Unghiuri complementare şi suplementare

Unghiuri complementare și unghiuri suplementare

Avem următoarea definiție, două unghiuri se numesc complementare dacă suma măsurilor lor este de 90 de grade.

În această figură avem unghiul ABC cu măsura de 32 de grade și unghiul DEF cu măsura de 58 de grade.

Măsura unghiului ABC plus măsura unghiului DEF va fi de 90 de grade și atunci aceste două unghiuri se numesc unghiuri complementare.

Vom scrie că măsura unghiului ABC plus măsura unghiului DEF este egală cu 90 de grade.

Fiecare dintre cele două unghiuri se va numi complementul celul alt.

Adică unghiul ABC este complementul unghiului DEF și de asemenea unghiul DEF va fi complementul unghiului ABC.

În următoarea figură geometrică avem unghiurile MNO și ONP.

Observăm că acestea formează împreună unghiul MNP care este un unghi drept.

Vom spune că cele două unghiuri sunt unghiuri complementare.

În plus, observăm că acestea sunt și adiacente deoarece punctul N este vârful comun al celor două unghiuri și au de asemenea o latură comună.

Aceasta este semidreapta NO.

Așadar, măsura unghiului MNO plus măsura unghiului ONP este egală cu măsura unghiului MNP care este egală cu 90 de grade pentru că este un unghi drept.

Iar aceste două unghiuri, unghiul MNO și unghiul ONP, se numesc unghiuri adiacente complementare.

În continuare vom da definiția unghiurilor suplementare.

Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este de 180 de grade.

Unghiul ABC are măsura de 53 de grade, iar unghiul DEF are măsura de 127 de grade.

Suma măsurilor celor două unghiuri este de 180 de grade și vom spune că aceste două unghiuri sunt suplementare.

Măsura unghiului ABC plus măsura unghiului DEF este egală cu 180 de grade.

Fiecare dintre aceste unghiuri se va numi suplementul celuilalt.

Unghiul ABC se numește suplementul unghiului DEF și unghiul DEF este suplementul unghiului ABC.

În următoarea figură avem unghiurile MNO și ONP.

Acestea formează împreună unghiul MNP, care este un unghi alungit, având măsura de 180 de grade.

Cele două unghiuri vor fi unghiuri suplementare și mai mult ele sunt și adiacente, deoarece punctul N este vârful comun al celor două unghiuri

și aceste unghiuri mai au și o latură comună. Aceasta este semidreapta NO.

Măsura unghiului MNO plus măsura unghiului ONP este egală cu măsura unghiului MNP,

care este egală cu 180 de grade, pentru că unghiul MNP este un unghi alungit.

Și aceste două unghiuri MNO și unghiul ONP se numesc unghiuri adiacente suplementare.

Să vedem în continuare câteva proprietăți ale acestor unghiuri.

Două unghiuri care au același complement sunt congruente.

Să presupunem că avem trei unghiuri, unghiul A, unghiul B și unghiul C.

Se știe că unghiurile A și B sunt complementare, adică măsura unghiului B plus măsura unghiului A este de 90 de grade

și se mai știe că și unghiurile C și A sunt complementare, adică măsura unghiului C plus măsura unghiului A este de 90 de grade.

Așadar, unghiurile B și C au același complement, unghiul A.

Ne propunem să arătăm că unghiul B este congruent cu unghiul C.

O să scădem aceste două relații membru cu membru.

Notesc prima relație cu 1 și a doua relație cu 2.

Din relația 1 minus relația 2 obținem următoarea relație

Măsura unghiului B plus măsura unghiului A minus măsura unghiului C minus măsura unghiului A este egală cu 90 de grade minus 90 de grade.

Măsura unghiului A minus măsura unghiului A va fi 0, deci acest termen se va reduce.

Și rămâne măsura unghiului B minus măsura unghiului C egală cu 0 grade.

De aici vom deduce că măsura unghiului B va fi egală cu măsura unghiului C.

Cu alte cuvinte, unghiul B este congruent cu unghiul C.

Să dăm și un exemplu.

Avem unghiul AOB, care este un unghi drept, și unghiul DOC, care este de asemenea un unghi drept.

Măsura unghiului AOD plus măsura unghiului DOB este egală cu 90 de grade pentru că acestea formează împreună unghiul drept AOB.

Și atunci vom putea spune că unghiul DOB este complementul unghiului AOD.

Mai departe, măsura unghiului DOB plus măsura unghiului BOC este tot de 90 de grade pentru că acestea formează împreună unghiul drept DOC.

Și atunci unghiul DOB va fi complementul unghiului BOC.

Așadar, aceste două unghiuri, AOD și BOC, au același complement.

Acesta este unghiul DOB.

Și având același complement, ele vor fi congruente conform aceste proprietăți pe care tocmai am demonstrat-o.

Putem să scriem că unghiul AOD este congruent cu unghiul BOC.

Continuăm cu alte proprietăți.

În mod similar se poate demonstra că două unghiuri care au același suplement sunt congruente.

Apoi o a treia proprietate.

Dacă două unghiuri sunt complementare și congruente, atunci fiecare va avea măsura de 45 de grade pentru că împărțim cele 90 de grade la 2 și obținem 45.

Următoarea proprietate.

Dacă două unghiuri sunt suplementare și congruente, atunci fiecare va avea măsura de 90 de grade pentru că împărțim 180 de grade la 2 și obținem 90 de grade.

Și ultima proprietate.

Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi drept.

Vom demonstra această proprietate.

Avem două unghiuri adiacente suplementare.

Acestea sunt unghiurile ABC și CBD.

Se știe că măsura unghiului ABC plus măsura unghiului CBD este de 180 de grade.

Trebuie să demonstrăm că bisectoarele acestor două unghiuri formează un unghi drept.

Dar trebuie să construim bisectoarele acestor unghiuri.

Am dus BF, bisectoarea unghiului CBD și BE, bisectoarea unghiului ABC.

Vom anunța construcția făcută.

Fie BF, bisectoarea unghiului CBD și BE, bisectoarea unghiului ABC.

Trebuie să demonstrăm că unghiul EBF este un unghi drept.

Mai exact trebuie să arătăm că măsura unghiului EBF este de 90 de grade.

Măsura unghiului EBF se compune din măsura unghiului EBC plus măsura unghiului CBF.

Pentru că punctul C este situat în interiorul unghiului EBF și putem să aplicăm axioma de adunare a unghiurilor.

Putem să scriem egal în continuare.

Măsura unghiului EBC va fi egală cu măsura unghiului ABC supra 2,

având în vedere că BE este bisectoarea unghiului ABC.

Aceasta împarte unghiul ABC în două unghiuri congruente.

Așadar, măsura unghiului EBC va fi egală cu măsura unghiului ABC supra 2.

Și având în vedere că BE este bisectoarea unghiului CBD, aceasta împarte unghiul CBD în două unghiuri congruente.

Și atunci măsura unghiului CBF este egală cu măsura unghiului CBD supra 2.

Și atunci măsura unghiului CBD supra 2.

Știm că atunci când trebuie să adunăm două fracții cu același numitor, adunăm numărătorii între ei.

Deci scriem măsura unghiului ABC plus măsura unghiului CBD totul supra 2.

Dar conform primei relații, măsura unghiului ABC plus măsura unghiului CBD este de 180 de grade.

Deci putem să scriem egal mai departe cu 180 de grade supra 2.

Care este egal mai departe cu 90 de grade.

Așadar am arătat că măsura unghiului EBF este egală cu 90 de grade.

Putem să mai scriem încă o dată acest lucru, măsura unghiului EBF este egală cu 90 de grade.

În continuare vom face câteva exerciții și probleme.

Primul exercițiu.

Calculați complementul unui unghi cu măsura de 73 de grade.

Unghiul de 73 de grade împreună cu complementul acestuia, pe care o să-l notez cu C,

formează un unghi cu măsura de 90 de grade.

Din această relație îl exprimăm pe C ca fiind diferența dintre 90 de grade și 73 de grade.

C va fi egal cu 17 grade.

Continuăm cu al doilea exercițiu.

Calculați suplementul unui unghi cu măsura de 124 de grade.

Unghiul cu măsura de 124 de grade împreună cu suplementul acestuia, pe care îl notez cu S,

formează împreună un unghi cu măsura de 180 de grade.

S va fi egal cu 180 de grade minus 124 de grade.

S va fi egal cu 56 de grade.

Și ultima problemă.

Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 2 supra 3.

Aflați măsurile acestora.

Voi nota măsurile celor două unghiuri cu X și Y.

Putem să scriem relația X plus Y egal cu 180,

pentru că unghiurile sunt suplementare,

și mai știm că raportul măsurilor este 2 supra 3,

adică X supra Y este egal cu 2 supra 3.

Din aceste două relații trebuie să aflăm necunoscutele X și Y.

A doua relație reprezintă o proporție

la care putem să aplicăm proprietatea fundamentală,

și anume produsul mezilor egal cu produsul extremilor.

Din această a doua relație va rezulta că 3X este egal cu 2Y,

de unde rezultă că X este egal cu 2Y supra 3.

Înlocuim această valoare alu X în prima relație.

Din aceste două relații va rezulta că 2Y supra 3 plus Y este egal cu 180 de grade.

Ca să adunăm aceste două fracții trebuie să le aducem la numitor comun.

Amplificăm a doua fracție cu 3

și obținem 2Y supra 3 plus 3Y supra 3 egal cu 180 de grade.

2Y plus 3Y este 5Y supra 3 egal cu 180 de grade.

Putem să aplicăm și aici produsul mezilor egal cu produsul extremilor.

Acest număr 180 are numitorul 1

și atunci va rezulta că 1X5Y, adică 5Y, egal cu 3X180.

5Y va fi egal cu 540.

Împărțim relația la 5 și obținem că Y este egal cu 540 împărțit la 5.

Y va fi egal cu 108 grade.

Am aflat unul din cele două unghiuri și acum să-l aflăm pe X.

Mai scriem odată prima relație X plus Y egal cu 180 de grade

și îl înlocuim pe Y cu valoarea obținută.

X plus 108 grade egal cu 180.

X va fi egal cu 180 minus 108.

X este egal cu 72 de grade.