Mediana în triunghi

Mediana în triunghi.

Înainte de a vorbi despre mediana,

haideți să ne reamintim ce linii importante în triunghi am învățat până acum.

Fiind dat un triunghi oarecare ABC, am văzut că bisectoarea este o semin dreaptă care împarte un unghi al triunghiului în două unghiuri congruente.

Dacă AM este o bisectoare, măsura unghiului BAM va fi egală cu măsura unghiului MAC.

O altă linie importantă în triunghi este mediatoarea.

Mediatoarea segmentului BC este perpendiculara ridicată din mijlocul segmentului, așadar punctul D este mijlocul segmentului BC, iar DF este o perpendiculară pe BC.

Apoi am discutat despre înălțime.

Înălțimea este perpendiculară adusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.

Acum să vedem ce este mediana.

Mediana este segmentul care unește vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

O să dau și definiția.

Mediana într-un triunghi este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

În triunghiul ABC am fixat mijlocul laturii BC pe care l-am notat cu D.

AD se va numi mediană.

Dacă BD este congruent cu DC, adică D este mijlocul segmentului BC, atunci AD se numește mediană.

Având în vedere că un triunghi are 3 vârful și 3 laturi, vom putea construi 3 mediane.

Aceste 3 mediane se vor intersecta într-un punct pe care o să-l notăm de obicei cu G

și acesta se va numi centrul de greutate al triunghiului.

Acest centrul de greutate are proprietatea că este situat pe fiecare mediană la o treime de bază și la două treimi de vârf.

Mai exact, lungimea segmentului GD este o treime din AD,

iar lungimea segmentului AG este două treimi din mediana AD.

În continuare o să mai dăm o proprietate a medianei într-un triunghi.

Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de ari egale.

Vom spune că două triunghiuri care au arile egale se pot numi triunghiuri echivalente.

Avem un triunghi oarecare ABC.

Am construit mediana adusă din vârful A.

Va trebui să demonstrăm că cele două triunghiuri care s-au format au arile egale.

Vom scrie mai întâi ipoteza,

fiind dat un triunghi ABC oarecare

și un punct D situat pe latura BC

astfel încât BD să fie congruent cu DC.

Trebuie să arătăm că aria triunghiului ABD

este egală cu aria triunghiului ADC.

Vom demonstra această proprietate.

Să evidențiem mai bine cele două triunghiuri.

Este vorba de triunghiul ABD și ADC.

Ne reamintim că aria unui triunghi în general

este egală cu baza ori înălțimea asupra 2.

Haideți atunci să exprimăm aria triunghiului ABD.

Mai întâi va trebui să construim înălțimea în acest triunghi.

Voi construi o perpendiculare din A pe BD.

Aceasta este AM.

Vom scrie că aria triunghiului ABD

este egală cu baza, adică BD,

ori înălțimea corespunzătoare ei, AM,

supra 2.

Aria celuilalt triunghi, ADC,

va fi egală cu baza, DC.

Înălțimea corespunzătoare laturii DC este tot AM,

pentru că AM este perpendiculară pe latura DC.

Dar știm din ipoteză că BD este congruent cu DC,

pentru că D este mijlocul segmentului BC.

Deci lungimea segmentului BD

este egală cu lungimea segmentului DC.

Din aceste trei relații observăm că aria triunghiului ABD

va fi egală cu aria triunghiului ADC.

Așadar rețineți că o mediană împarte un triunghi

în două triunghiuri având aceiași arie.

În continuare o să facem o aplicație.

Fie ABC un triunghi oarecare.

Să se arate că distanțele de la B și C la mediana AD sunt egale.

Cu alte cuvinte, mediana AD este egal depărtată de punctele B și C.

Desenăm un triunghi oarecare ABC,

ducem mediana AD unde D este mijlocul segmentului BC

și va trebui să construim distanțele de la B și C la mediana AD.

Vă reamintesc că distanța de la un punct la o dreaptă

este perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă.

Așadar cu ajutorul echierului vom duce o perpendiculară din B pe AD.

Însă observăm că pentru a construi perpendiculara din C pe AD

va trebui să prelungim segmentul AD.

Am prelungit segmentul AD și am dus BM perpendiculară pe AD

și CN perpendiculară pe AD.

Trebuie să arătăm că BM este congruent cu CN.

Mai întâi vom scrie ipoteza și concluzia.

Avem un triunghi ABC oarecare,

un punct D care aparține laturii BC,

astfel încât BD să fie egal cu DC.

Va trebui să arătăm că distanța de la punctul B

la mediana AD este egală cu distanța de la punctul C

la mediana AD.

Adică mediana va fi egal depărtată de punctele B și C.

Demonstrație.

Să anunțăm și construcțiile pe care le-am făcut.

Am dus BM perpendiculară pe AD.

Înseamnă că distanța de la B la AD este BM.

Apoi am construit CN perpendiculară pe AD.

Rezultă că distanța de la C la AD va fi CN.

Va trebui să arătăm că BM și CN sunt congruente.

Pentru a demonstra congruența a două segmente,

le încadrăm în două triunghiuri,

a căror congruență poate fi demonstrată,

o să comparăm triunghiurile BMD și CND.

Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice,

deci va fi suficient să găsim două elemente congruente al acestor triunghiuri.

Știm din ipoteză că BD este congruent cu DC.

Din ipoteză.

Și observăm că unghiurile MDB și CDN sunt unghiuri opuse la vârf,

deci vor fi și acestea unghiuri congruente.

Unghiul BDM este congruent cu unghiul CDN,

fiind unghiuri opuse la vârf.

Din cele două relații, rezultă, conform cazului de congruență, ipotenuză unghi,

pentru că BD și CD sunt ipotenuze în cele două triunghiuri dreptunghice.

Rezultă că triunghiul BDM este congruent cu triunghiul CDN,

iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența segmentelor BM și CN,

așadar, distanța de la punctul B la mediana AD va fi egală cu distanța de la punctul C la mediana AD.