Undele mecanice. Modelul undei plane.

În ceea de-a șasea lecție despre oscilații și unde mecanice,

vom discuta despre undele mecanice și proprietățile lor

și vom introduce modelul undei plan.

Undele mecanice sunt desîntâlnite în experiența noastră cotidiană.

Spre exemplu, în această imagine,

vedeți undele generate pe o suprafață de apă,

de o picătură de apă ce cade pe această suprafață.

În desenul schematic de sub imagine,

reprezentăm forma undelor cum este ea văzută

dacă privim razant cu apa,

deci de-a lungul suprafeției de apă.

Undele sunt generate de o perturbație ce apare în mediul.

Deci prima noțiune pe care o introducem este aceea de perturbație

a unui mediu care este deplasarea unui sistem

din poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe externe.

Exact cum face această picătură de apă

care deplasează suprafața apei într-un anumit punct

prin aplicarea unei forțe externe,

forța datorată căderii picăturii,

iar această perturbație produce o oscilație

care apoi se propagă sub formă de unde în mediu.

Haideți să introducem noțiunea de undă,

mecanică, pas cu pas.

Deci perturbația produce o oscilație

care prin interacția cu mediul înconjurător,

cu moleculele de apă în cazul acesta,

produce o serie de oscilații cuplate.

Deci avem o oscilație originală

în punctul în care s-a produs perturbația inițială

de către picătura de apă în cădere

și datorită interacțiunii moleculor de apă

între ele.

Această oscilație produsă la sursa,

la sursa undei,

se va transmite din aproape în aproape

sub formă de oscilații

ale moleculor de apă

în conjurătoare sursei

sau perturbației inițiale.

Deci avem o serie de oscilații cuplate

care se generează una dintr-alta.

În schema noastră

vom avea o serie de oscilatori verticali,

adică perpendiculari pe suprafața apei

care vor fi cuplați între ei.

Deci perturbația originală

se propagă prin mediul

din aproape în aproape

prin cuplarea acestor oscilatori.

Aceasta va duce la

deplasarea undei

sau mișcarea undei

și în concluzie,

onda mecanică este procesul de propagare

a unei perturbații

din aproape în aproape

cu viteză finită printr-un mediu.

Onda mecanică, din nou, este un proces.

Când spunem onda mecanică

ne referim la un proces

și anume procesul de propagare

a unei perturbații printr-un mediu

prin generarea unor oscilații cuplate

datorită interacțiunilor din mediul respectiv.

Și deci, într-un fel, onda mecanică

foarte simplist și schematic spus

este acest V

care simnifică deplasarea acestor oscilații

în spațiu și timp.

Onda, în consecință, este o formă

de transfer de energie oscilatorie

care are loc fără transfer de substanță.

Undele elastice apar în medii

în care interacția ce propagă oscilația

e de tip elastic.

Deci acești oscilatori

care intră rând pe rând în oscilație

sunt cuplați

pentru a putea avea această transmisie

a oscilației originale.

Felul în care ei sunt cuplați

depinde de tipul de interacție

dintre elementele mediului

în care se propagă onda.

Dacă această interacție este de tip elastic

atunci onda ce se propagă prin mediu

se numește onda elastică.

Avem multe tipuri de unde mecanice.

Această propagare pe o suprafață de apă

fiind un exemplu.

Un alt exemplu fiind o undă sonoră.

Deci ce vedeți în cea de-a doua imagine

este un difuzor.

În această zonă a imaginii avem un difuzor

care generează unde sonore.

Undele sonore sunt oscilații

cuplate ale molecului de aer.

Unda sonoră este o undă mecanică

produsă prin vibrația

diafragmei difuzorului nostru

care apoi se transmite

prin oscilațiile molecului de aer.

Să discutăm acum despre mărimile

caracteristice unei unde mecanice.

Avem două tipuri principale

de unde mecanice.

Primul tip se numește undă longitudinală

ea apare în cazul în care

oscilațiile mediului elastic au loc paralel

cu direcția de propagare a undei.

Spre exemplu comprimarea unui resort.

Deci în această schemă vedem un resort

și dacă imprimăm

dacă acționăm

cu o forță

care acționează un timp scurt

deci dacă lovim, spre exemplu, resortul

într-un capăt vom observa că generăm

o undă care se propagă prin resort.

Deci direcția de propagare a undei

este de-a lungul resortului.

De asemeni însă modul în care această undă oscilează

deci oscilatorii individuali de-a lungul undei

oscilează în paralel

cu sensul de propagare a undei.

Deci ei vor oscila așa, orizontal.

Acest tip de undă se numește undă locitudinală

în care oscilația individuală

este paralelă cu sensul de propagare al undei.

Evident, celălalt caz este unda transversală

în care oscilațiile mediului elastic

au loc perpendicular

pe direcția de propagare a undei

și un exemplu este cel care l-am văzut

undea pe suprafața apei.

Deci în acest caz

picătura a căzut într-un anumit punct

în mijlocul desenului nostru și apoi

undea s-a propagat

de-a lungul

suprafeției de apă, deci longitudinal

de-a lungul suprafeției de apă, dar oscilatorii individuali

oscilează perpendicular pe suprafața

apei. Deci acest tip de undă

se numește undă transversală.

Se numește lungime

de undă distanța parcursă

de o undă în timp de o perioadă.

Ca și comentariu, toate celelalte

mărimi caracteristice oscilațiilor

precum pulsația

oscilației, frecvența sau

perioada oscilației sunt mărimi

caracteristice și pentru o undă, pentru că în final

o undă este un set

de oscilații cuplate în propagarea lor.

Deci mărimile caracteristice

unei oscilații sunt caracteristice și pentru o undă.

În plus, mai introducem și această

mărime caracteristică suplimentară pentru

o undă și anume lungimea de undă, care este din nou

distanța parcursă de undă timp de o perioadă.

Viteza, în consecință, viteza de deplasare

a unei unde este

datorită acestei definiții egală cu

lungimea de undă împărțită la perioadă

sau, dacă vreți, lungimea de undă mulțită cu

frecvența nu.

Cele două tipuri de unde, longitudinală și

transversală, au formulele

lor pentru viteza de deplasare

a undei. Deci, în cazul unei unde

longitudinale, printr-un mediu elastic

cu modulul de

elasticitate E și densitatea

ρ, viteza

este radical din modulul de elasticitate

sau modulul Yang, despre care am

discutat în lecțiile despre

elasticitate din mecanică, împărțit

la densitatea mediului ρ.

În cazul undelor transversale prin solide,

bineînțeles, din nou, solide elastice,

viteza undelor transversale

este radical din

forța de tensiune în punctul

respectiv în care calculăm viteza, împărțită

la densitatea liniară, adică

densitatea pe unitate de lungime

a mediului.

Să trecem acum la modelul

undei plane.

Să introducem câteva noți unză

ce descriu forma unei unde

și apoi să definim

unda plană.

Se numește suprafață de undă,

suprafața ce conține toate punctele atinse

de o undă în același moment t.

Deci, pur și simplu, avem pentru o undă

o sursă

unde se produce perturbația inițială

care apoi se propagă prin

mediul înconjurător.

Bineînțeles că forma

acestei unde care se propagă poate să fie oarecare

în principiu, pentru că

mediul prin care se propagă reacționează

în diferite puncte în mod diferit

la unda ce se propagă prin el.

Pot apărea forțe rezistive care să încetinească unda

într-o anumită regiune, pot apărea

reflexii sau refracții care să

schimbe și ele forma undei.

Deci, unda care se propagă poate avea în general orice formă.

Și se numește suprafață de undă

forma undei la un moment dat t

socotit sau calculat sau măsurat

din momentul în care unda a fost produsă de perturbația

inițială.

În cazul particular în care mediul de propagare

este omogen, avem următoarele proprietăți

pe care le vom

explica folosind această

schemă. Ca și comentariu, de multe ori se folosește

sintagma omogen și isotrop

dar

cuvântul isotrop sau proprietatea de isotropie

este implicată în proprietatea

de omogeneitate. Adică un mediu

omogen înseamnă un mediu care are

aceleași proprietăți în toate punctele.

Indiferent de poziția în care ne aflăm în mediu

proprietățile, toate proprietățile

sunt identice.

Isotropia înseamnă

proprietăți independente de direcția

față de un punct. În particular, isotropia

înseamnă că plecând din punctul

unde a avut

loc perturbație originală, plecând de la sursa undei

în orice direcție

avem aceleași proprietăți.

Evident, dacă avem proprietatea

de mediu omogen, atunci avem

și proprietatea de isotropie.

Revenind, dacă un mediu este

omogen, avem următoarele proprietăți ale

undei ce se propagă prin el. În primul rând

pulsatia undei va fi uniformă.

Deci, în orice poziție

ne-am afla, omega

de x, y, z

este o constantă.

Are aceeași valoare

în orice poziție ne-am afla. Atunci rezultă

că faza undei, la un moment dat,

care este prin definiție omega t

plus fi zero, unde fi zero este faza

unde e la sursă, la producere, este uniformă.

Modalitatea prin care

faza nu ar fi uniformă ar fi dacă

omega ar avea o dependență de poziție.

Dar, dacă mediul este omogen,

nu avem o dependență de poziție și atunci

această fază, la un moment dat

t, deci pe o suprafață de undă

va avea aceeași valoare. Deci punctele

suprafaței de undă oscilează în fază.

Bineînțeles că

geometria

suprafaței de undă va fi

sferică, precum vedem în această imagine, pentru că

dacă mediul este omogen, atunci

viteza de propagare este uniformă.

Dar, distanța

la care se află unda, deci

forma unde e r de t

este, r la momentul t,

este, prin definiție, viteza ori timpul. Iar dacă viteza

nu depinde de poziții x, y și z

înseamnă că, la un moment dat t,

raza este o constantă, ceea ce

înseamnă că unda este

sferică sau o undă

în planul ecranului, cum o vedem noi aici, este circular.

Deci,

în concluzie, într-un mediu de propagare

omogen, o undă

va avea forma

sferică, suprafațele de undă

fiind sfere concentrice,

care cresc în rază pe măsură ce timpul

t de propagare crește

și toate punctele

de pe o suprafață de undă se află în fază,

adică phi de t, faza oscilației

oscilatorilor individual, este aceeași.

Deci, dacă considerăm doi oscilatori

de pe aceeași suprafață de undă,

ei vor avea același phi de t.

Se numește

front de undă, suprafața de undă

cea mai îndepărtată de sursa undei.

Deci, dacă vreți, suprafața de undă

ce conduce unda, care este în fața undei.

În cazul desenului nostru, frontul de undă

ar fi suprafața de undă în albastru,

cea mai îndepărtată de sursă.

Și, în consecință,

lungimea de undă λ, care va duc aminte,

este viteza mulțită cu perioada,

va fi distanța dintre două suprafețe

de undă ce corespund

aceluiași moment de oscilație,

spre exemplu, maximului de oscilație

sau minimului, sau zerourilor.

Să trecem la unda plană.

Modelul undei plane implică două concepte.

Primul concept este legat

de proprietățile mediului.

Mediul este elastic, asta înseamnă că

forțele ce propagă unda

cuplând oscilatorii sunt de tip elastic,

adică, alfel spus, oscilatorii

sunt armonici.

Mediul, de asemenea, este nedisipativ.

Nu avem pierderi de energie.

Amplitudinea oscilatorilor rămână constantă

în timp și omogenă

care implică

ceea ce am discutat mai sus.

Cel de-al doilea concept de bază al undei plane

se referă la geometria undei plane

și este următorul.

Bineînțeles, acela că unda este plană.

Această geometrie planară a undei

apare după un timp îndelungat

deci când timpul, acest timp de propagare,

tinde către infinit, deci un timp îndelungat,

curbura suprafeței devine neglijabilă,

curbura fiind definită ca inversul razei

în punctul respectiv și atunci

unda devine plană. Ca să explicăm vizual acest lucru,

bineînțeles, unda ce se propagă

imediat după producerea ei la sursă

este sferică, după cum am discutat.

Totuși, dacă luăm un segment de cerc

sau un segment de sferă,

vedem că pe măsură

ce ne îndepărtăm de sursă,

acest segment devine

din ce în ce mai

drept.

Deci, considerăm un segment

de aproximativ aceiași lungime

și vedem că aproape de sursă el este curbat,

dar curbura lui, pe măsură ce raza crește,

scade, devenind

la distanțe mari sau la raze mari

devenind un segment drept.

Deci, când ne aflăm la distanțe mari

de sursă, putem aproxima

o bucată

din suprafața de undă

destul de mare,

când o dreaptă sau în trei dimensiuni