Funcția arcsinus

Discutăm în acest videoclip despre funcțiile sinus și arcsinus.

Avem în imagine cercul trigonometric în care am construit unghiul alfa.

Se formează aici un triunghi dreptunghic din care putem calcula sinus de alfa și obținem sinus de alfa egal cu b.

Așadar sinusul unghiului alfa este egal cu ordonata punctului m.

Așa cum știți din clasa a noua, funcția sinus este definită pe mulțimea numerelor reale și cu valori în intervalul închis minus 1, 1.

Trasarea graficului acestei funcții se realizează prin puncte, ținând cont și de periodicitatea funcției.

Iată un tabel de valori.

Ne uităm pe cercul trigonometric.

Sinus de 0 este egal cu 0.

Sinus de pii supra 2 este 1.

Sinus de pii este 0.

Sinus de 3 pii supra 2 este minus 1.

Iar sinus de 2 pii este egal cu 0.

Funcția sinus este o funcție periodică având perioada principală 2 pii.

Așadar este suficient să construim graficul acesteia pe un interval de lungimea unei perioade, 0-2 pii,

și apoi să îl translatăm la stânga și la dreapta, de-a lungul axei OX.

Iată graficul funcției sinus.

Avem sinus de 0, 0.

Sinus de pii supra 2, 1.

Sinus de pii, 0.

Sinus de 3 pii supra 2, minus 1.

Iar sinus de 2 pii este egal cu 0.

Se poate observa că funcția sinus nu este obiectivă,

pentru că ducând o paralelă la axa OX, aceasta intersectează graficul în mai multe puncte.

Așadar, funcția nu este inversabilă.

Însă, dacă luăm în considerare o restricție a acestei funcții,

la intervalul minus pii supra 2, pii supra 2, iată, se obține o funcție bijectivă.

Putem observa că ducând o paralelă la axa OX, aceasta intersectează acum graficul într-un singur punct.

Așadar, restricția funcției sinus la intervalul minus pii supra 2, pii supra 2, este o funcție bijectivă și inversabilă.

Inversa funcției sinus este funcția arc sinus.

Aceasta fiind definită pe intervalul închis minus 1, 1

și cu valori în intervalul minus pii supra 2, pii supra 2.

Exprimată prin legea, arc sinus de A este egal cu X, unde A este egal cu sinus de X.

Numărul A este cuprins în intervalul închis minus 1, 1, iar X este un unghi din intervalul minus pii supra 2, pii supra 2.

Să calculăm, de exemplu, arc sinus de 1.

Ne gândim care este unghiul al cărui sinus este egal cu 1.

Ne putem uita și în tabel.

Știm că sinus de pii supra 2 este egal cu 1.

În consecință, arc sinus de 1 va fi egal cu pii supra 2.

Rezultatul unui arc sinus este întotdeauna un unghi.

Un alt exemplu.

Un alt exemplu. Un alt exemplu.

Rezultatul unui arc sinus de minus 1 va fi egal cu minus pii supra 2, pentru că sinus de minus pii supra 2 este egal cu minus 1.

Vă reamintesc că funcția sinus este o funcție impară, așadar sinus de minus X este egal cu minus sinus de X.

Graficul funcției arc sinus se poate realiza prin puncte sau prin simetrie în raport cu prima bisectoare.

Iată graficul funcției arc sinus.

Așa cum se poate observa, funcția arc sinus este strict crescătoare pe intervalul închis minus 1, 1.

Știm că atunci când componem o funcție cu inversa ei, se obține întotdeauna funcția identică.

Așadar are loc relația sinus de arc sinus de A este egal cu A.

Să vedem un exemplu.

Să calculăm sinus de arc sinus de radical din 2 pe 2.

Pentru a calcula arc sinus de radical din 2 supra 2, ne gândim care este unghiul al cărui sinus este radical din 2 pe 2.

Acesta este pii supra 4, așadar arc sinus de radical din 2 pe 2 va fi pii supra 4.

Asta scrie egal cu sinus de pii supra 4, iar sinus de pii supra 4 este radical din 2 pe 2.

Așadar să reținem că sinus de arc sinus de A este egal cu A.

Funcția arc sinus este o funcție impară pentru că arc sinus de minus A este egal cu minus arc sinus de A.

Acest lucru se poate observa direct pe cercul trigonometric sau se poate demonstra ținând cont de paritatea funcției sinus.