Dreaptă perpendiculară pe plan

În continuare să vedem ce înțelegem prin dreaptă perpendiculară pe un plan și avem această definiție.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.

Deci dreapta D este perpendiculară pe planul alfa dacă și numai dacă este perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în planul alfa.

Atunci, această definiție are următoarea proprietate, de fapt mai bine zis are următoarea consecință.

Dacă dreapta D este perpendiculară pe planul alfa și avem o dreaptă, să o notăm a mic, inclusă în planul alfa, deci a inclusă în alfa, atunci, conform acestei definiții, ce rezultă?

Păi, dacă dreapta D este perpendiculară pe planul alfa, înseamnă că dreapta D este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, deci dreapta D este perpendiculară și pe dreapta A.

Trecem aici, D perpendiculară pe A.

E bine să reținem această consecință pentru că o vom folosi în anumite probleme.

Și acum, în continuare, să vedem cum arătăm că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, pentru că, de fapt, asta ne interesează în anumite probleme.

Și ni se dă teorema, o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.

Deci, dacă dreapta D este perpendiculară pe o dreaptă A, și să trecem și punctul în care ele sunt perpendiculare, în O, și dreapta D este perpendiculară pe o altă dreaptă, notată B, tot în același punct, în punctul O,

iar dreptele A și B sunt drepte concurente, punctul lor de intersecție este O, A și B sunt incluse în alfa, atunci, conform acestei teoreme, ce rezultă?

Avem o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, înseamnă că dreapta este perpendiculară pe plan.

Deci, dreapta D perpendiculară pe planul alfa.

Nu vom face demonstrația acestei teoreme, ci ne interesează cum aplicăm această teoremă în probleme, și să vedem.

În cubul ABC de A'B'C'D' trebuie să arătăm că dreapta A'C' este perpendiculară pe planul DB'B'D'.

Deci, vrem să arătăm că această dreaptă A'C' este perpendiculară pe planul determinat de aceste puncte, avem DB, unim pe D cu B, pe B' cu B, pe D' cu B' și pe D' cu D.

Trebuie să arătăm că A'C', haideți să trecem aici, A'C' este perpendiculară pe planul DB'D'.

Deci, această dreaptă să fie perpendiculară pe acest plan.

Cum facem asta?

Pe conform teoremei anterioare, trebuie să arătăm că dreapta A'C' este perpendiculară pe două drepte concurente din acest plan.

Deja e ușor să găsim o dreaptă pentru că, iată, A'C' este perpendiculară pe D'B' pentru că avem aici un pătrat și știm deja diagonalele sunt perpendiculare.

Deci, facem acest semn aici și haideți să notăm că A'B'C'D' este pătrat.

Deci, rezultă că A'C' este perpendiculară pe D'B' și notăm această relație cu relația 1.

Acum, trebuie să mai arătăm că dreapta A'C' este perpendiculară pe o altă dreaptă din acest plan și dreapta respectivă să fie concurentă cu D'B'.

Ce dreaptă să alegem?

Păi, am putea să alegem, de exemplu, dreapta B' sau putem să alegem la fel de bine și dreapta D''.

Dacă alegem dreapta B' deci vrem să arătăm că B' este perpendiculară pe A'C', această dreaptă și aceasta să fie perpendiculare.

Cum arătăm acest lucru?

Păi, dreapta B' este perpendiculară pe ce dreapte?

Păi, este perpendiculară pe B'C' pe această dreaptă.

De ce are loc această relație?

Pentru că B'C'C'B' ce avem aici este un pătrat.

Deci, B'B' este perpendiculară pe B'C' și tot așa B'B' este perpendiculară și pe ce dreaptă?

Păi, pe A'B' pentru că avem aici un pătrat.

Cred că sunteți de acord cu aceste două relații, nu e nimic complicat.

Bun, dar la ce ne ajută aceste două relații?

Deci, B'B' este perpendiculară pe această dreaptă dar și pe aceasta.

Păi, cum sunt cele două drepte?

Sunt concurente, punctul de intersecție este B'

Deci, B'C' intersectată cu dreapta A'B' și obținem punctul de intersecție B'

Care va să zică?

Dreapta B'B' este perpendiculară pe două drepte concurente din acest plan

Pentru că A'B' și B'C' sunt incluse în acest plan A'B'C'D'

Păi, ce înseamnă asta?

Conform teoremei pe care am discutat-o anterior, rezultă că dreapta B'B' este cum?

Este perpendiculară pe planul determinat de aceste două drepte

Deci, perpendiculară pe planul determinat de dreptele A'B' și B'C'

Cu alte cuvinte, B'B' este perpendiculară pe planul A'B'C'D'

Acesta e planul determinat de cele două drepte

Bun, și ce vom obține în continuare? De ce ne este de folos această relație?

Faptul că B'B' este perpendiculară pe acest plan

Păi, cum este dreapta A'C'?

Este o dreaptă inclusă în acest plan

Deci, trecem că dreapta A'C' este inclusă în planul A'B'C'D'

Păi, ce rezultă acum conform definiției unei drepte perpendiculare pe un plan?

Dreapta B'B' este perpendiculară, de fapt, pe orice dreaptă din acest plan

De ce este perpendiculară și pe A'C'?

Deci, notăm că B'B' este perpendiculară pe A'C'

Și această relație, haideți să o notăm cu 2

O să trec aici jos, relația 2

Și să rescriem cele două relații pe care le-am notat

Avem aici prima relație

O să o și încadrăm puțin

Și avem și a doua relație

Deci, din relațiile 1 și 2

Ce avem?

Că A'C' este perpendiculară pe D'B'

A'C' este perpendiculară pe această dreaptă

Dar, A'C' este perpendiculară și pe B'

A'C' este perpendiculară și pe această dreaptă

Păi, cum sunt dreptele D'B' și B'

D'B' și B'

Sunt drepte concurente

Punctul lor de intersecție este B'

Deci, ce rezultă?

Că dreapta A'C' este perpendiculară pe planul determinat de aceste două drepte

Deci, A'C'

Să trecem aici că, din teoremă, rezultă că avem această relație

Este perpendiculară pe planul determinat de D'B' și B'

Care este acest plan?

Pe planul determinat de cele două drepte este chiar

D'B'D'

Deci, am obținut că această dreaptă A'C' este perpendiculară pe acest plan

Exact ce aveam de demonstrat

Următoarea problemă

Pe planul triunghiului A'B'C' se construiește perpendiculara M'A

Deci, avem nevoie de un triunghi A'B'C'

Și pe planul acestui triunghi A'B'C' vom ridica perpendiculara M'A

Deci, din vârful A ridicăm o perpendiculară pe acest plan

Și trecem aici punctul M

Și chiar să notăm că M'A este perpendiculară pe planul A'B'C'

Ce mai știm?

Că B'D' este înălțime în triunghiul A'B'C'

Deci B'D' este înălțime în acest triunghi

Și notăm B'D' perpendiculară pe A'C'

Și mai știm că D' este perpendiculară pe M'C'

Deci mai întâi trebuie să-l unim pe M'C' ca să vedem segmentul M'C'

Și acum ce avem de făcut?

Din punctul D trebuie să ridicăm perpendiculara pe M'C'

Și putem să o construim așa

Avem aici punctul E

Aici să trecem că D' este perpendiculară pe M'C'

D'E este perpendiculară pe M'C'

Și ce avem de arătat?

Păi trebuie să arătăm că M'C'

Deci ce am trasat aici cu roșu

Este perpendiculară pe planul B'D'E

Iată planul B'D'E

Deci pe acest plan

Cum arătăm că această dreaptă reprezentată cu roșu

Este perpendiculară pe acest plan B'D'E?

Păi trebuie să arătăm că D'E este perpendiculară pe două drepte concurente din acest plan

Deja e simplu pentru că D'E este perpendiculară pe M'C'

Sau altfel spus M'C' este perpendiculară pe D'E

Exact ce avem aici

Și vom nota această relație cu relația 1

Bun, trecem aici 1

Și o reținem momentan pentru că acum mai trebuie să găsim

O altă dreaptă din acest plan B'D'E

Care să fie concurentă cu D'E

Și M'C' să fie perpendiculară și pe ea

Păi putem oare să arătăm că D'M'C'

Este perpendiculară pe B'D'

Vă las puțin timp să vă gândiți

Se poate arăta și chiar asta vom și face

Deci mai întâi haideți să notăm așa

Arătăm că D'B'D'E este perpendiculară pe M'C'

Sau altfel spus M'C' este perpendiculară pe B'D'

Cum facem acest lucru?

Păi o variantă este aceea de a arăta că

D'B'D'E este perpendiculară pe planul M'A'C'

Cum B'D'E este perpendiculară pe acest plan

Și M'C' este inclusă în plan

Înseamnă că s-a rezolvat B'D'E perpendiculară pe M'C'

Deci haideți să arătăm că D'B'D'E

Este perpendiculară pe planul M'A'C'

Și ideea de rezolvare care credeți că e?

Păi e identică cu ce am făcut până acum

Trebuie să arătăm că D'B'D'E este perpendiculară

Pe două drepte concurente din acest plan

Și deja avem o dreaptă

Iată B'D'E este perpendiculară pe M'A'C'

Ce avem aici?

Deci notăm B'D'E este perpendiculară pe M'A'C'

Și acum mai avem nevoie ca B'D'E

Să fie perpendiculară pe o altă dreaptă din acest plan

Concurentă cu dreapta M'A'C'

Păi cum sunt dreptele B'D'E și M'A'C'?

Ele sunt de fapt perpendiculare

Pentru că M'A'C' este perpendiculară pe acest plan

Deci să notăm

M'A'C' este perpendiculară pe planul A'B'C'

Cum este dreapta B'D'E?

Este inclusă în acest plan

Deci B'D'E

Inclusă în planul A'B'C'

Cu alte cuvinte ce rezultă?

Dreapta M'A'C' este perpendiculară pe un plan

Deci este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan

Înseamnă că M'A'C' este perpendiculară și pe B'D'E

Deci rezultă din definiție

Că M'A'C' este perpendiculară pe B'D'E

Și această relație pe care o notez cu 2

Vom scrie sus că din relația 2

Rezultă și chiar ce am notat aici

Haide să scriem ceva mai departe ca să se înțeleagă

Din relația 2

Rezultă că

M'A'C' este perpendiculară pe B'D'E

Iată exact ce avem în relația 2

Și ce am obținut?

Păi dreapta B'D'E

Este perpendiculară și pe M'A'C'

Este perpendiculară și pe A'C'

Cum sunt aceste două drepte?

Concurente în A'

Deci M'A'C'

Și dreapta A'C'

Sunt drepte concurente

Punctul de intersecție este

Așa cum se vede și pe figură

Punctul A

Deci am obținut că B'D'E este perpendiculară

Și pe M'A'C'

Drepte concurente

Rezultă din teoremă că

Dreapta B'D'E este perpendiculară

Pe planul determinat de dreptele

A'C' și M'A'C'

Adică pe planul M'A'C'

Adică pe acest plan

Dreapta M'C'

Trecem aici

Este inclusă în planul M'A'C'

De unde?

Ce rezultă?

Conform definiției unei drepte perpendiculare

Pe un plan înseamnă că dreapta B'D'E

E perpendiculară pe orice dreaptă din plan

Deci și pe M'C'

Rezultă B'D'E

Perpendiculară pe M'C'

Și vreau să scriem aici că

Avem relația numărul 3

Avem 1,2,3

Și o vom trece cu roșu pentru că

E foarte importantă

Avem relațiile

1

Și 3

Să le notăm

Relația 1 ne spune că

Dreapta D'E este perpendiculară

Pe M'C'

Sau mai bine să scriem invers

M'C' perpendiculară pe D'E

Relația 3 ne spune că

M'C' e perpendiculară pe

B'D'E

Trecem și aici

Cum sunt aceste două drepte

D'E și B'D'E?

Dreptele D'E și B'D'E

Sunt drepte concurente

Punctul de intersecție

Este punctul D'E

Păi asta înseamnă că

Din teorema învățată

Că M'C'

Această dreaptă e perpendiculară

Pe planul determinat de D'E

Cele două drepte

D'E și B'D'E

M'C' perpendiculară pe planul

B'D'E

Și iată că am demonstrat exact ce se cere

Iată să fie clar că aici avem

Litera E

Și s-a încheiat