Unghiul a două drepte în spațiu

În această secvență vom învăța despre unghiul făcut de două drepte în spațiu și cred că presupuneți deja că avem două situații

și anume, prima situație în care dreptele sunt drepte coplanare și aici putem întâlni drepte concurente, cele două drepte au un singur punct în comun

și haideți să trecem că avem aici patru unghiuri, un unghi, al doilea unghi și aceste două unghiuri, acestea două sunt congruente, la fel și acestea două.

Prin urmare, avem doar două măsuri de unghiuri, o măsură și încă una și am spus că o vom alege pe cea mai mică.

Deci considerăm că măsura unghiului făcut de dreptele A și B este măsura unghiului, le-am notat aici O și aici vom trece 1, deci unghiul O, 1.

Bun, dacă dreptele sunt paralele, atunci e chiar foarte simplu, măsura unghiului făcut de două drepte paralele are 0 grade.

Situația interesantă este următoarea, când dreptele sunt necoplanare, iată, dreapta A este inclusă într-un plan, iar dreapta B este inclusă într-un alt plan.

Două drepte necoplanare nu formează concret un unghi, pentru că ele nu au niciun punct în comun, însă putem să stabilim înclinarea unei drepte față de cealaltă, chiar și în această situație.

Cum vom proceda? Printr-un punct al spațiului, de exemplu prin acest punct, vom construi câte o paralelă la fiecare din cele două drepte.

Deci prin punctul P ducem o paralelă la dreapta A și cel mai bine ar fi să o trasați folosindu-vă de o riglă, aceasta este A'

A' și A sunt drepte paralele și tot prin punctul P vom duce o paralelă la dreapta B'

Bun, să construim și această paralelă și notăm aici B'

Prin definiție considerăm că măsura unghiului făcut de dreptele A și B este măsura unghiului făcut de paralelele acestor drepte duse prin același punct al spațiului și avem aici A' și B'

Și avem prin urmare definiția, măsura unghiului a două drepte necoplanare este măsura unghiului format de paralelele acestora duse prin același punct al spațiului

Și să notăm că A este paralelă cu A' și B este paralelă cu B'

Credeți că are importanță unde în spațiul ne alegem punctul prin care ducem paralelele la cele două drepte?

Păi dacă alegem de exemplu un alt punct, să spunem că alegem aici punctul M și vrem să ducem prin acest punct paralele la dreapta A și la dreapta B

Ducem mai întâi paralelă la dreapta A

Bun, este aceasta și apoi construim o paralelă la dreapta B prin același punct M

Pardon, trebuie să o așezăm diferit

Și să le notăm, avem aici B secund și aici notăm că avem A secund

Măsura unghiului făcut de aceste două drepte este diferită de măsura unghiului făcut de aceste două drepte?

Adică măsura acestui unghi e diferită de măsura acestui unghi?

Nu, pentru că cele două unghiuri au laturile respectiv paralele

De vreme ce A secund este paralelă cu A și A este paralelă cu A prim înseamnă că A prim și A secund sunt drepte paralele

La fel B prim paralel cu B secund

Cu alte cuvinte, aceste două unghiuri, acesta și acesta sunt unghiuri congruente

Deci nu contează unde în spațiu ne alegem punctul prin care construim cele două drepte paralele cu dreptele necoplanare

În practică, în exerciții, vom proceda în felul următor

Ca să determinăm unghiul făcut de dreptele necoplanare A și B, vom considera pe una din cele două drepte un punct

Și să alegem aici punctul B

Prin acest punct vom construi o paralelă la cealaltă dreaptă, adică la dreapta A

Și să construim o paralelă la dreapta A și o vom nota A prim

Deci trecem aici A prim paralelă cu A

Atunci, conform definiți ei, ce rezultă?

Că măsura unghiului făcut de dreptele necoplanare A și B este egală cu măsura unghiului făcut de aceste drepte

A prim, care este paralelă cu A

Și nu mai avem aici o paralelă pentru dreapta B, ci avem chiar dreapta B

Deci măsura unghiului făcut de dreptele A prim și B

În continuare să facem și o aplicație

Și ni se dă cubul ABCD A prim B prim C prim D prim

Și vrem să determinăm măsura unghiului făcut de dreptele A B și B prim C prim

Deci avem dreapta A B, o trasăm și mai avem dreapta B prim C prim

E clar că aceste două drepte sunt drepte necoplanare

Deci, ca să determinăm unghiul făcut, măsura unghiului făcut de ele

Ne alegem un punct pe una din cele două drepte

Să ne alegem, de exemplu, un punct pe dreapta A B

Și cel mai bine ar fi să ne alegem un punct care deja este dat

Deci fie A, fie B

Apoi, prin punctul ales trebuie să ducem o paralelă la dreapta B prim C prim

Și paralela respectivă trebuie să intersecteze dreapta A B

Păi putem să ne alegem oricare din cele două puncte A și B

Însă, eu zic că e mai simplu să alegem punctul B

Pentru că, iată, e ușor de văzut că dreapta B prim C prim

Este paralelă cu dreapta B C

Și dreptele B C și A B se intersectează

Deci, haideți să notăm că B prim C prim

Este paralelă cu B C

Prin urmare, măsura unghiului făcut de dreptele necoplanare

A B și B prim C prim

Este egală cu măsura cărui unghi

Păi, avem unghiul făcut de dreptele A B și B C

În loc de dreapta B prim C prim, vom trece dreapta B C

Deci, avem, de fapt, ce unghi? Măsura unghiului A B C

Care câte grade are?

Păi, având aici un pătrat ABCD, înseamnă că avem 90 de grade

Deci, egal mai departe cu 90 de grade

Altă întrebare

Să determinăm acum măsura unghiului făcut de dreptele A D prim

Deci, A D prim

Voi șterge aici

Ca să ne fie mai ușor

Deci, avem așa A D prim

Și B C

Trecem aici B C

Și în această situație avem tot drepte necoplanare

Prin urmare, trebuie să ducem la una din cele două drepte

O dreaptă paralelă care să intersecteze cealaltă dreaptă

Și e ușor de văzut că dreapta B C este paralelă cu A D

Și dreapta A D intersectează dreapta A D prim

Cu alte cuvinte, unghiul pe care îl vom obține este acesta, acest unghi

Deci, haideți să notăm că B C este paralelă cu A D

B C paralelă cu A D

Prin urmare, măsura unghiului făcut de dreptele necoplanare A D prim și B C

Este egală cu măsura cărui unghi

Păi, ne rămâne A D prim

Și iată, dreapta B C a fost înlocuită cu dreapta A D

Deci, trecem aici A D prim și A D

Adică, unghiul de prim A D

Măsura unghiului de prim A D

Câte grade are acest unghi?

Păi, având aici un pătrat

A D prim este pătrat

A D prim este diagonal

În pătrat, A D este latruă

Deci, avem 45 de grade

Evident că aceasta nu era singura modalitate de determinare

A măsurii unghiului făcut de aceste două drepte necoplanare

Putem să considerăm, de exemplu

A prim D prim paralelă cu B C

Sau putem să construim B C prim paralelă cu

Chiar să o construiesc

B C prim, iată

Paralelă cu A D prim

Și atunci am fi avut acest unghi

Care are și el, evident, tot 45 de grade

Ultima întrebare

Să găsim măsura unghiului făcut de dreptele B C prim

B C prim

Deci această dreaptă

Și A prim D

Ia să vedem A prim D

Și aceste drepte sunt drepte necoplanare

Ce paralelă să construim

Iar paralela respectivă să intersecteze cealaltă dreaptă

Păi putem să considerăm, de exemplu

B prim C

Care este paralelă cu dreapta A prim D

Practic, aici am construit o paralelă

Prin punctul de intersectie

Al diagonalelor acestui pătrat

B C, C prim, B prim

Avem aici punctul O

Punctul de intersectie

Al acestor diagonale

Deci putem să notăm că

A prim D

Este paralelă cu

B prim C

Prin urmare

Măsura unghiului

Făcut de dreptele

B C prim

Și A prim D

Este egală cu

Măsura unghiului

Făcut de dreptele

B C prim

Și A prim D a fost înlocuită cu

B prim C

Adică e vorba de

Măsura acestui unghi Măsura

Unghiului

Avem B prim O B

Toate unghiurile sunt congruente

Pentru că diagonalele

B C prim și B prim C

Sunt perpendiculare

Deci putem să alegem oricare din cele patru unghiuri

B prim O B

De exemplu

Egal cu

90 de grade

Și

Să încheiem