Funcția arccotangentă

Discutăm în această lecție despre funcțiile cotangentă și arccotangentă.

Avem în imagine cercul trigonometric în care am reprezentat unghiul alfa.

În triunghul dreptunghic care s-a format se poate calcula cotangentă de alfa.

Aceasta este raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă unghiului alfa.

Cateta alăturată este a mic, iar cateta opusă este b mic, întrucât proiecțiile punctului M pe cele două axe sunt a și b.

a mic reprezintă cosinusul unghiului alfa, iar b este sinus de alfa.

Pentru a defini funcția cotangentă trebuie să eliminăm acele valori care anulează numitorul acestei fracții.

Sinusul este 0 pentru unghiurile 0, pi, 2pi, 3pi și așa mai departe.

În consecință, funcția cotangentă va fi definită pe mulțimea numerelor reale,

din care scoatem numerele de forma kpi, unde k este număr întreg, și cu valori în mulțimea numerelor reale.

Funcția cotangentă este o funcție periodică, având perioada principală pi.

Din acest motiv, graficul funcției se poate construi pe un interval de lungimea unei perioade,

acesta va fi intervalul 0pi, iar generarea întregului grafic se va face prin translație la stânga și la dreapta de-a lungul axei OX.

Pentru a reprezenta grafic funcția cotangentă vom face un tabel de valori.

Valorile vor fi cumprinse în intervalul 0pi.

Pentru unghiul cu măsura de 0 radiani, funcția cotangentă nu are o valoare reală, întrucât sinus de 0 este 0.

Vom spune că funcția cotangentă se apropie de plus infinit când x se apropie de 0.

Cotangentă de pi supra 6 este radical din 3.

Cotangentă de pi supra 4 este 1.

Cotangentă de pi supra 2 este 0, deoarece cosinus de pi supra 2 este 0, iar sinus de pi supra 2 este 1.

0 pe 1 ne dă 0.

Pentru a calcula cotangentă de 3pi supra 4 putem apela la periodicitatea funcției cotangentă.

3pi supra 4 se poate scrie 4pi supra 4 minus pi supra 4.

Egal în continuare cu cotangentă de pi minus pi supra 4.

Așa cum spunea, funcția cotangentă este periodică având perioada principală egală cu pi.

În consecință cotangentă de pi minus pi supra 4 va fi egal cu cotangentă de minus pi supra 4.

Funcția cotangentă este impară, așadar cotangentă de minus pi supra 4 va fi egal cu minus cotangentă de pi supra 4 și egal în continuare cu minus 1.

Pentru a calcula cotangentă de 5pi supra 6 putem proceda în mod asemănător.

5pi pe 6 se poate scrie 6pi supra 6 minus pi supra 6.

Egal în continuare, 6pi supra 6 ne dă pi, cotangentă de pi minus pi supra 6 este cotangentă de minus pi supra 6.

Egal cu minus cotangentă de pi pe 6.

Egal cu minus radical din 3.

Când x se apropie de pi, cotangenta tinde către minus infinit.

Și acum să reprezentăm grafic funcția cotangentă.

Iată graficul funcției cotangentă.

În pi supra 6 cotangenta este radical din 3.

Pentru x egal cu pi pe 4 cotangenta este 1.

În pi supra 2 cotangenta este 0.

În 3pi supra 4 cotangenta este minus 1.

Iar pentru unghiul 5pi supra 6 cotangenta este minus radical din 3.

Dacă unghiul x se apropie de 0 cotangenta tinde către plus infinit.

Iar dacă x are măsura egală cu pi radian cotangenta tinde către minus infinit.

Se poate observa că funcția cotangentă nu este bijectivă, așadar nu este nici inversabilă.

Și asta din cauza periodicității.

Observăm că dacă ducem o paralelă la axa OX prin elementele codomeniului,

aceasta intersectează graficul funcției în mai multe puncte.

Însă dacă luăm în considerare o restricție a acestei funcții la intervalul 0pi,

iată, funcția devine bijectivă,

deoarece ducând o paralelă la axa OX,

aceasta intersectează graficul funcției într-un singur punct.

În consecință funcția este inversabilă.

Așadar în cazul în care funcția cotangentă este definită pe intervalul 0pi,

și cu valori în mulțimea numerelor reale,

aceasta este o funcție bijectivă și inversabilă,

iar invers a ei va fi funcția arccotangentă.

Funcția arccotangentă va fi definită pe mulțimea numerelor reale,

cu valori în intervalul 0pi,

exprimată prin legea arccotangentă de alpha va fi egal cu x,

unde cotangentă de x este egal cu alpha.

Alpha este un număr real,

iar x este un unghiu din intervalul 0pi.

Să calculăm câteva valori,

de exemplu, arccotangentă de 1.

Trebuie să ne gândim care este unghiul din intervalul 0pi,

pentru care cotangenta este egală cu 1.

Ne putem uita și în tabel,

observăm că la pipe 4 cotangenta este 1,

în consecință arccotangentă de 1 va fi egal cu pipe 4.

Pentru a calcula arccotangentă de radical din 3,

ne gândim care este unghiul din intervalul 0pi,

pentru care cotangenta este radical din 3.

Acesta va fi pi supra 6.

Să calculăm acum arccotangentă de minus radical din 3.

Cotangenta este minus radical din 3 pentru unghiul 5pi supra 6.

Cum obținem valoarea 5pi pe 6?

Din pi scădem pi supra 6.

Așadar, din pi scădem arccotangentă de radical din 3.

Și astfel se obține 5pi supra 6.

În general are loc următoarea relație,

arccotangentă de minus alfa va fi egal cu pi minus arccotangentă de alfa.

Pentru orice alfa număr real,

această relație se poate verifica și pe cercul trigonometric.

Pentru a reprezenta grafic funcția arccotangentă,

putem fie să facem un tabel de valori,

fie să ținem cont de faptul că graficele funcțiilor cotangentă și arccotangentă

sunt simetrice față de prima bisectoare.

Pentru o mai bună vizibilitate a graficului funcției arccotangentă,

voi șterge aceste valori de pe cele două axe.

Iată cum arată graficul funcției arccotangentă de x.

X este cel reprezentat cu galben,

iar cu roz avem graficul funcției cotangentă de x.

Se poate observa că arccotangentă de 0 este pi pe 2,

arccotangentă de 1 este pi pe 4,

deci se inversează valorile din acest tabel.

De asemenea remarcăm faptul că

dreapta de ecuație y egal cu 0 este asimptotă orizontală la plus infinit,

iar pe măsură ce x se apropie de minus infinit,

funcția arccotangentă se apropie de pi.

În consecință, dreapta de ecuație y egal cu pi

va fi asimptotă orizontală la minus infinit.

Așa cum spuneam, cele două grafice sunt simetrice față de

dreapta de ecuație y egal cu x.

De asemenea, este important să reținem formula

cotangentă de arccotangentă de alfa

este egal cu alfa pentru orice alfa număr real

pentru că atunci când compunem o funcție cu inversa ei

se obține întotdeauna funcția identică.