Transcript: Criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon - Exerciții

În cadrul acestui videoclip voi rezolva două exerciții pentru a vă arăta cum poate fi utilizat criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon în rezolvarea exercițiilor.
Primul exercițiu. Utilizând criteriul de existență a limitei unui șir cu epsilon să se arate că limita când întinde la infinit din 2n-1 supra n plus 1 este egală cu 2.
Deoarece limita acestui șir este un număr finit, vom folosi criteriul de convergență cu epsilon.
Criteriul de convergență cu epsilon ne spune că șirul Xn este convergent la L, dacă și numai dacă, pentru orice epsilon pozitiv se poate găsi un rang n de epsilon,
astfel încât să avem modul din Xn minus L mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal decât n de epsilon.
Vom rescrie criteriul de convergență cu epsilon pentru acest exercițiu.
Obținem limita șirului 2n-1 supra n plus 1 este 2, dacă și numai dacă, pentru orice epsilon pozitiv există n de epsilon din n-stea cu proprietatea că modul din 2n-1 supra n plus 1 minus 2 este mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.
Deci noi ca să arătăm că limita acestui șir este 2, vom lucra cu membrul drept al echivalenței.
Considerăm epsilon pozitiv și trebuie să arătăm că există n de epsilon natural și diferit de 0, astfel încât modul din 2n-1 supra n plus 1 minus 2 să fie mai mic decât epsilon pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.
Adică, de fapt, trebuie să punem în evidență pe n de epsilon, astfel încât să aibă loc această inegalitate pentru orice n mai mare sau egal cu n de epsilon.
Vom porni de la această inegalitate, o voi și nota cu stea și o voi considera ca pe o inequatie în n.
Pentru a rezolva inequatia în n pe care am notat-o cu stea, o voi aduce la o formă mai simplă.
Am adus la numitor comun, am redus termenii asemenea, am obținut modul din minus 3 supra n plus 1 mai mic decât epsilon
Modulul unui raport este egal cu raportul modulelor, deci obțin modul din minus 3 supra modul din n plus 1 mai mic decât epsilon
Modul din minus 3 este 3, modul din n plus 1 este n plus 1 pentru că n este un număr natural nenul
Inversez cei doi membri ai inequatiei și schimb semnul mai mic în mai mare, deci obțin n plus 1 supra 3 mai mare decât 1 supra epsilon
Înmulțesc cu 3 ambii membri ai inegalității, obțin n plus 1 mai mare decât 3 supra epsilon, adică n mai mare decât 3 supra epsilon minus 1
Și în membrul drept am adus la numitor comun, nu era chiar obligatoriu, dar cred că este mai ușor de înțeles discuția ce urmează
Și într-un final am obținut că n este mai mare decât 3 minus epsilon supra epsilon
Dacă 3 minus epsilon supra epsilon ar fi cu siguranță număr natural, atunci acesta ar putea să fie n de epsilon pe care îl căutam
Dar nu pentru orice valoare ale lui epsilon, 3 minus epsilon supra epsilon este natural
De exemplu, dacă epsilon este radical din 2, obținem 3 minus radical din 2 supra radical din 2, care nu este număr natural
Sau dacă epsilon este egal cu 7, atunci obținem 3 minus 7 supra 7, care este de fapt o fracție negativă
Cum semnul acestei fracții depinde de epsilon?
Să facem semnul fracției pentru epsilon mai mare ca 0
Epsilon ia valori de la 0 până la plus infinit
3 minus epsilon se anulează în 3
Până în 3 are semnul contrar coeficientului lui epsilon, care este negativ
Deci aici vom avea semnul plus, de la 3 până la plus infinit vom avea semnul minus
Epsilon este pozitiv, cu excepția lui 0 unde are valoarea 0
Iar fracția nu există dacă epsilon este 0
Este pozitivă între 0 și 3 și este negativă între 3 și plus infinit
Vom considera primul caz, epsilon mai mare sau egal cu 3
Pentru epsilon mai mare sau egal cu 3, fracția 3 minus epsilon supra epsilon este mai mică sau egală cu 0
Să ne uităm că n de epsilon este din n stea
Orice număr natural va fi mai mare decât 3 minus epsilon supra epsilon
Și atunci, pentru epsilon mai mare sau egal decât 3, noi putem să luăm pe n de epsilon egal cu 1
Dacă epsilon este între 0 și 3
3 minus epsilon supra epsilon este pozitiv
Iar n de epsilon trebuie să fie număr natural diferit de 0
Mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon
Și de fapt ar trebui să fie cel mai mic număr natural
Care este mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon
Cum noi știm că orice număr real se găsește între partea lui întreagă și partea lui întreagă plus 1
Din toate acestea rezultă că
În cazul în care epsilon este între 0 și 3
Vom lua n de epsilon egal cu
Partea întreagă din 3 minus epsilon supra epsilon plus 1
Acest număr va fi natural pentru că partea întreaga unui număr pozitiv este natural
Și mai mult este cel mai mic număr natural
Mai mare sau egal cu 3 minus epsilon supra epsilon
Aducem partea întreagă din 3 minus epsilon supra epsilon plus 1 la o formă mai simplă
Am scris fiecare termen de la numărător supranumitor
Și obțin partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1 plus 1
Și acum am folosit de această proprietate a părții întregi
Partea întreagă din a plus k este egală cu partea întreagă din a plus k
Dacă k este un număr întreg
A evident poate să fie orice număr real
Și atunci partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1
Se poate scrie ca partea întreagă din 3 supra epsilon minus 1 plus 1
Minus 1 plus 1 se reduc și obținem că N de epsilon este egal cu 3 supra epsilon
Dacă epsilon este cuprins între 0 și 3
Să vedem ce am obținut
Am arătat că pentru orice epsilon pozitiv există N de epsilon
Care este egal cu 1 dacă epsilon e mai mare sau egal decât 3
Și partea întreagă din 3 supra epsilon atunci când epsilon este între 0 și 3
Evident N de epsilon este număr natural nenul
Astfel încât modul din 2N minus 1 supra N plus 1 minus 2 este mai mic decât epsilon
Pentru orice N mai mare sau egal decât N de epsilon
Folosind criteriul de convergență cu epsilon
Rezultă că limita tendentii de la infinit din 2N minus 1 supra N plus 1 este egală cu 2
Deci acest exercițiu este rezolvat
În cele ce urmează voi verifica dând câteva valori concrete lui epsilon
Dacă formula lui N de epsilon pe care am obținut-o este corectă
Nu este necesar să faceți acest lucru când rezolvați exerciții de acest tip
Dar cred că o astfel de verificare este utilă pentru că
Pe de o parte înțelegeți mai bine ce înseamnă N de epsilon
Și pe de altă parte verificările sunt întotdeauna bine venite la matematică
Voi începe prin a scrie câțiva termeni ai șirului
Dacă N este egal cu 1 vom avea 2 ori 1 minus 1 supra 1 plus 1
Adică va fi 1 pe 2
Dacă N egal cu 2 obținem 3 pe 3 adică 1
Dacă N egal cu 3 obținem 5 supra 4
Dacă N egal cu 4 obținem 7 pe 5
Apoi următorii termeni vor fi 9 pe 6
11 supra 7
13 supra 8
Și așa mai departe
Să vedem câți termeni ai șirului AN se găsesc în vecinătate
Dacă epsilon este egal cu 3
Dacă epsilon este egal cu 3
Atunci vecinătatea va fi 2 minus 3
2 plus 3
Adică minus 1 5
Observăm că toți termenii șirului se găsesc în această vecinătate
Deci în această situație N de epsilon este egal cu 1
Vedem că pentru epsilon egal cu 3 și noi am obținut că N de epsilon trebuie să fie egal cu 1
Dacă epsilon este egal cu 4
Atunci vecinătatea va fi 2 minus 4
2 plus 4
Adică minus 2 6
Din nou toți termenii șirului se găsesc în această vecinătate
Înseamnă că N de epsilon este egal cu 1
Din nou suntem în situația epsilon mai mare sau egal cu 3
Prin calcul am obținut că N de epsilon trebuie să fie 1
Dacă epsilon este egal cu 1 pe 2
Atunci vecinătatea este 2 minus 1 pe 2
2 plus 1 pe 2
Adică 3 pe 2
5 pe 3
Observăm că din termenii șirului sunt în afara acestei vecinătăți
Termenul A1 care este 1 pe 2
A2 care este 1
A3 5 pe 4
A4 egal cu 7 pe 5
A5 egal cu 9 pe 6
Adică 3 supra 2
Înseamnă că în acest caz avem 5 termeni în afara vecinătății
Deci N de epsilon trebuie să fie egal cu 6
Să vedem dacă prin calcul am obține aceeași valoare
Suntem în situația epsilon între 0 și 3
Înseamnă că N de epsilon trebuie să fie egal cu
Partea întreagă din 3 supra epsilon
În cazul nostru, partea întreagă din 3 supra 1 pe 2
Care este partea întreagă
Din 3 supra 1 ori 2 supra 1
Adică partea întreagă din 6
Am obținut și în această situație același rezultat
Să rezolvăm acum exercițiul 2
Trebuie să arătăm, utilizând criteriul de existență a limitei unui șircu epsilon
Că limită când e întinde la plus infinit din N pătrat este egală cu plus infinit
Pentru că trebuie să arătăm că șirul N pătrat are limită infinită
Utilizăm criteriul cu epsilon pentru limită infinită
Adică dacă arătăm că pentru orice epsilon mai mare decât 0 există N de epsilon din N stelat
Astfel încât N pătrat este mai mare decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon
Atunci limită când e întinde la infinit din N pătrat va fi plus infinit
Fie epsilon mai mare decât 0
Trebuie să găsim un rang N de epsilon din N stelat
Începând de la care să avem N pătrat mai mare decât epsilon
Va trebui să-l punem în evidență pe acest N de epsilon
Îl vom determina pe N de epsilon rezolvând inequația în N
N pătrat mai mare decât epsilon
Notez această inequație cu stea
Inequația stea este echivalentă cu N pătrat minus epsilon mai mare decât 0
Aceasta este o inequație de gradul al doilea în N
Soluțiile echivației atășate sunt N1,2 egal cu plus minus radical din epsilon
Radicalul există pentru că epsilon este mai mare strict decât 0
Și atunci pentru a rezolva inequația facem semnului N pătrat minus epsilon
Între soluții avem semnul minus în afară semnul plus
Ținem cont de faptul că N trebuie să fie o număr natural nenul
Deci valorile negative ale lui N nu-i interesează
Soluția inequație este intervalul radical din epsilon plus infinit
Înseamnă că N trebuie să fie mai mare decât radical din epsilon
Deci N de epsilon trebuie să fie cel mai mic număr natural
Mai mare sau egal cu radical din epsilon
Și ținând cont de faptul că orice număr real se găsește între partea lui întreagă și partea lui întreagă plus 1
Rezultă că N de epsilon este egal cu partea întreagă din radical din epsilon plus 1
Am obținut că pentru orice epsilon pozitiv există N de epsilon egal cu partea întreagă din radical din epsilon plus 1
Care este număr natural nenul
Astfel încât N pătrat este mai mare decât epsilon pentru orice N mai mare sau egal cu N de epsilon
Pe baza criteriului cu epsilon pentru limită infinită
Rezultă că limită când entind de la infinit din N pătrat este egală cu plus infinit