Transcript: Numărul e - Teorema lui Daniel Bernoulli - demonstrație

În primul videoclip din cadrul acestei lecții spuneam că descoperirea numărului irrațional e îi este atribuită lui Iacob Bernoulli,
care a încercat să găsească valoarea limitei când întinde la infinit din 1 plus 1 pe n la puterea n.
El nu a reușit să găsească valoarea acestei limite, dar unul dintre nepoții săi, Daniel Bernoulli, a demonstrat convergența șirului 1 plus 1 pe n la puterea n.
În acest videoclip voi enunța și demonstra teorema lui Daniel Bernoulli.
Daniel Bernoulli s-a născut în 8 februarie 1700 la Gröningen, în țările de jos, și a murit în 17 martie 1782 la Basel, în Elveția.
El a fost un matematician elvețian, partea celebrei familii de matematicieni Bernoulli.
Să vedem ce spune teorema lui Daniel Bernoulli.
Dacă șirul xn are termenul general 1 plus 1 pe n la puterea n când n este mai mare sau egal cu 1,
atunci xn este un șir mărginit, toți termenii lui se găsesc între 2 și 3,
șirul xn este monoton strict crescător și șirul xn este convergent.
Evident că dacă vom demonstra supunctele a și b cu ajutorul proprietății lui Weierstrass,
va rezulta imediat și faptul că xn este un șir convergent.
Vom începe prin a demonstra că xn este un șir mărginit, adică supunctul A al acestei teoreme.
Pentru că în termenul general al șirului xn ne apare un binom la puterea n,
să ne reamintim formula binomului lui Newton.
a plus b la puterea n este egal cu combinări de n luate câte 0 a la puterea n
plus combinări de n luate câte 1 a la puterea n minus 1 ori b plus puncte puncte puncte plus
combinări de n luate câte k a la n minus k b la k, am scris și termenul general,
plus puncte puncte puncte plus combinări de n luate câte n minus 1 a ori b la n minus 1
plus combinări de n luate câte n b la puterea n.
Pentru ca să nu scriem așa o sumă lungă, putem folosi simbolul sigma, simbolul sumei
și atunci a plus b la puterea n este egal cu sumă de la k egal cu 0 până la n
combinări de n luate câte k a la n minus k b la puterea k.
Vedeți că dacă avem k egal cu 0 obținem primul terminal sumei
combinări de n luate câte 0, k este 0, a la puterea n minus 0 adică a la puterea n
și b la puterea 0 care este 1.
Apoi urmează al doilea terminal sumei în care îl înlocuim pe k cu 1 și așa mai departe
până când ajungem la ultimul terminal sumei în care k este egal cu n.
Asta în caz că nu știți notația sumei cu sigma.
Voi folosi formula binomului lui Newton crisă cu ajutorul simbolului sumei
pentru a dezvolta 1 plus 1 pe n la puterea n.
În acest caz, exponentul rămâne același, este tot n la fel ca și în binomul lui Newton
a este egal cu 1 și b este egal cu 1 pe n.
Deci voi obține sumă de la k egal cu 0 până la n
combinări de n luate câte k ori 1 la puterea n minus k pentru că a este egal cu 1
ori 1 pe n la puterea k pentru că b este egal cu 1 pe n.
Și acum vom lucra în termenul general al acestei sume.
În primul rând vom scrie ce înseamnă combinări de n luate câte k
apoi vom ține cont de faptul că 1 la puterea n minus k este egal cu 1.
Combinări de n luate câte k este egal cu n factorial supra k factorial ori n minus k factorial
îl voi separa pe 1 supra k factorial
obținem 1 supra k factorial ori n factorial supra n minus k factorial
și acum vom simplifica această fracție scriindu-l pe n factorial în funcție de n minus k factorial
obținem 1 supra k factorial ori n minus k factorial ori n minus k plus 1
ar urma n minus k plus 2 și așa mai departe până la n
supra n minus k factorial
n minus k factorial se simplifică și rămânem cu
1 supra k factorial ori n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n totul supra 1
aici vom avea de fapt k factori
pentru că n factorial are n factori
n minus k factori s-au simplificat
înseamnă că au mai rămas k factori
de la n minus k plus 1 și până la n
voi înlocui acum acest rezultat
în calculul lui 1 plus 1 pe n la puterea n
adică voi înlocui combinările de n luate câte k
cu 1 supra k factorial ori n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n
iar pe 1 supra n totul la puterea k
îl voi scrie ca 1 supra n ori n ori n de k ori
obținem sumă de la k egal cu 0 la n
din 1 supra k factorial ori
n minus k plus 1 ori puncte puncte puncte ori n ori
1 supra n ori n ori n de k ori
pentru că aici avem k factori
și aici avem tot k factori
vom pune sub fiecare factor din acest produs
câte un n
obținem sumă de la k egal cu 0 la n
din 1 supra k factorial ori
n minus k plus 1 pe n
deci acest factor supra n
am scris și factorul următor ar fi n minus k plus 2 supra n
puncte puncte puncte
am scris și ce aș avea înaintea lui n
este factorul n minus 1 supra n
și în final n supra n
și acum voi lucra în fiecare fracție
obținem sumă de la k egal cu 0 la n
din 1 supra k factorial ori
și aici voi scrie n supra n minus linie de fracție
și atunci la numărător voi avea k minus 1 supra n
deci n supra n minus k minus 1 supra n ori
urmează a doua fracție fac același lucru
n supra n minus k minus 2 supra n ori
aici la penultima fracție voi scrie n supra n minus 1 supra n
deci ori 1 minus 1 supra n
și n supra n se simplifică
voi ține cont că n supra n este 1
și voi înlocui n supra n în fiecare paranteză cu 1
și vom obține sumă de la k egal cu 0 până la n
din 1 supra k factorial ori
1 minus k minus 1 pe n
ori 1 minus k minus 2 supra n ori
puncte puncte puncte
1 minus 1 pe n
fiecare factor din acest produs este
un număr subunitar
adică cuprins între 0 deschis, 1 deschis
pentru că din 1 scădem o cantitate pozitivă
mai mică decât 1
k este mai mic decât n
și înseamnă că acest termen va fi mai mic decât
1 supra k factorial
știm că dacă înmulțim un număr pozitiv
cu un număr subunitar pozitiv
produsul va fi mai mic decât
numărul pozitiv inițial
și atunci aici obținem că
această sumă va fi mai mică decât
suma de la k egal cu 0 și până la n
din 1 supra k factorial
și acum scriem toți termenii sumei
îl înlocuim pe k cu 0
pentru primul termen al sumei
deci 1 pe 0 factorial plus
apoi k egal cu 1
1 supra 1 factorial plus
1 supra 2 factorial și așa mai departe
până la 1 supra n factorial
acum mă voi folosi de faptul că
0 factorial este 1
și că pentru orice n mai mare sau egal cu 2
avem că n factorial este mai mare sau egal cu 2
la puterea n minus 1
adică 1 supra n factorial va fi mai mic sau egal
cu 1 supra 2 la puterea n minus 1
pentru orice n mai mare sau egal decât 2
și atunci rescriu această sumă
și obțin 1 supra 1
pentru că 0 factorial este 1 plus
și restul termenilor doar i-am copiat
și acum fiecare termen începând
de la 1 supra 2 factorial și până la
1 supra n factorial
îl înlocuiesc cu
1 pe 2 la 2 și așa mai departe
până la 1 pe 2 la n minus 1
și atunci evident această sumă va fi
mai mică sau egală decât
1 plus 1 plus 1 pe 2 plus
puncte puncte puncte plus 1 supra 2
la puterea n minus 1
de la al doilea 1 începând și până la final
avem suma primilor n termeni
a unei progresii geometrice
de rație 1 pe 2
și cu primul termen 1
să ne reamintim formula
sumei primilor n termeni
a unei progresii geometrice
cu rația diferită de 1
pe care am notat-o cu Q și primul termen
pe care l-am notat cu B1
este egal cu B1 pe lângă 1 minus Q la puterea n
supra 1 minus Q
folosim această formulă și înlocuim
suma 1 plus 1 pe 2
plus puncte puncte puncte plus 1 supra 2
la n minus 1 cu
1 ori
1 minus 1 pe 2 la puterea n
supra 1 minus 1 pe 2
1 minus 1 pe 2 de la numitor
este egal cu 1 pe 2
și atunci, pentru că 1 pe 2 este la numitor
trebuie să înmulțim
numărătorul
cu inversul numitorului
adică vom obține
1 plus 2 ori
inversului 1 pe 2 este 2
minus 1 supra 2 la puterea n
facem produsul 2 ori 1
minus 2 ori 1 supra 2
la puterea n
și obținem 1 plus 2 minus
1 supra 2 la puterea n minus 1
care este egal cu 3 minus
1 supra 2 la puterea n minus 1
care este evident mai mic decât 3
scăbăm o cantitate pozitivă
ceea ce am arătat până acum
este că
xn este mai
mic sau egal
decât 3 pentru orice
n mai mare sau egal cu 1
noi de la punctul A
am demonstrat doar această
inegalitate xn mai mic sau egal
decât 3 pentru orice n din n-stea
pentru a arăta că xn este mai mare
sau egal cu 2 pur și simplu
scriem 1 plus 1
pe n la puterea n folosind
formula binomului lui Newton
am rescris aici formula binomului
lui Newton pe care o aplicăm
pentru dezvoltarea lui 1 plus 1 pe n
la puterea n, a este 1
b este 1 pe n și n rămâne n
deci avem combinări de n luate câte 0
ori 1 la puterea n plus combinări de n
luate câte 1 1 la puterea n minus 1 ori 1 pe n
și așa mai departe combinări de n
luate câte n 1 pe n la puterea n
scriem ce înseamnă
combinările de n luate câte 0 și combinările
de n luate câte 1 folosind
formula combinărilor
ținem cont că 0 factorial
este 1 și atunci aici
n factorial cu n factorial se simplifica
1 la puterea n este 1
pentru al doilea termen din sumă vom
obține n factorial supra 1 factorial
n factorial și n minus 1 factorial se simplifică
aici rămâne n
1 la puterea n minus 1 este 1
n ori 1 pe n este 1
deci primul termen din sumă este 1
al doilea termen din sumă este tot 1
ceilalți termeni nu ne chiar interesează
cu cine sunt egal, important este
că ei sunt pozitivi
deci înseamnă că această sumă
va fi mai mare sau egală cu 2
pentru orice n din n stelat
suma este chiar egală cu 2
dacă n este egal
cu 1 pentru că atunci am avea
1 plus 1 pe 1 la puterea 1
deci de fapt numai primii doi termeni
deci am demonstrat că xn este mai mare sau egal
cu 2 pentru orice n din n stelat
și cu aceasta
primul punct din teorema lui Bernoulli este
demonstrat. Urmează să arătăm
că xn este un șir monoton strict crescător
adică trebuie să arătăm că
xn este mai mic decât xn plus 1
pentru orice n din n stelat
ceea ce este echivalent cu
1 plus 1 pe n totul la puterea n
mai mic decât 1 plus 1 supra n plus 1
la puterea n plus 1 pentru orice n din n stelat
vom extrage radical de ordine
n plus 1 din ambii membri
ai inegalității, cantitățile
din membrul stâng și membrul drept
sunt pozitive, putem face acest lucru
și vom obține radical de ordine
1 plus 1 din 1 plus 1 pe n la puterea n
mai mic decât 1 plus 1 supra n plus 1
pentru orice n din n stelat
Deci, pentru a arăta că xn este
strict crescător este suficient să demonstrăm
această inegalitate
Pentru a o demonstra vom porni de la
inegalitatea mediilor. Noi știm că media geometrică
este mai mică decât media aritmetică
numerele nu sunt toate egale între ele
adică dacă a1, a2
și așa mai departe a n a n plus 1 sunt
n plus 1 numere pozitive
atunci media lor geometrică va fi radical de ordine
n plus 1 din produsul lor
și media lor aritmetică va fi
suma lor supra n plus 1
Vom considera următoarele
n plus 1 numere pozitive
1 și apoi 1 plus 1
pe n de n ori
Deci vom avea n numere egale
între ele și toate egale cu
1 plus 1 pe n. Să scriem ce înseamnă
media geometrică și ce înseamnă media
aritmetică a acestor n plus 1
numere. Media geometrică
va fi egală cu radical de ordine
n plus 1 din 1 ori
1 plus 1 pe n
înmulțit cu el însuși de n ori
adică 1 plus 1 pe n la puterea n
Media aritmetică a
acestor numere va fi egală
cu suma lor adică
vine 1 plus și apoi
1 plus 1 pe n se adună
cu el însuși de n ori adică
vom avea n ori 1 plus 1 pe n
totul supra n plus 1
Desfac paranteza și obținem
1 plus n ori 1 adică
n plus n ori 1 pe n adică
1 și apoi scriu
această fracție ca
1 plus n supra n plus 1 care este
1 plus 1 supra n plus 1
și acum dacă scriem
că media geometrică este mai mică
decât media aritmetică
obținem radical de ordine
n plus 1 din 1 plus 1 pe n la puterea n
mai mic decât 1 plus 1 pe n plus 1
pentru orice n aparținându-i n stelat
ceea ce înseamnă că această
inegalitate este demonstrată
ceea ce înseamnă că șirul XN este
un șir strict crescător
Deci am demonstrat și punctul B
din teorema lui Bernoulli
și acum pentru că șirul
XN este mărginit
inclusiv mărginit superior
șirul XN este monoton strict crescător
rezultă pe baza proprietății lui
va ești raz că XN este un șir
convergent. Limita șirului
1 plus 1 pe n la puterea n se notează
cu e unde numărul e
este un număr irrațional
și are valoare aproximativă
2,718281