Transcript: Undele mecanice. Modelul undei plane.

În ceea de-a șasea lecție despre oscilații și unde mecanice,
vom discuta despre undele mecanice și proprietățile lor
și vom introduce modelul undei plan.
Undele mecanice sunt desîntâlnite în experiența noastră cotidiană.
Spre exemplu, în această imagine,
vedeți undele generate pe o suprafață de apă,
de o picătură de apă ce cade pe această suprafață.
În desenul schematic de sub imagine,
reprezentăm forma undelor cum este ea văzută
dacă privim razant cu apa,
deci de-a lungul suprafeției de apă.
Undele sunt generate de o perturbație ce apare în mediul.
Deci prima noțiune pe care o introducem este aceea de perturbație
a unui mediu care este deplasarea unui sistem
din poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe externe.
Exact cum face această picătură de apă
care deplasează suprafața apei într-un anumit punct
prin aplicarea unei forțe externe,
forța datorată căderii picăturii,
iar această perturbație produce o oscilație
care apoi se propagă sub formă de unde în mediu.
Haideți să introducem noțiunea de undă,
mecanică, pas cu pas.
Deci perturbația produce o oscilație
care prin interacția cu mediul înconjurător,
cu moleculele de apă în cazul acesta,
produce o serie de oscilații cuplate.
Deci avem o oscilație originală
în punctul în care s-a produs perturbația inițială
de către picătura de apă în cădere
și datorită interacțiunii moleculor de apă
între ele.
Această oscilație produsă la sursa,
la sursa undei,
se va transmite din aproape în aproape
sub formă de oscilații
ale moleculor de apă
în conjurătoare sursei
sau perturbației inițiale.
Deci avem o serie de oscilații cuplate
care se generează una dintr-alta.
În schema noastră
vom avea o serie de oscilatori verticali,
adică perpendiculari pe suprafața apei
care vor fi cuplați între ei.
Deci perturbația originală
se propagă prin mediul
din aproape în aproape
prin cuplarea acestor oscilatori.
Aceasta va duce la
deplasarea undei
sau mișcarea undei
și în concluzie,
onda mecanică este procesul de propagare
a unei perturbații
din aproape în aproape
cu viteză finită printr-un mediu.
Onda mecanică, din nou, este un proces.
Când spunem onda mecanică
ne referim la un proces
și anume procesul de propagare
a unei perturbații printr-un mediu
prin generarea unor oscilații cuplate
datorită interacțiunilor din mediul respectiv.
Și deci, într-un fel, onda mecanică
foarte simplist și schematic spus
este acest V
care simnifică deplasarea acestor oscilații
în spațiu și timp.
Onda, în consecință, este o formă
de transfer de energie oscilatorie
care are loc fără transfer de substanță.
Undele elastice apar în medii
în care interacția ce propagă oscilația
e de tip elastic.
Deci acești oscilatori
care intră rând pe rând în oscilație
sunt cuplați
pentru a putea avea această transmisie
a oscilației originale.
Felul în care ei sunt cuplați
depinde de tipul de interacție
dintre elementele mediului
în care se propagă onda.
Dacă această interacție este de tip elastic
atunci onda ce se propagă prin mediu
se numește onda elastică.
Avem multe tipuri de unde mecanice.
Această propagare pe o suprafață de apă
fiind un exemplu.
Un alt exemplu fiind o undă sonoră.
Deci ce vedeți în cea de-a doua imagine
este un difuzor.
În această zonă a imaginii avem un difuzor
care generează unde sonore.
Undele sonore sunt oscilații
cuplate ale molecului de aer.
Unda sonoră este o undă mecanică
produsă prin vibrația
diafragmei difuzorului nostru
care apoi se transmite
prin oscilațiile molecului de aer.
Să discutăm acum despre mărimile
caracteristice unei unde mecanice.
Avem două tipuri principale
de unde mecanice.
Primul tip se numește undă longitudinală
ea apare în cazul în care
oscilațiile mediului elastic au loc paralel
cu direcția de propagare a undei.
Spre exemplu comprimarea unui resort.
Deci în această schemă vedem un resort
și dacă imprimăm
dacă acționăm
cu o forță
care acționează un timp scurt
deci dacă lovim, spre exemplu, resortul
într-un capăt vom observa că generăm
o undă care se propagă prin resort.
Deci direcția de propagare a undei
este de-a lungul resortului.
De asemeni însă modul în care această undă oscilează
deci oscilatorii individuali de-a lungul undei
oscilează în paralel
cu sensul de propagare a undei.
Deci ei vor oscila așa, orizontal.
Acest tip de undă se numește undă locitudinală
în care oscilația individuală
este paralelă cu sensul de propagare al undei.
Evident, celălalt caz este unda transversală
în care oscilațiile mediului elastic
au loc perpendicular
pe direcția de propagare a undei
și un exemplu este cel care l-am văzut
undea pe suprafața apei.
Deci în acest caz
picătura a căzut într-un anumit punct
în mijlocul desenului nostru și apoi
undea s-a propagat
de-a lungul
suprafeției de apă, deci longitudinal
de-a lungul suprafeției de apă, dar oscilatorii individuali
oscilează perpendicular pe suprafața
apei. Deci acest tip de undă
se numește undă transversală.
Se numește lungime
de undă distanța parcursă
de o undă în timp de o perioadă.
Ca și comentariu, toate celelalte
mărimi caracteristice oscilațiilor
precum pulsația
oscilației, frecvența sau
perioada oscilației sunt mărimi
caracteristice și pentru o undă, pentru că în final
o undă este un set
de oscilații cuplate în propagarea lor.
Deci mărimile caracteristice
unei oscilații sunt caracteristice și pentru o undă.
În plus, mai introducem și această
mărime caracteristică suplimentară pentru
o undă și anume lungimea de undă, care este din nou
distanța parcursă de undă timp de o perioadă.
Viteza, în consecință, viteza de deplasare
a unei unde este
datorită acestei definiții egală cu
lungimea de undă împărțită la perioadă
sau, dacă vreți, lungimea de undă mulțită cu
frecvența nu.
Cele două tipuri de unde, longitudinală și
transversală, au formulele
lor pentru viteza de deplasare
a undei. Deci, în cazul unei unde
longitudinale, printr-un mediu elastic
cu modulul de
elasticitate E și densitatea
ρ, viteza
este radical din modulul de elasticitate
sau modulul Yang, despre care am
discutat în lecțiile despre
elasticitate din mecanică, împărțit
la densitatea mediului ρ.
În cazul undelor transversale prin solide,
bineînțeles, din nou, solide elastice,
viteza undelor transversale
este radical din
forța de tensiune în punctul
respectiv în care calculăm viteza, împărțită
la densitatea liniară, adică
densitatea pe unitate de lungime
a mediului.
Să trecem acum la modelul
undei plane.
Să introducem câteva noți unză
ce descriu forma unei unde
și apoi să definim
unda plană.
Se numește suprafață de undă,
suprafața ce conține toate punctele atinse
de o undă în același moment t.
Deci, pur și simplu, avem pentru o undă
o sursă
unde se produce perturbația inițială
care apoi se propagă prin
mediul înconjurător.
Bineînțeles că forma
acestei unde care se propagă poate să fie oarecare
în principiu, pentru că
mediul prin care se propagă reacționează
în diferite puncte în mod diferit
la unda ce se propagă prin el.
Pot apărea forțe rezistive care să încetinească unda
într-o anumită regiune, pot apărea
reflexii sau refracții care să
schimbe și ele forma undei.
Deci, unda care se propagă poate avea în general orice formă.
Și se numește suprafață de undă
forma undei la un moment dat t
socotit sau calculat sau măsurat
din momentul în care unda a fost produsă de perturbația
inițială.
În cazul particular în care mediul de propagare
este omogen, avem următoarele proprietăți
pe care le vom
explica folosind această
schemă. Ca și comentariu, de multe ori se folosește
sintagma omogen și isotrop
dar
cuvântul isotrop sau proprietatea de isotropie
este implicată în proprietatea
de omogeneitate. Adică un mediu
omogen înseamnă un mediu care are
aceleași proprietăți în toate punctele.
Indiferent de poziția în care ne aflăm în mediu
proprietățile, toate proprietățile
sunt identice.
Isotropia înseamnă
proprietăți independente de direcția
față de un punct. În particular, isotropia
înseamnă că plecând din punctul
unde a avut
loc perturbație originală, plecând de la sursa undei
în orice direcție
avem aceleași proprietăți.
Evident, dacă avem proprietatea
de mediu omogen, atunci avem
și proprietatea de isotropie.
Revenind, dacă un mediu este
omogen, avem următoarele proprietăți ale
undei ce se propagă prin el. În primul rând
pulsatia undei va fi uniformă.
Deci, în orice poziție
ne-am afla, omega
de x, y, z
este o constantă.
Are aceeași valoare
în orice poziție ne-am afla. Atunci rezultă
că faza undei, la un moment dat,
care este prin definiție omega t
plus fi zero, unde fi zero este faza
unde e la sursă, la producere, este uniformă.
Modalitatea prin care
faza nu ar fi uniformă ar fi dacă
omega ar avea o dependență de poziție.
Dar, dacă mediul este omogen,
nu avem o dependență de poziție și atunci
această fază, la un moment dat
t, deci pe o suprafață de undă
va avea aceeași valoare. Deci punctele
suprafaței de undă oscilează în fază.
Bineînțeles că
geometria
suprafaței de undă va fi
sferică, precum vedem în această imagine, pentru că
dacă mediul este omogen, atunci
viteza de propagare este uniformă.
Dar, distanța
la care se află unda, deci
forma unde e r de t
este, r la momentul t,
este, prin definiție, viteza ori timpul. Iar dacă viteza
nu depinde de poziții x, y și z
înseamnă că, la un moment dat t,
raza este o constantă, ceea ce
înseamnă că unda este
sferică sau o undă
în planul ecranului, cum o vedem noi aici, este circular.
Deci,
în concluzie, într-un mediu de propagare
omogen, o undă
va avea forma
sferică, suprafațele de undă
fiind sfere concentrice,
care cresc în rază pe măsură ce timpul
t de propagare crește
și toate punctele
de pe o suprafață de undă se află în fază,
adică phi de t, faza oscilației
oscilatorilor individual, este aceeași.
Deci, dacă considerăm doi oscilatori
de pe aceeași suprafață de undă,
ei vor avea același phi de t.
Se numește
front de undă, suprafața de undă
cea mai îndepărtată de sursa undei.
Deci, dacă vreți, suprafața de undă
ce conduce unda, care este în fața undei.
În cazul desenului nostru, frontul de undă
ar fi suprafața de undă în albastru,
cea mai îndepărtată de sursă.
Și, în consecință,
lungimea de undă λ, care va duc aminte,
este viteza mulțită cu perioada,
va fi distanța dintre două suprafețe
de undă ce corespund
aceluiași moment de oscilație,
spre exemplu, maximului de oscilație
sau minimului, sau zerourilor.
Să trecem la unda plană.
Modelul undei plane implică două concepte.
Primul concept este legat
de proprietățile mediului.
Mediul este elastic, asta înseamnă că
forțele ce propagă unda
cuplând oscilatorii sunt de tip elastic,
adică, alfel spus, oscilatorii
sunt armonici.
Mediul, de asemenea, este nedisipativ.
Nu avem pierderi de energie.
Amplitudinea oscilatorilor rămână constantă
în timp și omogenă
care implică
ceea ce am discutat mai sus.
Cel de-al doilea concept de bază al undei plane
se referă la geometria undei plane
și este următorul.
Bineînțeles, acela că unda este plană.
Această geometrie planară a undei
apare după un timp îndelungat
deci când timpul, acest timp de propagare,
tinde către infinit, deci un timp îndelungat,
curbura suprafeței devine neglijabilă,
curbura fiind definită ca inversul razei
în punctul respectiv și atunci
unda devine plană. Ca să explicăm vizual acest lucru,
bineînțeles, unda ce se propagă
imediat după producerea ei la sursă
este sferică, după cum am discutat.
Totuși, dacă luăm un segment de cerc
sau un segment de sferă,
vedem că pe măsură
ce ne îndepărtăm de sursă,
acest segment devine
din ce în ce mai
drept.
Deci, considerăm un segment
de aproximativ aceiași lungime
și vedem că aproape de sursă el este curbat,
dar curbura lui, pe măsură ce raza crește,
scade, devenind
la distanțe mari sau la raze mari
devenind un segment drept.
Deci, când ne aflăm la distanțe mari
de sursă, putem aproxima
o bucată
din suprafața de undă
destul de mare,
când o dreaptă sau în trei dimensiuni