Corpuri geometrice asemenea

În continuare să vedem ce înțelegem prin corpuri geometrice asemenea.

Cine se dă o piramidă, nu are importanță dacă ea este o piramidă patrulateră regulată sau o piramidă triangulară regulată,

știm că dacă într-o piramidă, dacă secționăm o piramidă cu un plan paralel cu baza, atunci secțiunea care se obține acest poligon este asemenea cu baza piramidei.

Mai mult, pentru că acest plan A' B' C' D', deci planul determinat de acest poligon, este paralel cu planul bazei, adică cu planul ABCD,

din această cauză rezultă că avem de fapt două piramide asemenea, și anume piramidea mică, aceasta este asemenea cu piramida dată inițial,

deci piramida V A' B' C' D' este asemenea cu piramida V A B C D.

De vreme ce vorbim de corpuri asemenea, înseamnă că putem să vorbim de segmente omoloage, suprafețe omoloage și de raport de asemănare.

Mai întâi, haideți să trecem pe figură elementele pe care le-am învățat la piramida patrulateră regulată, dar și la trunchiul de piramidă patrulateră regulată.

Iată, și avem aici piramida mică V A' B' C' D' și trunchiul de piramidă care este desenat aici.

Am notat cu O punctul de intersecție al diagonalelor bazei mari, O' este punctul de intersecție al diagonalelor bazei mici.

Ce mai avem? M este mijlocul segmentului B C, asta înseamnă că V M este apotema piramidei, în același timp M' este mijlocul segmentului B' C'

Deci V M' este apotema piramidei mici și M' M este apotema trunchiului de piramidă.

Mai avem că O M este apotema bazei mari a trunchiului, O' M' este apotema bazei mici a trunchiului de piramidă.

O B este raza cercului circumscris bazei mari, O' B' este raza cercului circumscris bazei mici.

Și mai avem că V O este înălțimea piramidei mari, V O' este înălțimea piramidei mici și O' O, acest segment perpendicular pe cele două baze, este evident înălțimea trunchiului de piramidă.

Bun, să vedem acum ce segmente omoloage avem, să dăm câteva exemple.

Și avem A' B' este un segment omolog cu AB, deci trecem aici cu AB.

Alte segmente omoloage, deci am avut A' B' cu AB, mai putem să trecem VB' cu VB, VB' acest segment cu VB, sau O' B' cu OB, evident noi dăm doar câteva exemple, sunt mult mai multe.

Mai avem O' M' cu OM, aici avem paranteză cu OM, sau VM' cu VM, și eu zic că le-am enumerat pe cele importante.

Evident mai avem și B' C' cu BC, C' D' cu CD și așa mai departe.

Să ne gândim acum la suprafețe omoloage.

Iată, ce suprafețe omoloage avem?

Păi avem pătratul A' B' C' D' pentru că aici vorbim de un pătrat, A' B' C' D' cu pătratul ABCD cu acest pătrat.

Alte suprafețe omoloage, triunghiul VA' B', deci acest triunghi, suprafața acestui triunghi, cu suprafața triunghiului VAB,

voi nota așa, triunghiul VA' B' cu triunghiul VAB, sau suprafața triunghiului VO' M', cel de aici, cu VOM, deci triunghiul VO' M' cu triunghiul VOM,

sau triunghiul, suprafața triunghiului VO' B', acesta, VO' B' cu cine? Cu triunghiul, suprafața triunghiului VOB.

Și așa mai departe.

Ce e important acum este raportul de asemănare.

Ca să găsim raportul de asemănare, haideți să vedem ce triunghiuri asemenea avem pe figură.

Și putem să începem cu triunghiurile VA' B' asemenea cu triunghiul VAB, pentru că A' B' e paralelă cu AB, deci avem așa, triunghiul VAB, pardon, sau VA' B' asemenea cu triunghiul VAB, mai întâi îl trecem pe acesta.

Și ce raport de asemănare vom obține? Păi chiar haideți să îl scriu aici.

A' B' supra AB, A' B' supra AB, pentru că ele sunt segmente omoloage, este egal cu VB' supra VB, deci VB' supra VB, egal evident mai departe și cu VA' supra VA,

dar momentan le scriem doar pe acestea două. Bun.

Dacă luăm alte triunghiuri asemenea, de exemplu să luăm triunghiul VO' B' cu triunghiul VOB, deci triunghiul VO' B' asemenea cu triunghiul VOB, ce vom obține?

Trecem aici. Păi rezultă că VO' supra VO, deci VO' supra VO, cu cât este egal? Cu OP' B' supra OB, OP' B' supra OB, egal mai departe cu VB' supra VB, VB' supra VB.

Însă ce observăm? Raportul VB' supra VB acesta se regăsește și aici, deci putem trece în continuare egal cu și cu aceste două rapoarte, adică VO' supra VO, egal mai departe cu OP' B' supra OB. Bun.

Și haide să șterg aici ca să nu fie foarte încărcată scrierea.

Alte triunghiuri asemenea, ce mai putem să alegem? Păi mai putem să alegem triunghiurile VO' M' acest triunghi cu triunghiul VOM. Bun, deci triunghiul VO' M' asemenea cu triunghiul VOM, pentru că și OP' M' este paralelă cu OM.

Și ce rapoarte vom avea? VO' supra VO este egal cu OP' M' supra OM și egal mai departe cu VM' supra VM, deci VM' supra VM.

Dar iată că din nou un raport de aici este egal cu un raport de aici, deci putem să trecem în continuare egalitate cu OP' M' deci cu aceste două rapoarte, avem OP' M' supra OM este egal și cu VM' supra VM.

Evident că putem să continuăm, pentru că avem în continuare egal cu B' C' supra BC, același lucru se întâmplă și cu această față VBC a piramidei, avem VB' C' asemenea cu triunghiul VBC, deci putem să scriem mai departe egal cu B' C' supra BC, egal cu C' D' supra DC și așa mai departe.

Tot ce obținem aici, de fapt oricare raport din acest șir de rapoarte egale reprezintă raportul de asemânare al corpurilor geometrice, deci putem să notăm egal cu K, unde K este raportul de asemânare.

În continuare să facem două observații foarte importante.

Prima observație ne spune că pentru o pereche de piramide asemenea, raportul ariilor a două suprafețe omoloage este egal cu pătratul raportului de asemânare.

Cu alte cuvinte, dacă avem de calculat raportul ariilor bazelor, notăm așa aria pătratului A' B' C' D' supra aria pătratului ABCD va fi egală cu pătratul raportului de asemânare.

Cu alte cuvinte, dacă avem de calculat raportul ariilor bazelor, notăm așa aria pătratului A' B' C' D' supra aria pătratului ABCD va fi egală cu pătratul raportului de asemânare.

Cu alte cuvinte, dacă avem de calculat raportul ariilor bazelor, notăm așa aria pătratului ABCD va fi egală cu pătratul raportului de asemânare.

Cu alte cuvinte, dacă avem de calculat raportul ariilor bazelor, notăm așa aria pătratului A' B' C' D' supra aria pătratului ABCD va fi egală cu pătratul raportului de asemânare.

Cu alte cuvinte, dacă avem de calculat raportul ariilor bazelor, notăm așa aria pătratului ABCD va fi egală cu pătratul raportului de asemânare.

A doua observație se referă la raportul volumelor. Astfel, raportul volumelor a două piramide asemene este egal cu cubul raportului de asemânare.

Deci, dacă facem raportul dintre volumul piramidei mici, deci volumul piramidei VA' B' C' D' supra volumul piramidei mari, adică VABCD, acest raport este egal cu cubul raportului de asemânare.

Adică este egal cu A'B'AB totul la treia sau putem să trecem că e egal cu raportul VO'VO totul la treia și așa mai departe.

Trecem raportul care ne ajută cel mai mult în rezolvarea problemei, pentru că aceste observații ne vor ajuta în rezolvarea unor probleme, deci e egal de fapt cu cubul raportului de asemânare.

Și acum să facem o aplicație foarte simplă și anume, într-o piramidă patrulateră regulată se consideră o secțiune A'B'C'D' paralelă cu baza.

Să determinăm lungimea munchei laterale a tetraedrului format dacă raportul volumelor piramidelor, asemenea se subînțelege, este egal cu 1 supra 27 și munchea laterală a piramidei este de 15 cm.

Deci știm că planul A'B'C'D' este paralel cu planul A'B'C'D' asta înseamnă că avem două piramide asemenea.

Și anume, V'A'B'C'D' această piramidă este asemenea cu piramida V'A'B'C'D'.

Să determinăm lungimea munchei laterale a tetraedrului format, deci vrem să determinăm lungimea segmentului B'B sau A' oricare dintre acestea patru, pentru că ele sunt congruente, știind că raportul volumelor piramidelor, asemenea, este egal cu 1 supra 27 și munchea laterală a piramidei, adică V'B'C'D' este de 15 cm.

Cu alte cuvinte, știm care este lungimea piramidei date inițial, deci V'B are 15 cm și mai cunoaștem că raportul volumelor piramidelor V'A'B'C'D' supra volumul piramidei V'A'B'C'D' este egal cu 1 supra 27.

Ce raport de asemănare vom trece, care este convenabil, de vreme ce noi trebuie să aflăm lungimea segmentului B'B și știm lungimea segmentului V'B.

Păi vom alege acest raport de asemănare V'B'C'VB, deci egal mai departe cu V'B'C'VB la ce putere? La a treia, pentru că vorbim de raportul volumelor.

Și știm că acest raport este egal cu 1 supra 27, adică 1 pe 3 totul la a treia.

Ce am obținut? Avem egalitate de două puteri care au același exponent, înseamnă că și bazele sunt egale.

Deci rezultă că avem așa, raportul V'B'C'VB este egal cu acest raport 1 supra 3.

Păi ce rezultă mai departe? Noi știm că V'B'C'VB este de 15 centimetri, deci rezultă că V'B'C'VB supra 15 ne dă 1 supra 3.

Păi asta înseamnă că V'B'C'VB cu cât este egal avem aici 15 pe 3, adică 5 centimetri.

Ce vrem noi să aflăm? Noi vrem lungimea segmentului B'B, dar B'B cu cât este egal? Cu VB-VB'

Deci avem lungimea segmentului VB minus lungimea segmentului VB' adică 15 minus 5 centimetri iată și obținem 10 centimetri, aceasta fiind lungimea muchei tetraedrului.

deci putem sa trecem așa că BB' aici trebuia sa scriem BB' iată este egal cu are lungimea egală cu 10 centimetri si s-a încheiat.

Tot ce am expus legat de segmente omoloage, de suprafețe omoloage precum si de rapoarte de asemânare pentru o piramidă patrulateră regulată, sa știți că se aplică și în cazul unei piramide triangulare regulate sau a unei piramide hexagonale regulate.