 1

n ori 1 pe n este 1

deci primul termen din sumă este 1

al doilea termen din sumă este tot 1

ceilalți termeni nu ne chiar interesează

cu cine sunt egal, important este

că ei sunt pozitivi

deci înseamnă că această sumă

va fi mai mare sau egală cu 2

pentru orice n din n stelat

suma este chiar egală cu 2

dacă n este egal

cu 1 pentru că atunci am avea

1 plus 1 pe 1 la puterea 1

deci de fapt numai primii doi termeni

deci am demonstrat că xn este mai mare sau egal

cu 2 pentru orice n din n stelat

și cu aceasta

primul punct din teorema lui Bernoulli este

demonstrat. Urmează să arătăm

că xn este un șir monoton strict crescător

adică trebuie să arătăm că

xn este mai mic decât xn plus 1

pentru orice n din n stelat

ceea ce este echivalent cu

1 plus 1 pe n totul la puterea n

mai mic decât 1 plus 1 supra n plus 1

la puterea n plus 1 pentru orice n din n stelat

vom extrage radical de ordine

n plus 1 din ambii membri

ai inegalității, cantitățile

din membrul stâng și membrul drept

sunt pozitive, putem face acest lucru

și vom obține radical de ordine

1 plus 1 din 1 plus 1 pe n la puterea n

mai mic decât 1 plus 1 supra n plus 1

pentru orice n din n stelat

Deci, pentru a arăta că xn este

strict crescător este suficient să demonstrăm

această inegalitate

Pentru a o demonstra vom porni de la

inegalitatea mediilor. Noi știm că media geometrică

este mai mică decât media aritmetică

numerele nu sunt toate egale între ele

adică dacă a1, a2

și așa mai departe a n a n plus 1 sunt

n plus 1 numere pozitive

atunci media lor geometrică va fi radical de ordine

n plus 1 din produsul lor

și media lor aritmetică va fi

suma lor supra n plus 1

Vom considera următoarele

n plus 1 numere pozitive

1 și apoi 1 plus 1

pe n de n ori

Deci vom avea n numere egale

între ele și toate egale cu

1 plus 1 pe n. Să scriem ce înseamnă

media geometrică și ce înseamnă media

aritmetică a acestor n plus 1

numere. Media geometrică

va fi egală cu radical de ordine

n plus 1 din 1 ori

1 plus 1 pe n

înmulțit cu el însuși de n ori

adică 1 plus 1 pe n la puterea n

Media aritmetică a

acestor numere va fi egală

cu suma lor adică

vine 1 plus și apoi

1 plus 1 pe n se adună

cu el însuși de n ori adică

vom avea n ori 1 plus 1 pe n

totul supra n plus 1

Desfac paranteza și obținem

1 plus n ori 1 adică

n plus n ori 1 pe n adică

1 și apoi scriu

această fracție ca

1 plus n supra n plus 1 care este

1 plus 1 supra n plus 1

și acum dacă scriem

că media geometrică este mai mică

decât media aritmetică

obținem radical de ordine

n plus 1 din 1 plus 1 pe n la puterea n

mai mic decât 1 plus 1 pe n plus 1

pentru orice n aparținându-i n stelat

ceea ce înseamnă că această

inegalitate este demonstrată

ceea ce înseamnă că șirul XN este

un șir strict crescător

Deci am demonstrat și punctul B

din teorema lui Bernoulli

și acum pentru că șirul

XN este mărginit

inclusiv mărginit superior

șirul XN este monoton strict crescător

rezultă pe baza proprietății lui

va ești raz că XN este un șir

convergent. Limita șirului

1 plus 1 pe n la puterea n se notează

cu e unde numărul e

este un număr irrațional

și are valoare aproximativă

2,718281