Binomul lui Newton

Prin binom înțelegem o sumă de doi termeni, iar formula lui Newton ne permite să calculăm suma a plus b la puterea n.

Voi cunoașteți deja formulele pentru a plus b la întâia, a plus b la a doua, a plus b la a treia și de asemenea se poate deduce foarte ușor formula pentru a plus b la a patra.

Așadar a plus b la a întâia este egal cu a plus b, evident, a plus b la a doua este egal cu a pătrat plus 2a b plus b pătrat,

a plus b la a treia este egal cu a la a treia plus 3a la a doua b plus 3a b la a doua plus b la a treia,

iar a plus b la a patra este egal cu a la a patra plus 4a la a treia b plus 6a la a doua b la a doua plus 4a b la a treia plus b la a patra.

În continuare ne propunem să intuim o formulă pentru a plus b la puterea n și pentru aceasta vom încerca să scriem acești termeni cu ajutorul combinărilor.

Termenul a la a patra nu-l conține pe b, iar acest termen se poate scrie și astfel,

combinări de 4 luate câte 0, a la a patra, b la 0.

Termenul 4 a la a treia b se poate scrie combinări de 4 luate câte 1,

deoarece 4 este egal cu combinări de 4 luate câte 1, a la a treia b la 1.

6 se poate scrie combinări de 4 luate câte 2, a la a doua b la a doua.

Următorul termen este 4a b la a treia.

Acest coeficient 4 se poate scrie combinări de 4 luate câte 3.

Am folosit aici formula combinărilor complementare.

Combinări de 4 luate câte 1 este egal cu combinări de 4 luate câte 3 și egal cu 4 în cazul acesta,

deoarece în combinări de n luate câte k este egal cu combinări de n luate câte n minus k.

Avem așadar combinări de 4 luate câte 3, a la a întâia, b la a treia.

Ultimul termen nu-l conține pe a.

Acesta se poate scrie combinări de 4 luate câte 4, care este egal cu 1,

a la puterea 0, b la puterea 4.

Observăm că indicii superiori ai combinărilor sunt în ordine crescătoare.

Avem combinări de 4 luate câte 0, combinări de 4 luate câte 1,

combinări de 4 luate câte 2, combinări de 4 luate câte 3 și combinări de 4 luate câte 4.

De asemenea, mai remarcăm faptul că exponenții lui a descresc de la 4 la 0,

iar exponenții lui b cresc de la 0 la 4.

În suma a plus b la a întâia avem 2 termeni, în suma a plus b la a doua avem 3 termeni,

a plus b la a treia conține 4 termeni, iar a plus b la a patra conține 5 termeni.

Putem astfel să deducem formula pentru cazul a plus b la puterea n.

Vom avea combinări de n luate câte 0, a la puterea n,

plus combinări de n luate câte 1, a la puterea n, minus 1, b.

Așa cum spuneam mai devreme, exponenții lui a descresc de la n spre 0,

iar exponenții lui b cresc de la 0 la n.

Urmează apoi combinări de n luate câte 2, a la n minus 2, b la a doua, plus puncte puncte.

Aici o să vedem imediat formula unui termen intermediar.

Acesta va fi termenul general.

Iar ultimii doi termeni sunt combinări de n luate câte n minus 1, a, or b la n minus 1,

plus combinări de n luate câte n, b la puterea n.

Acesta este binomul lui Newton, iar această formulă se poate demonstra prin inducție matematică.

Formula este valabilă pentru orice număr n.

Suma din dezvoltarea binomială conține n plus 1 termeni.

Acești coeficienți, combinări de n luate câte 0, combinări de n luate câte 1,

combinări de n luate câte 2 și așa mai departe,

poartă denumirea de coeficienți binomiali,

însă trebuie să facem distinția între coeficientul binomial al unui termen

și coeficientul numeric al termenului respectiv.

Primul termen, t indice 1,

așa cum se vede, este combinări de n luate câte 0,

a la puterea n, or b la puterea 0.

Acest termen nu-l conține pe b

și se poate scrie sub forma aceasta.

Al doilea termen, sau termenul de rang 2,

este combinări de n luate câte 1,

a la puterea n-1, b la puterea 1.

Al treilea termen, sau termenul de rang 3,

este combinări de n luate câte 2,

a la puterea n-2, b la puterea 2.

Ultimul termen va fi termenul de rang n plus 1,

pentru că avem n plus 1 termeni.

De la 0 și până la n avem n plus 1 termeni.

Va fi combinări de n luate câte n,

a la puterea 0, b la puterea n.

Acesta este ultimul termen din dezvoltarea binomială.

Să încercăm acum să găsim o formulă pentru termenul general.

Observăm că rangul termenului este cu o unitate mai mare

decât indicele superior al combinărilor.

Așadar, termenul de rang k plus 1

va fi combinări de n luate câte k,

urmează apoi a la puterea n minus k,

ori b la puterea k.

Aceasta este formula termenului general

și atribuind valorului k putem determina

toți termenii din dezvoltarea binomială.

Binomul lui Newton se poate scrie restrâns

cu ajutorul simbolului sigma.

Iată, a plus b la puterea n se poate scrie sumă

pentru că alunec valori de la 0 la n

din combinări de n luate câte k,

a la puterea n minus k, ori b la k.

De asemenea, folosind această formulă

putem determina și a minus b la n

înlocuind numărul b cu minus b

în formula lui Newton

și obținem sumă pentru că alunec valori

de la 0 la n din minus 1 la puterea k

din combinări de n luate câte k,

a la n minus k, ori b la k.

În continuare vom rezolva câteva exerciții.

Primul exercițiu să se determine termenul de rang 7

din dezvoltarea x la 2a plus 2 la puterea 30.

Pentru aceasta vom folosi formula termenului general

T indice k plus 1 este egal cu combinări de n luate câte k

a la n minus k, b la puterea k.

În cazul de față, a este egal cu x pătrat,

adică primul termen al sumei,

b este egal cu 2, al doilea termen al sumei,

n este egal cu 30

și având în vedere că se cere termenul de rang 7,

avem k plus 1 egal 7,

de unde obținem k egal cu 6.

Cu aceste date se poate aplica formula de mai sus.

Termenul de rang 7 este egal cu combinări de n luate câte k,

adică combinări de 30 luate câte 6,

x la a doua, acesta este a,

la puterea n minus k, la puterea 30 minus 6,

ori b la k, ori 2 la puterea 6.

Egal cu combinări de 30 luate câte 6,

x la puterea a doua, totul la puterea 24,

ori 2 la puterea 6.

Mai facem niște calcule și obținem combinări de 30 luate câte 6,

x la puterea 48, 2 la 6 este egal cu 64.

În continuare mai putem calcula și combinări de 30 luate câte 6.

Acesta este termenul de rang 7.

Următorul exercițiu.

Aflați termenul care nu-l conține pe x din dezvoltarea x la a doua plus 3 supra x la puterea 12.

Vom folosi din nou formula termenului general și vom pune condiția ca exponentul lui x să fie egal cu 0.

Așadar avem a egal cu x la pătrat,

b este 3 supra x,

n este egal cu 12.

Termenul de rang k plus 1 este egal cu combinări de 12 luate câte k,

ori x la a doua la puterea 12 minus k,

iar b este 3 supra x la puterea k.

Egal cu combinări de 12 luate câte k,

x la puterea 24 minus 2k,

ori 3 supra x se poate scrie 3,

ori 1 pe x totul la puterea k.

Obținem combinări de 12 luate câte k,

ori x la 24 minus 2k,

ori 3 la k,

ori 1 pe x la k se mai poate scrie x la puterea minus k.

Egal cu combinări de 12 luate câte k,

3 la puterea k,

x la puterea,

aici adunăm exponenții,

24 minus 2k minus k este 24 minus 3k.

Pentru ca acest termen să nu-l conțină pe x,

vom pune condiția ca exponentul lui x să fie egal cu 0.

Așadar avem 24 minus 3k egal cu 0.

Obținem 3k egal cu 24,

de unde k este egal cu 8.

Așadar termenul de rang 9 nu-l conține pe x.

Vă las pe voi să calculați acest termen.

Și ultimul exercițiu.

Aflați numărul termenilor rațional din dezvoltarea radical din 7 plus 2 la puterea 10.

Vom utiliza din nou formula termenului general.

T indice k plus 1.

Este egal cu combinări de 10 luate câte k,

ori radical din 7 la puterea 10 minus k,

ori 2 la puterea k.

Un termen este rațional dacă nu conține radical.

Pentru aceasta vom pune condiția ca exponentul numărului radical din 7 să fie par.

Dacă un radical este ridicat la o putere pară,

atunci se obține un număr fără radical.

Așadar termenul de rang k plus 1 este rațional

dacă 10 minus k este număr par.

Și de asemenea mai trebuie să ținem cont de faptul că numărul k trebuie să fie mai mic sau egal decât 10,

astfel încât să existe combinări de 10 luate câte k.

10 minus k este par dacă numărul k este par,

iar numerele pare mai mici sau egale cu 10 sunt 0, 2, 4, 6, 8 și 10.

În total avem 6 termeni raționali.