Distanţe în spațiu. Perpendiculare și oblice.

În această secvență vom vedea ce înțelegem prin distanță în spațiu și vom vorbi puțin și despre perpendiculare și oblice.

În ce situații ni se poate cere să calculăm niște distanțe?

Păi putem să avem distanța dintre două puncte, iată, distanța dintre punctele A și B e dată, de fapt, de lungimea segmentului AB.

Distanța dintre două puncte e lungimea segmentului determinat de cele două puncte.

Și notăm astfel, distanța dintre punctele A și B este egală cu lungimea segmentului AB.

Și dacă trecem aici că AB are 2 centimetri, atunci trecem în continuare egal cu 2 centimetri.

Sau putem să avem distanța dintre un punct și o dreaptă.

Păi ca să găsim distanța de la punctul A la dreapta a mic, trebuie să ducem perpendicularea din punctul A pe dreapta a mic.

Și atunci notăm aici punctul B mare, AB este perpendiculară pe dreapta a mic.

Atunci asta înseamnă că distanța de la punctul A la dreapta a este dată chiar de lungimea segmentului AB.

Și dacă trecem că avem aici și 1,5 centimetri, atunci notăm aici 1,5 centimetri.

Mare atenție, perpendicularea dusă dintr-un punct pe o dreaptă este unică.

Deci din punctul A mare pe dreapta a mic putem să ducem o singură perpendiculară.

În afară de aceste două tipuri de distanțe, mai putem să avem distanța de la un punct la un plan.

Deci dacă vrem să determinăm distanța de la punctul A mare la planul alfa, atunci ducem perpendicularea din punctul A pe planul alfa.

Și dacă această perpendiculare intersectează planul în punctul O,

haideți să trecem pe O aici și să prelungim și această dreaptă,

atunci vom nota că de vreme ce AO este perpendiculară pe planul alfa,

înseamnă că distanța de la punctul A la planul alfa este dată chiar de lungimea segmentului AO.

Deci egal cu AO și trecem apoi în continuare câți centimetri are acest segment. Atenție!

Perpendicularea dusă dintr-un punct pe un plan, ca și perpendicularea dusă de la un punct pe o dreaptă, este unică.

Deci din punctul A pe planul alfa putem să ducem o singură perpendiculară. AO este unică.

Dacă unim punctul A cu orice alt punct din plan,

de exemplu dacă avem aici punctul B și unim punctul A cu punctul B,

sau avem aici punctul C și unim pe A cu C,

atunci ceea ce vom obține, AB și AC, se numesc oblice la plan.

Deci AB și AC sunt oblice la planul alfa.

Ce relație credeți că există între oblicele la un plan și distanța de la punctul respectiv la plan?

Păi întotdeauna orice oblică la plan este mai lungă decât perpendiculara pe acel plan.

De ce se întâmplă acest lucru?

Păi iată, dacă unim aici pe B cu O, avem triunghiul AOB.

Ce fel de triunghi este acesta?

Cum AO e perpendiculară pe planul alfa și OB este inclusă în planul,

asta înseamnă că AO e perpendiculară pe OB, deci avem aici un unghi de 90 de grade,

deci triunghiul AOB este triunghi dreptunghic.

Și ce observăm?

Că AB este ipotenuză, iar AO este catetă.

Păi întotdeauna ipotenuza este mai lungă decât cateta,

deci putem să trecem aici că oblica la plan,

ne referim aici la AB, este mai lungă decât AO,

adică perpendicular adusă din acest punct pe plan.

Dintre două oblice la un plan,

de exemplu dacă vom prelungi aici acest segment OB,

și chiar îl vom prelungi,

și să considerăm că avem aici punctul D,

AD este și a oblică la plan.

Haideți să o trasăm, AD.

Bun, dintre două oblice la un plan,

este mai lungă cea care este mai depărtată de punctul

în care perpendicularea intersectează planul,

în cazul nostru, față de punctul O.

Deci cu când ne depărtăm mai mult de punctul O,

cu atât oblica la plan va fi mai lungă,

pentru că iată aici avem tot așa un triunghi dreptunghic AOD,

și de vreme ce OD este mai lungă decât OB,

atunci și AD va fi mai lungă decât AB.

Deci putem să notăm că AD are lungimea mai mare decât AB.

Deci dintre două oblice la un plan,

este mai lungă cea care este mai depărtată de punctul O,

în acest caz.

Mai putem să întâlnim și

distanța dintre două drepte paralele.

Ca să determinăm distanța dintre două drepte paralele,

alegem un punct pe una din cele două drepte,

de exemplu alegem aici punctul M,

și din punctul M ducem o perpendiculară pe dreapta B.

Și să notăm aici cu N punctul de intersecție,

MN este perpendiculară pe dreapta B,

însă cum dreptele B și A sunt drepte paralele,

înseamnă că MN este cum?

Perpendiculară și pe dreapta A.

Deci trecem aici, dreptele A și B sunt paralele,

MN este perpendiculară pe dreapta A,

MN este perpendiculară și pe dreapta B,

atunci distanța de la dreptele,

distanța dintre dreptele A și B,

e dată chiar de lungimea segmentului MN.

Deci dacă avem aici să spunem un centimetru,

atunci trecem în continuare egal cu un centimetru.

Sau mai putem să avem distanța dintre două plane paralele.

Ca să determinăm o asemenea distanță,

vom proceda asemănător cu ce am făcut aici și anume,

alegem un punct E în acest plan,

deci să se înțeleagă că avem aici E,

din punctul E coborăm o perpendiculară pe planul beta

și haide să considerăm că intersectează aici în punctul F,

deci EF este perpendiculară pe planul beta,

cum însă planele alfa și beta sunt paralele,

înseamnă că EF este perpendiculară și pe planul alfa,

deci EF perpendiculară și pe alfa,

pentru că planele alfa și beta sunt plane paralele,

și atunci distanța dintre planele alfa și beta,

e dată chiar de lungimea segmentului cuprins

între aceste două plane,

așa cum am avut aici lungimea segmentului cuprins

între aceste două drepte,

deci este dată de lungimea segmentului EF,

deci dacă EF are să spunem 3 centimetri,

atunci trecem în continuare egal cu 3 centimetri.

Să facem acum și această aplicație,

se dă un cub cu lungimea muchei de 2 centimetri,

să aflăm distanța dintre planele ABCD,

deci acest plan și planul A'B'C'D',

adică acest plan.

Cum determinăm distanța dintre cele două plane?

Păi avem aici un cub,

asta înseamnă că planul ABCD

este paralel cu planul A'B'C'D',

dacă vreți chiar să demonstrăm acest lucru,

atunci e foarte simplu,

pentru că fețele unui cub,

absolut toate fețele sunt pătrate,

păi asta înseamnă că B' este perpendiculară pe BC,

la fel B' este perpendiculară și pe AB,

deci B' este perpendiculară pe două drepte concurente

din planul ABCD,

asta înseamnă că B' este perpendiculară pe acest plan,

deci trecem B' este perpendiculară pe planul ABCD,

absolut la fel se demonstrează că B'

este perpendiculară pe planul A'B'C'D',

deci B' este perpendiculară pe acest plan,

cu alte cuvinte cele două plane,

ABCD și A'B'C'D' sunt plane paralele,

deci rezultă că distanța dintre aceste două plane,

și haide să scriu mai la stânga,

pentru că nu o să ne încadrăm în spațiu,

deci distanța dintre planele ABCD și A'B'C'D'

este dată de fapt de lungimea segmentului cuprins

între aceste plane,

deci egal cu lungimea segmentului BB',

care evident este congruent cu CC' cu DD' și cu A',

deci puteam să alegem în loc de BB'

orice altă muche dintre acestea patru,

și cât avem?

Lungimea muche este de 2 cm,

deci distanța dintre aceste două plane este de 2 cm.

O altă aplicație,

pe planul triunghiului ABC isoscel,

care are AB egal cu AC 15 cm și BC de 18 cm,

se ridică perpendicular a MA,

fie de mijlocul segmentului BC,

și ni se mai spune aici că dacă MD are 20 cm,

să aflăm această distanță,

deci mai întâi trebuie să desenăm planul triunghiului ABC,

avem un triunghi isoscel,

care are AB egal cu AC 15 cm,

și aici avem 18 cm,

lungimea segmentului BC,

și se ridică perpendicular a MA,

deci ridicăm aici,

însă nu am trecut corect,

nu am trasat corect,

avem aici MA

perpendiculară pe planul ABC,

chiar o să și notez că MA

este perpendiculară pe planul ABC,

fie de mijlocul segmentului BC,

deci trecem aici de mijlocul segmentului BC,

deci BD congruent cu DC,

și ni se spune că dacă MD are 20 cm,

să unim pe M cu D,

deci dacă lungimea acestui segment este de 20 cm,

să aflăm distanța de la punctul M la planul ABC,

ce înțelegem prin această distanță?

De vreme ce MA este perpendiculară pe planul ABC,

atunci distanța de la punctul M la acest plan

e dată chiar de lungimea segmentului MA,

deci din această relație rezultă că

distanța de la punctul M la planul ABC

este dată de lungimea acestui segment MA,

cu alte cuvinte trebuie să vedem

câți centimetri are segmentul MA.

Cum să calculăm lungimea acestui segment?

Nu degeaba ni s-a dat lungimea segmentului MD.

Iată, dacă unim pe A cu D,

vom obține triunghiul MAD.

Ce fel de triunghi este acesta?

Cum MA este perpendiculară pe planul ABC

și AD face parte din acest plan,

asta înseamnă că MA este perpendiculară pe AD,

deci avem aici un unghi de 90 de grade.

Cu alte cuvinte, triunghiul MAD este un triunghi dreptunghic.

Știm lungimea ipotenuzei.

Ca să aflăm lungimea acestei catete,

avem nevoie de lungimea catetei AD.

Cum să determinăm lungimea segmentului AD?

Ce este AD?

Este mediană în triunghiul ABC,

care este triunghi isoscel.

Cu alte cuvinte, problema este deja rezolvată

pentru că știm lungimile laturilor.

Și ce este atunci AD,

de vreme ce e mediană în triunghi isoscel?

Ea este și înălțime,

deci trecem aici, că avem înălțime.

Haide să notăm că triunghiul ABC

este un triunghi isoscel,

iar AD este mediană

corespunzătoare bazei acestui triunghi isoscel,

deci rezultă că AD este și înălțime.

AD perpendiculară pe BC.

Cu alte cuvinte, notăm că măsura unghiului ADB

este de 90 de grade.

Deci ce am obținut din această relație?

Că triunghiul, deci rezultă în continuare,

că triunghiul ADB este un triunghi dreptunghic.

Măsura unghiului D are 90 de grade.

Și atunci, aplicăm aici teorema lui Pitagora,

pentru că, iată, BD are 9 centimetri.

Voi face aici o acoladă și scriem 9 centimetri.

Deci rezultă din teorema lui Pitagora

că AD la pătrat este egală cu,

lungimea acestui segment este egală cu

diferența dintre AB pătrat,

care e lungimea ipotenuzei,

și BD la pătrat.

Deci AD pătrat cât ne dă?

Avem așa AB pătrat 15 la pătrat

minus BD la pătrat înseamnă 9 la a doua,

adică 225 minus 81 ne dă 144.

Deci rezultă că AD are 12 centimetri.

Și venim aici și trecem 12 centimetri.

Bun, deja problema e ca și rezolvată.

Venim aici și notăm că MA

este perpendiculară pe planul ABC.

Trebuie să justificăm faptul că triunghiul MAD

este un triunghi dreptunghic în A.

Deci MA e perpendiculară pe acest plan,

AD este inclusă în planul ABC

de unde rezultă că MA este perpendiculară pe AD.

Deci notăm că măsura unghiului,

cum se numește MAD,

are 90 de grade.

Și atunci aplicăm teorema lui Pitagora

în triunghiul MAD.

Deci avem așa triunghiul MAD,

măsura unghiului A, iată aici, are 90 de grade.

Deci vom avea, conform teoremei lui Pitagora,

pătratul lunghimii catetei AM sau MA

la pătrat va fi egală cu MD la pătrat,

din care scădem AD la pătrat.

Și să înlocuim, rezultă că MA la pătrat

va fi egală cu MD, este de 20 de centimetri la pătrat,

minus, deci aici avem la a doua,

AD la pătrat ne dă AD 12,

deci avem 12 la a doua și obținem 400 minus 144,

deci ne dă 256.

Rezultă că lungimea catetei MA

este radical din 256, adică 16 centimetri.

Și venim aici și ștergem semnul întrebării

și trecem că am obținut 16 centimetri.

Și astfel am aflat distanța de la punctul M la planul ABC.