Funcția arctangentă

Discutăm în acest clip despre funcțiile tangentă și arctangentă.

Avem în imagine cercul trigonometric în care am reprezentat unghiul alfa.

Tangenta unghiului alfa se poate exprima din acest triunghi dreptunghic care s-a format.

Tangenta de alfa este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.

Cateta opusă unghiului alfa este b mic, iar cateta alăturată este a mic.

Ordonata punctului m este sinusul unghiului alfa, iar abscisa punctului m este cosinus de alfa.

În consecință, tangenta este raportul dintre sinus și cosinus.

În cazul în care unghiul alfa are măsura egală cu pi supra 2 radiani,

atunci cosinus de alfa este 0.

În consecință, acest raport nu este definit pentru unghiul pi pe 2.

Același lucru se întâmplă și pentru unghiul 3 pi pe 2, 5 pi pe 2 sau minus pi pe 2 și așa mai departe.

În consecință, tangenta este o funcție definită pe mânțimea numerelor reale

din care scoatem acele valori care anulează numitorul acestei fracții.

Avem tangentă definită pe r minus mânțimea formată din elementele 2k plus 1 pi supra 2,

unde k este număr întreg și cu valori în mânțimea numerelor reale.

Așadar, vom spune că tangenta nu are o valoare finită pentru unghiurile pi pe 2, 3 pi pe 2, 5 pi pe 2, minus pi pe 2 și așa mai departe.

Graficul funcției tangentă se va realiza prin puncte.

Vom face un tabel de valori și vom ține cont de faptul că funcția tangentă este o funcție periodică,

având perioada principală pi.

Așadar, este suficient să reprezentăm graficul funcției pe lungimea unei perioade,

de exemplu, pe intervalul minus pi pe 2, pi pe 2,

iar generarea întregului grafic se va realiza prin translație la stânga și la dreapta de-a lungul axei OX.

Așa cum spuneam, vom face un tabel de valori pentru intervalul minus pi pe 2, pi pe 2.

Tangenta de 0 este 0.

Tangenta de pi pe 4 este 1.

Tangenta de pi pe 3 este radical din 3.

Pentru unghiul pi pe 2, tangenta nu are o valoare reală.

Vom spune că tangenta de pi pe 2 este plus infinit.

Funcția tangentă este impară, în consecință, tangentă de minus X este minus tangentă de X.

Așadar, tangentă de minus pi pe 4 este egal cu minus 1.

Tangentă de minus pi pe 3 este minus radical din 3.

Iar tangentă de minus pi pe 2 va fi minus infinit.

Iată cum arată graficul funcției tangentă.

Așa cum spuneam mai devreme, se poate construi graficul pe intervalul minus pi pe 2, pi pe 2,

iar restul graficului obținându-se prin translație la stânga și la dreapta de-a lungul axei OX.

Avem tangentă de 0 egală cu 0.

Tangenta de pi pe 4 este 1.

Tangenta de pi pe 3 este radical din 3.

Iar în pi pe 2, tangenta este plus infinit.

Se poate observa că dreptele X egal cu pi pe 2 și X egal cu minus pi pe 2

sunt asimptote verticale pentru graficul funcției tangentă.

Având în vedere că funcția tangentă este o funcție periodică, aceasta nu va fi bijectivă,

deoarece ducând o paralelă la axea OX prin orice punct al codomeniului,

această paralelă va intersecta graficul funcției în mai multe puncte.

Însă dacă luăm în considerare o restricție a acestei funcții,

la intervalul minus pi pe 2, pi pe 2, iată, se obține o funcție bijectivă și inversabilă.

Așadar, funcția tangentă,

definită pe intervalul minus pi pe 2, pi pe 2 și cu valor în R,

este o funcție bijectivă și inversabilă.

Inversa acestei funcții este funcția arctangentă.

Graficul funcției arctangentă se poate realiza fie prin puncte,

fie prin simetrie față de prima bisectoare.

Vom șterge aceste numere de pe axea OY, respectiv pi pe 3, pi pe 4,

pentru a nu încărca prea mult graficul.

Iată graficul funcției arctangentă.

Este cel reprezentat cu galben, iar cu roz este graficul funcției tangentă.

Cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare.

Funcția arctangentă este definită pe R cu valori în intervalul minus pi supra 2, pi supra 2.

Exprimată prin legea, arctangentă de alfa este egal cu x,

unde alfa reprezintă tangentă de x.

Alfa este un număr real, iar x este un unghi din intervalul minus pi supra 2, pi supra 2.

Așa cum se poate observa, graficul funcției arctangentă

este cuprins între dreptele de ecuație Y egal cu pi pe 2 și Y egal cu minus pi pe 2.

Aceste două drepte reprezintă asimptote orizontale la plus infinită.

Și la minus infinit pentru funcția arctangentă.

Să vedem câteva exemple.

Să calculăm arctangentă de 1.

Trebuie să ne gândim care este unghiul pentru care tangenta este egală cu 1.

Ne putem uita și în tabel.

Tangenta este 1 la pi supra 4.

Așadar arctangentă de 1 va fi egal cu pi supra 4 deoarece tangentă de pi pe 4 este egal cu 1.

Arctangentă de radical din 3 va fi egal cu pi supra 3 pentru că tangentă de pi pe 3 este radical din 3.

Haideți să calculăm acum arctangentă de minus radical din 3 pe 3.

Probabil că unii dintre voi ați intuit deja rezultatul.

Deocamdată haideți să notăm această valoare cu T.

Și să vedem cum putem găsi valoarea T ținând cu unde faptul că T este un unghi din intervalul minus pi supra 2, pi supra 2.

Dacă arctangentă de minus radical din 3 pe 3 este T, înseamnă că tangentă de T va fi minus radical din 3 pe 3.

Dacă înmulțim această relație cu minus 1, se obține minus tangentă de T egal cu radical din 3 pe 3.

Tangenta este o funcție impară, în consecință minus tangentă de T este egal cu tangentă de minus T.

Așadar avem tangentă de minus T egal cu radical din 3 pe 3.

Care este unghiul pentru care tangenta este radical din 3 pe 3?

Noi știm că tangenta de pi supra 6 este radical din 3 pe 3, în consecință această valoare din paranteză trebuie să fie pi supra 6.

Obținem așadar că minus T este egal cu pi supra 6, în consecință T este egal cu minus pi pe 6.

Obținem așadar că arctangentă de minus radical din 3 pe 3 va fi egal cu minus pi supra 6.

În general se poate reține următoarea formulă, arctangentă de minus alfa va fi egal cu minus arctangentă de alfa, pentru orice alfa număr real.

De asemenea are loc și următoarea relație, tangentă de arctangentă de alfa este egal cu alfa pentru orice alfa număr real, pentru că atunci când compunem o funcție cu inversa ei se obține întotdeauna funcția identică.