Unghiul a două plane

În continuare să vedem ce înțelegem prin unghiul a două plane, dar și prin unghii diedru.

Unghiul diedru este figura geometrică în spațiu formată de două semiplane care au o dreaptă în comun.

Iată, avem aici un semiplan, aici un alt semiplan și cele două semiplane au dreapta D în comun.

Această dreaptă pe care ele o au în comun se numește muchea diedrului, iar cele două semiplane se numesc fețele diedrului.

Ce avem aici este un unghi diedru.

Cum determinăm măsura unui asemenea unghi?

Păi acest unghi se măsoară prin unghiul său plan.

Ce este acela unghi plan al diedrului?

Iată, unghiul plan al unui diedru este format de două semidrepte, fiecare inclusă într-un semiplan,

iar cele două semidrepte sunt perpendiculare pe muchea diedrului în același punct.

Deci ca să construim un unghi plan al acestui unghi diedru trebuie să ne alegem un punct pe dreapta, pe muchea diedrului

și vom construi o semidreaptă inclusă în acest semiplan,

iar această semidreaptă trebuie să fie perpendiculară pe dreapta de în acest punct O

și a doua semidreaptă este inclusă în acest semiplan tot așa perpendiculară pe dreapta de în punctul O.

Unghiul plan al diedrului este unghiul format de aceste două semidrepte,

deci vorbim de acest unghi.

Măsura unghiului diedru este dată de fapt de măsura acestui unghi.

Evident că putem să construim o infinitate de unghiuri plane pentru acest diedru,

pentru că ne putem alege un punct aici și tot așa vom duce câte o semidreaptă,

cum am construit și aici, însă unghiurile care se vor obține,

haideți totuși să construiesc,

acest unghi va fi congruent cu acest unghi.

Deci prin unghi plan al unui diedru înțelegem un asemenea unghi construit exact cum am făcut aici.

Ce înțelegem prin unghiul a două plane?

Și avem aici două plane, acest plan și acesta,

observăm că ele sunt plane secante și aceasta este dreapta comună.

Câte diedre determină două plane secante?

Determină patru diedre.

Iată, avem aici un semiplan și cu acest semiplan formează acest unghi diedru,

apoi acest semiplan cu semiplanul de jos formează al doilea unghi diedru,

la fel, acest semiplan cu acesta formează al treilea unghi diedru

și acest semiplan cu cel de sus formează al patrulea unghi diedru.

Păi să construim câte un unghi plan pentru fiecare din aceste diedre.

Și iată vom obține acest desen.

Și putem să reprezentăm mai clar unghiurile plane,

avem aici un unghi plan care este congruent cu acesta,

cel care se află dedesubt,

și mai avem acest unghi care e congruent cu cel de aici.

Deci practic avem două măsuri de unghiuri, această măsură și aceasta.

Cum procedam când discutam despre unghiurile formate de două drepte concurente?

Păi alegeam măsura, alegeam unghiul cu măsura cea mai mică,

absolut la fel procedăm și aici.

Deci măsura unghiului a două plane secante este cea mai mică dintre măsurile diedrelor formate de aceste plane.

Și pe desenul nostru se vede că putem să alegem măsura acestui unghi sau acest unghi, ele sunt congruente.

Iată, pentru că acest unghi are măsura mai mică decât acesta.

Deci ca să determinăm măsura unghiului făcut de două plane, tot așa ajungem la unghiul plan al unui unghi diedru.

Să facem acum o aplicație.

Pe planul triunghiului echilateral ABC, AB are 8 centimetri și se ridică perpendicular a DA de 12 centimetri.

Deci triunghiul ABC este triunghi echilateral, toate lungimile laturilor au 8 centimetri și perpendicular a DA are 12 centimetri.

Să determinăm măsura unghiului format de planele BAD, deci unim pe B cu D și CAD, unim acum pe D cu C.

Și chiar putem să hașurăm aceste două plane ca să fie mai ușor de identificat, vorbim de acest plan și de acest plan. Bun.

Să determinăm măsura unghiului format de aceste două plane.

Păi mai întâi să vedem care este dreapta comună celor două plane și e foarte ușor de identificat.

Iată, planul BAD intersectează planul CAD după ce dreaptă.

Păi se vede și din scriere și din desen după dreapta AD.

Bun.

Acum, trebuie să construim un unghi plan al acestui unghi format de cele două plane.

Cu alte cuvinte, pe dreapta AD trebuie ca în același punct să avem câte două semidrepte perpendiculare pe această dreaptă.

Evident, semidreptele să fie fiecare inclusă în unul din cele două plane.

Cum facem asta? Vă las puțin timp să vă gândiți.

Păi nici nu e nevoie să facem vreo construcție pentru că ele sunt deja construite.

Iată, noi știm că DA este perpendiculară pe planul ABC.

Dar AB și AC sunt incluse în planul ABC.

Asta înseamnă că DA este perpendiculară și pe AB.

Deci avem aici un unghi de 90 de grade și e perpendiculară și pe AC.

Voi face aici șa mai mare ca să se vadă și litera A.

Bun, haideți să notăm atunci.

Deci am obținut că, sau chiar să scriem complet, DA este perpendiculară pe planul ABC.

AB și AC sunt incluse în acest plan ABC.

Deci aici avem inclus.

Rezultă că dreapta DA este perpendiculară.

Deci DA perpendiculară și pe AB.

Și DA perpendiculară și pe AC.

Sau dacă vreți, ca să ne fie mai clar, putem să trecem invers.

Că AB e perpendiculară pe DA.

Chiar o să șterg.

Deci o să trec așa AB perpendiculară pe DA.

Și același lucru îl voi face și aici.

Deci AC perpendiculară pe DA.

AC perpendiculară pe DA.

Ce am obținut?

Aceasta este munchia comună a celor două plane.

AB perpendiculară pe AD.

AC perpendiculară tot pe AD.

Înseamnă că măsura unghiului,

voi scrie aici, măsura unghiului făcut de planele BAD și CAD cu cât este egală.

De fapt erau deja construite aceste semidrepte.

Egală cu măsura unghiului format de AB și AC.

Dreptele AB și AC.

Le putem considera fie drepte, fie semidrepte.

Cu alte cuvinte avem măsura unghiului BAC.

Păi câte grade are acest unghi?

Are 60 de grade pentru că triunghiul ABC este un triunghi echilateral.

Deci egal mai departe cu 60 de grade.

Și am determinat măsura unghiului făcut de aceste două plane.

Pentru sub punctul B să determinăm măsura unghiului format de planele ABC și BDC.

Cum determinăm măsura unghiului făcut de aceste două plane?

Tot așa pe munchia comună care este BC trebuie să construim în același punct două semidrepte perpendiculare pe BC.

Și atenție nu o construim la întâmplare.

Ați văzut că uneori ele sunt deja construite cum a fost la sub punctul amic.

Dar uneori e nevoie chiar să le construim.

Vă las tot așa puțin timp să vă gândiți.

Păi ce fel de triunghi este triunghiul ABC?

Este un triunghi echilateral.

Ce fel de triunghi este triunghiul BDC?

Haideți să vedem.

Avem aici triunghiurile BAD și CAD.

Știm deja că aceste două triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghice.

Avem aici un unghi de 90 de grade la fel și aici.

Și ce au aceste triunghiuri?

Îi au AD latura comună și AB este congruent cu AC.

Putem să le tăiem aici cu o liniuță.

Deci avem așa AD latura comună.

Voi prescurta așa.

AB este egal cu AC.

Pentru că triunghiul ABC este triunghi echilateral.

Cum avem două triunghiuri dreptunghice ce rezultă?

Din cazul cateta-cateta înseamnă că triunghiurile sunt congruente.

Deci triunghiul BAD este congruent cu triunghiul CAD.

Ce rezultă prin urmare de aici?

Că BD este congruent cu DC.

Deci segmentul BD, lungimea segmentului BD este egală cu lungimea segmentului DC.

Asta înseamnă că triunghiul BDC este un triunghi isoscel.

Deci notăm triunghiul BDC este isoscel.

Deja lucrurile sunt mult mai simple pentru că avem aici un triunghi isoscel.

Iar triunghiul ABC este un triunghi echilateral.

Cum construim cele două semidrepte perpendiculare pe latura BC?

Păi alegem punctul M, mișlocul segmentului BC.

Deci fie M astfel încât BM este egal cu MC.

Și avem așa, triunghiul ABC este un triunghi echilateral.

Deci triunghiul ABC este echilateral.

O să prescurtez așa.

BM este egal cu MC.

Și ce rezultă de aici?

Că AM este și înălțime în triunghiul BAC.

Iată, chiar o să trec aici.

Avem un unghi drept.

Deci rezultă că AM perpendiculară pe BC.

Absolut la fel.

Ce vom obține?

Păi de vreme ce avem un triunghi isoscel,

iar M este mijlocul laturii BC,

înseamnă că DM este și ea perpendiculară pe latura BC.

Deci venim și notăm triunghiul.

BDC este isoscel.

BM este egal cu MC.

MC înseamnă că DM este perpendiculară pe BC.

Și deja lucrurile sunt foarte simple,

pentru că avem latura comună BC

și pe această latură comună în punctul M

avem DM și AM perpendiculare pe BC.

Deci rezultă că,

haideți să scriu că cele două plane,

BDC și planul ABC,

se intersectează după dreapta BC.

Deci rezultă din toate aceste trei relații,

că măsura unghiului format de planele BDC și ABC

este egală, să vedem dacă avem spațiu suficient,

cu măsura unghiului format de dreptele DM și AM,

adică cu măsura acestui unghi.

Iată, care se vede aici, DMA.

Și acum nu ne rămâne decât să determinăm măsura acestui unghi DMA.

Ce fel de triunghi este triunghiul DAM?

Păi DA este perpendiculară pe planul ABC,

AM este inclusă în acest plan, înseamnă că DA este perpendiculară pe AM.

Nu voi mai face aici semn de perpendicularitate,

ca să nu încărcăm prea mult desenul.

Deci vom nota așa că DA,

deci DA perpendiculară pe AM,

înseamnă că avem triunghiul DAM,

un triunghi dreptunghic cu măsura unghiului DAM de 90 de grade.

Păi în acest triunghi dreptunghic,

nu uitați, noi vrem să determinăm măsura acestui unghi,

da, DMA.

Păi fiind aici un triunghi dreptunghic,

în acest unghi A,

atunci putem să aplicăm, de exemplu,

tangenta acestui unghi,

pentru că noi cunoaștem lungimea catetei DA,

este de 12 centimetri,

și putem să determinăm și lungimea acestei înălțimi AM,

ea este înălțime în triunghiul BAC.

Cu cât este ea egală?

Păi știm că latura triunghiului este de 8 centimetri,

deci, pentru că AM e perpendiculară pe BC,

uite aici relația 1,

din relația 1 rezultă că

înălțimea într-un triunghi echilateral este egală cu

acest raport,

avem lungimea

laturii, care la noi este 8 centimetri,

ori radical din 3

supra 2.

Deci vom avea așa, 8 radical din 3 pe 2,

adică 4 radical din 3.

Dacă nu mai țineți minte formula,

puteți să deduceți lungimea

înălțimii AM din triunghiul AMC.

Avem un triunghi dreptunghic, aici avem 4 centimetri,

aici 8 centimetri, aplicăm Pitagora și determinăm că AM

are într-adevăr 4 radical din 3 centimetri.

Bun, și acum aplicăm tangenta în acest triunghi DAM.

Voi scrie aici,

tangenta unghiului DMA,

deci tangenta unghiului DMA,

este egală cu cateta opusă unghiului, adică DA,

supra cateta alăturată, adică AM.

Înlocuim și vom avea așa,

DA are 12 centimetri,

deci 12 supra AM4 radical din 3

și vom obține, de fapt, radical din 3.

Păi, tangenta cărui unghi este egală cu radical din 3?

Tangenta unui unghi măsura de 60 de grade,

deci rezultă că măsura unghiului DMA

are 60 de grade

și s-a încheiat pentru că, iată,

măsura acestui unghi DMA,

care este de 60 de grade,

reprezintă, de fapt, măsura unghiului făcut de cele două plane.