Ecuații trigonometrice (1)

În acest videoclip o să rezolvăm câteva ecuații trigonometrice fundamentale.

Acestea sunt ecuații de forma sinx="a", cosx="a", tanx="a", cotx="a".

Pentru început aș vrea să vedem care au fost funcțiile trigonometrice inverse.

Iată, funcția arcsinus este definită pe intervalul închis (-1,1), cu valori în intervalul închis (-π,2,π,2).

Funcția arcsinus este impară, așadar arcsinus de minus x este egal cu minus arcsinus de x.

Funcția arccosinus este definită pe intervalul închis (-1,1), cu valori în intervalul închis 0π.

Funcția arccosinus nu este nici pară și nici impară, aici are loc relația arccosinus de minus x egal cu π-arccosinus de x.

Funcția arctangentă este definită pe mulțimea numerelor reale, cu valori în intervalul închis (-π,2,π,2).

Funcția arctangentă este impară, arctangentă de minus x este egal cu minus arctangentă de x.

Funcția arctangentă este definită pe mulțimea numerelor reale, cu valori în intervalul închis 0π.

Funcția arctangentă nu este nici pară și nici impară, aici are loc relația arctangentă de minus x egal cu π-arctangentă de x.

Să trecem acum la rezolvarea ecuației sinus de x egal cu a.

Mulțimea valorilor funcției sinus este intervalul închis (-1,1).

Așadar, această ecuație admite soluții dacă și numai dacă numărul a mic aparține intervalului (-1,1).

În caz contrar, ecuația nu are soluții.

Așadar, avem două cazuri.

Dacă numărul a nu aparține intervalului închis (-1,1), atunci soluția ecuației este mulțimea vidă.

Să vedem ce se întâmplă în cazul în care numărul a face parte din intervalul închis (-1,1).

Pentru a rezolva ecuația sinus de x egal cu a, exprimăm necunoscuta x.

x va fi egal cu arc sinus de a.

Trebuie să ținem conștient de periodicitatea funcției sinus.

Așadar, la această valoare trebuie să adunăm doi capii.

Ne uităm puțin pe cercul trigonometric și observăm că sunt două puncte pe cerc, respectiv m și n, care au aceeași ordonată.

Cu alte cuvinte, unghiurile x și pi minus x au același sinus.

Să scriem așadar că sinus de pi minus x este egal cu sinus de x și egal cu a mic.

De aici se obține o a doua soluție a acestei ecuații și anume x egal cu pi minus arc sinus de a.

Și la această valoare adunăm doi capii.

Din cele două relații, putem trage concluzia că soluția ecuației sinus de x egal cu a este mulțimea formată din elementele arc sinus de a plus doi capii,

unde k este număr întreg, reunită cu pi minus arc sinus de a plus doi capii, unde k este număr întreg.

Această relație din a doua acoladă se poate scrie și astfel, minus arc sinus de a plus pi plus doi capii.

Iar dacă dau factor comun pi, pot să scriu 2k plus 1 pi.

Observăm că în fața numărului arc sinus de a avem 1. Acest număr 1 poate fi scris minus 1 la o putere pară.

În a doua acoladă avem minus arc sinus de a. Acest minus poate fi scris minus 1 la o putere imbară.

Vreau astfel să facem o analogie între exponentul numărului minus 1 și valoarea ce trebuie adunată după arc sinus.

Observăm așadar că în cazul în care coeficientul numărului arc sinus este minus 1 la putere pară, adunăm multiplu par de pi,

iar în cazul în care avem minus 1 la putere imbară, adunăm un multiplu imbar de pi.

Cu alte cuvinte, această soluție sau această reuniune de mulțimi se poate scrie într-o formă prescurtată astfel,

S egal minus 1 la k arc sinus de a plus k pi, unde k este număr întreg.

Aceasta este soluția ecuației sinus de x egal cu a în cazul în care numărul a face parte din intervalul închis minus 1,1.

Trecem mai departe la rezolvarea ecuației cosinus de x egal cu a.

Multimea valorilor funcției cosinus este intervalul închis minus 1,1.

Așadar, această ecuație are soluții dacă și numai dacă numărul a aparține intervalului închis minus 1,1.

În caz contrar, soluția este mulțimea vidă.

Discutăm în continuare cazul în care a aparține intervalului închis minus 1,1.

Pentru a rezolva ecuația cosinus de x egal cu a, exprimăm necunoscuta x.

Aceasta va fi egală cu arc cosinus de a.

Ținem și aici cont de periodicitatea funcției cosinus.

Adunăm așadar 2 k pi.

Însă, dacă ne uităm pe cercul trigonometric, observăm că există două puncte pe cerc

care au aceeași abscisă a mic.

Cele două puncte corespund unghiurilor x și minus x.

Cu alte cuvinte, cosinus de minus x este egal cu cosinus de x și egal cu a.

Din această relație se obține o a doua soluție a ecuației.

x va fi egal cu minus arc cosinus de a plus 2 k pi.

Din cele două relații putem trage concluzia că soluția ecuației cosinus de x egal cu a

este mulțimia formată din elementele plus minus arc cosinus de a plus 2 k pi

unde k este număr întreg.

Trecem mai departe la rezolvarea ecuației tangentă de x egal cu a.

Având în vedere că funcția tangentă ia toate valorile reale,

ecuația are soluții pentru orice a număr real.

Așadar, pentru a rezolva ecuația tangentă de x egal cu a pentru orice a număr real,

exprimăm necunoscuta x.

x va fi egal cu arc tangentă de a plus k pi.

Funcția tangentă este funcție periodică în perioada principală pi.

Există un singur punct pe tangenta la cerc având ordonata egală cu a mic.

Așadar, soluția ecuației tangentă de x egal cu a va fi mulțimia

arc tangentă de a plus k pi unde k este număr întreg.

În mod similar se rezolvă și ecuația cotangentă de x egal cu a.

Ecuația admite soluții pentru orice a număr real.

Rezolvăm așadar ecuația cotangentă de x egal cu a oricare ar fi a număr real.

x va fi egal cu arc cotangentă de a plus k pi

și funcția cotangentă este periodică având perioada principală pi.

Există un unic punct pe tangenta la cerc având abscisa egală cu a mic.

În consecință, soluția ecuației este arc cotangentă de a plus k pi

unde k este număr întreg.

Și acum putem sintetiza cele discutate până acum.

Ecuația sinus de x egal cu a are soluția minus 1 la k

arc sinus de a plus k pi unde k este număr întreg

dacă a aparține intervalului închis minus 1, 1.

În caz contrar, soluția este mulțimea vidă.

Ecuația trigonometrică cosinus de x egal cu a

admite soluțiile plus minus arc cosinus de a plus 2k pi

dacă a aparține intervalului închis minus 1, 1

și mulțimea vidă dacă a nu aparține acestui interval.

Ecoația tangentă de x egal cu a

admite soluțiile arc tangentă de a plus k pi

unde k este număr întreg pentru orice a real

iar ecuația cotangentă de x egal cu a

are mulțimea soluțiilor formată din elementele

arc cotangentă de a plus k pi

unde k este număr întreg pentru orice a real.

Să rezolvăm în continuare câteva ecuații.

Prima ecuație, sinus de x egal cu radical din 5.

Având în vedere că radical din 5

nu aparține intervalului închis minus 1, 1

putem trage concluzia că soluția ecoației este mulțimea vidă.

Următoarea ecuație.

Sinus de x egal cu radical din 2 pe 2.

Radical din 2 pe 2 aparține intervalului închis minus 1, 1

așadar soluția ecuației va fi x egal

cu minus 1 la k

arc sinus de radical din 2 pe 2

plus k pi.

Arc sinus de radical din 2 supra 2 este pi pe 4

așadar soluția ecuației va fi minus 1 la k

ori pi supra 4 plus k pi

unde k este număr întreg.

A treia ecuație.

Sinus de x egal cu minus 1 supra 2.

La fel, minus 1 pe 2 aparține intervalului închis minus 1, 1

și atunci x va fi egal cu minus 1 la k

arc sinus de minus 1 pe 2

plus k pi.

Arc sinus de minus x este minus arc sinus de x

așadar acest minus trece în față

și vom obține x egal cu minus 1

la puterea k plus 1

ori arc sinus de 1 pe 2

plus k pi.

Arc sinus de 1 supra 2 este pi pe 6

soluția va fi minus 1 la k plus 1

ori pi supra 6 plus k pi

unde k este număr întreg.

A patra ecuație.

Cosinus de x egal cu 1 pe 2.

x va fi egal cu plus minus

arc cosinus de 1 pe 2

plus 2k pi.

Arc cosinus de 1 supra 2 este pi pe 3

și atunci soluția va fi

plus minus pi pe 3

plus 2k pi

unde k este număr întreg.

A cincea ecuație.

Cosinus de x egal cu minus 3.

Minus 3 nu aparține

intervalului minus 1,1

așadar soluția este mulțimea vidă.

Următoarea ecuație.

Tangentă de x egal cu minus 3.

Ecuația are soluții pentru orice a real

așadar x va fi egal cu

arc tangentă de minus 3

plus k pi.

Arc tangentă de minus x este

minus arc tangentă de x

așadar x va fi egal cu minus

arc tangentă de 3 plus k pi.

Aceasta nu este o valoare uzuală

așadar lăsăm soluția sub forma aceasta

S egal minus arc tangentă de 3

plus k pi

unde k este număr întreg.

Și ultima ecuație.

Cotangentă de x egal cu minus radical

din 3 pe 3.

X va fi egal cu arc cotangentă

de minus radical din 3 pe 3

plus k pi.

Arc cotangentă de minus x este egal cu

pi minus arc cotangentă de x

așadar x va fi egal cu

pi minus arc cotangentă

de radical din 3 pe 3

plus k pi.

Arc cotangentă de radical din 3 pe 3

este pi pe 3

avem x egal cu pi minus pi pe 3

plus k pi.

X egal cu 2 pi pe 3

plus k pi.

S egal

2 pi pe 3 plus k pi

unde k este număr întreg.