Criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon - Exerciții

În cadrul acestui videoclip voi rezolva două exerciții pentru a vă arăta cum poate fi utilizat criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon în rezolvarea exercițiilor.

Primul exercițiu. Utilizând criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon să se arate că limita când întinde la infinit din 2n-1 supra n plus 1 este egală cu 2.

Deoarece limita acestui șir este un număr finit, vom folosi criteriul de convergență cu epsilon.

Criteriul de convergență cu epsilon ne spune că șirul Xn este convergent la L, dacă și numai dacă, pentru orice epsilon pozitiv se poate găsi un rang n de epsilon,

astfel încât să avem modul din Xn minus L mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon.

Vom rescrie criteriul de convergență cu epsilon pentru acest exercițiu.

Obținem limita șirului 2n-1 supra n plus 1 este 2, dacă și numai dacă, pentru orice epsilon pozitiv există n de epsilon din n-stea cu proprietatea că modul din 2n-1 supra n plus 1 minus 2 este mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Deci noi ca să arătăm că limita acestui șir este 2, vom lucra cu membrul drept al echivalenței.

Considerăm epsilon pozitiv și trebuie să arătăm că există n de epsilon natural și diferit de 0, astfel încât modul din 2n-1 supra n plus 1 minus 2 să fie mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Adică, de fapt, trebuie să punem în evidență pe n de epsilon, astfel încât să aibă loc această inegalitate pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.

Vom porni de la această inegalitate, o voi și nota cu stea și o voi considera ca pe o inequatie în n.

Pentru a rezolva inequatia în n pe care am notat-o cu stea, o voi aduce la o formă mai simplă.

Am adus la numitor comun, am redus termenii asemenea, am obținut modul din minus 3 supra n plus 1 mai mic decât epsilon

Modulul unui raport este egal cu raportul modulelor, deci obțin modul din minus 3 supra modul din n plus 1 mai mic decât epsilon

Modul din minus 3 este 3, modul din n plus 1 este n plus 1 pentru că n este un număr natural nenul

Inversez cei doi membri ai inequatiei și schimb semnul mai mic în mai mare, deci obțin n plus 1 supra 3 mai mare decât 1 supra epsilon

Înmulțesc cu 3 ambii membri ai inegalității, obțin n plus 1 mai mare decât 3 supra epsilon, adică n mai mare decât 3 supra epsilon minus 1

Și în membrul drept am adus la numitor comun, nu era chiar obligatoriu, dar cred că este mai ușor de înțeles discuția ce urmează

Și într-un final am obținut că n este mai mare decât 3 minus epsilon supra epsilon

Dacă 3 minus epsilon supra epsilon ar fi cu siguranță număr natural, atunci acesta ar putea să fie n de epsilon pe care îl căutam

Dar nu pentru orice valoare ale lui epsilon, 3 minus epsilon supra epsilon este natural

De exemplu, dacă epsilon este radical din 2, obținem 3 minus radical din 2 supra radical din 2, care nu este număr natural

Sau dacă epsilon este egal cu 7, atunci obținem 3 minus 7 supra 7, care este de fapt o fracție negativă

Cum semnul acestei fracții depinde de epsilon?

Să facem semnul fracției pentru epsilon mai mare ca 0

Epsilon ia valori de la 0 până la plus infinit

3 minus epsilon se anulează în 3

Până în 3 are semnul contrar coeficientului lui epsilon, care este negativ

Deci aici vom avea semnul plus, de la 3 până la plus infinit vom avea semnul minus

Epsilon este pozitiv, cu excepția lui 0 unde are valoarea 0

Iar fracția nu există dacă epsilon este 0

Este pozitivă între 0 și 3 și este negativă între 3 și plus infinit

Vom considera primul caz, epsilon mai mare sau egal cu 3

Pentru epsilon mai mare sau egal cu 3, fracția 3 minus epsilon supra epsilon este mai mică sau egală cu 0

Să ne uităm că n de epsilon este din n stea

Orice număr natural va fi mai mare decât 3 minus epsilon supra epsilon

Și atunci, pentru epsilon mai mare sau egal decât 3, noi putem să luăm pe n de epsilon egal cu 1

Dacă epsilon este între 0 și 3

3 minus epsilon supra epsilon este pozitiv

Iar n de epsilon trebuie să fie număr natural diferit de 0

Mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon

Și de fapt ar trebui să fie cel mai mic număr natural

Care este mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon

Cum noi știm că orice număr real se găsește între partea lui întreagă și partea lui întreagă plus 1

Din toate acestea rezultă că

În cazul în care epsilon este între 0 și 3

Vom lua n de epsilon egal cu

Partea întreagă din 3 minus epsilon supra epsilon plus 1

Acest număr va fi natural pentru că partea întreaga unui număr pozitiv este natural

Și mai mult este cel mai mic număr natural

Mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon

Aducem partea întreagă din 3 minus epsilon supra epsilon plus 1 la o formă mai simplă

Am scris fiecare termen de la numărător supranumitor

Și obțin partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1 plus 1

Și acum am folosit de această proprietate a părții întregi

Partea întreagă din a plus k este egală cu partea întreagă din a plus k

Dacă k este un număr întreg

A evident poate să fie orice număr real

Și atunci partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1

Se poate scrie ca partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1 plus 1

Minus 1 plus 1 se reduc și obținem că N de epsilon este egal cu 3 supra epsilon

Dacă epsilon este cuprins între 0 și 3

Să vedem ce am obținut

Am arătat că pentru orice epsilon pozitiv există N de epsilon

Care este egal cu 1 dacă epsilon e mai mare sau egal decât 3

Și partea întreagă din 3 supra epsilon atunci când epsilon este între 0 și 3

Evident N de epsilon este număr natural nenul

Astfel încât modul din 2N minus 1 supra N plus 1 minus 2 este mai mic decât epsilon

Pentru orice N mai mare sau egal decât N de epsilon

Folosind criteriul de convergență cu epsilon

Rezultă că limita tendentii de la infinit din 2N minus 1 supra N plus 1 este egală cu 2

Deci acest exercițiu este rezolvat

În cele ce urmează voi verifica dând câteva valori concrete lui epsilon

Dacă formula lui N de epsilon pe care am obținut-o este corectă

Nu este necesar să faceți acest lucru când rezolvați exerciții de acest tip

Dar cred că o astfel de verificare este utilă pentru că

Pe de o parte înțelegeți mai bine ce înseamnă N de epsilon

Și pe de altă parte verificările sunt întotdeauna bine venite la matematică

Voi începe prin a scrie câțiva termeni ai șirului

Dacă N este egal cu 1 vom avea 2 ori 1 minus 1 supra 1 plus 1

Adică va fi 1 pe 2

Dacă N egal cu 2 obținem 3 pe 3 adică 1

Dacă N egal cu 3 obținem 5 supra 4

Dacă N egal cu 4 obținem 7 pe 5

Apoi următorii termeni vor fi 9 pe 6

11 supra 7

13 supra 8

Și așa mai departe

Să vedem câți termeni ai șirului AN se găsesc în vecinătate

Dacă epsilon este egal cu 3

Dacă epsilon este egal cu 3

Atunci vecinătatea va fi 2 minus 3

2 plus 3

Adică minus 1 5

Observăm că toți termenii șirului se găsesc în această vecinătate

Deci în această situație N de epsilon este egal cu 1

Vedem că pentru epsilon egal cu 3 și noi am obținut că N de epsilon trebuie să fie egal cu 1

Dacă epsilon este egal cu 4

Atunci vecinătatea va fi 2 minus 4

2 plus 4

Adică minus 2 6

Din nou toți termenii șirului se găsesc în această vecinătate

Înseamnă că N de epsilon este egal cu 1

Din nou suntem în situația epsilon mai mare sau egal cu 3

Prin calcul am obținut că N de epsilon trebuie să fie 1

Dacă epsilon este egal cu 1 pe 2

Atunci vecinătatea este 2 minus 1 pe 2

2 plus 1 pe 2

Adică 3 pe 2

5 pe 3

Observăm că din termenii șirului sunt în afara acestei vecinătăți

Termenul A1 care este 1 pe 2

A2 care este 1

A3 5 pe 4

A4 egal cu 7 pe 5

A5 egal cu 9 pe 6

Adică 3 supra 2

Înseamnă că în acest caz avem 5 termeni în afara vecinătății

Deci N de epsilon trebuie să fie egal cu 6

Să vedem dacă prin calcul am obține aceeași valoare

Suntem în situația epsilon între 0 și 3

Înseamnă că N de epsilon trebuie să fie egal cu

Partea întreagă din 3 supra epsilon

În cazul nostru, partea întreagă din 3 supra 1 pe 2

Care este partea întreagă

Din 3 supra 1 ori 2 supra 1

Adică partea întreagă din 6

Am obținut și în această situație același rezultat

Să rezolvăm acum exercițiul 2

Trebuie să arătăm, utilizând criteriul de existență a limitei unui șircu epsilon

Că limită când e întinde la plus infinit din N pătrat este egală cu plus infinit

Pentru că trebuie să arătăm că șirul N pătrat are limită infinită

Utilizăm criteriul cu epsilon pentru limită infinită

Adică dacă arătăm că pentru orice epsilon mai mare decât 0 există N de epsilon din N stelat

Astfel încât N pătrat este mai mare decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon

Atunci limită când e întinde la infinit din N pătrat va fi plus infinit

Fie epsilon mai mare decât 0

Trebuie să găsim un rang N de epsilon din N stelat

Începând de la care să avem N pătrat mai mare decât epsilon

Va trebui să-l punem în evidență pe acest N de epsilon

Îl vom determina pe N de epsilon rezolvând inequația în N

N pătrat mai mare decât epsilon

Notez această inequație cu stea

Inequația stea este echivalentă cu N pătrat minus epsilon mai mare decât 0

Aceasta este o inequație de gradul al doilea în N

Soluțiile echivației atășate sunt N1,2 egal cu plus minus radical din epsilon

Radicalul există pentru că epsilon este mai mare strict decât 0

Și atunci pentru a rezolva inequația facem semnului N pătrat minus epsilon

Între soluții avem semnul minus în afară semnul plus

Ținem cont de faptul că N trebuie să fie o număr natural nenul

Deci valorile negative ale lui N nu-i interesează

Soluția inequație este intervalul radical din epsilon plus infinit

Înseamnă că N trebuie să fie mai mare decât radical din epsilon

Deci N de epsilon trebuie să fie cel mai mic număr natural

Mai mare sau egal cu radical din epsilon

Și ținând cont de faptul că orice număr real se găsește între partea lui întreagă și partea lui întreagă plus 1

Rezultă că N de epsilon este egal cu partea întreagă din radical din epsilon plus 1

Am obținut că pentru orice epsilon pozitiv există N de epsilon egal cu partea întreagă din radical din epsilon plus 1

Care este număr natural nenul

Astfel încât N pătrat este mai mare decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon

Pe baza criteriului cu epsilon pentru limită infinită

Rezultă că limită când entind de la infinit din N pătrat este egală cu plus infinit