Triunghiul echilateral- aplicații

Prima problemă, fie ABC un triunghi echilateral, iar M un punct situat pe latura AB, astfel încât CM perpendicular pe AB.

Știind că AM este egal cu 4 centimetri, calculați perimetrul triunghiului ABC.

Scriem ipoteza și concluzia.

Se știe așadar că AM este 4 centimetri, iar CM este înălțime în triunghiul echilateral ABC.

Înălțimea dusă într-un triunghi echilateral este și mediană, cu alte cuvinte punctul M este mijlocul laturii AB.

Și atunci putem să deducem că segmentul MB va avea lungimea egală cu 4 centimetri.

Dacă triunghiul ABC este echilateral, iar CM este înălțime, din ipoteză, atunci va rezulta că CM este și mediană.

Adică AM va avea aceeași lungime cu segmentul MB și egal cu 4 centimetri.

Putem să aflăm acum lungimea laturii AB.

AB este egal cu 4 plus 4 și egal cu 8 centimetri.

Iar pentru a afla perimetrul acestui triunghi, va trebui să însumăm lungimile laturilor.

Știm că toate laturile au aceeași lungime.

AB este egal cu BC și egal cu CA, egal cu 8 centimetri.

Perimetrul triunghiului ABC va fi egal cu 3 ori lungimea unei laturi, de exemplu 3 ori AB, egal cu 3 ori 8 și egal cu 24 centimetri.

Și a doua problemă.

Fie ABC un triunghi echilateral.

Calculați măsura unghiului dintre bisectoarea unghiului A și înălțimea dusă din vârful C.

Iar la punctul B, fie M un punct situat pe latura BC, astfel încât C să fie situat în interiorul segmentului BM, iar BC să fie congrent cu CM.

Calculați măsurile unghiulor triunghiului ABM.

Scriem ipoteza și concluzia.

Am construit AE bisectoarea unghiului A. Aceasta împarte unghiul A în două unghiuri congruente, astfel unghiul BAE va fi congruent cu unghiul CAE.

Și am dus înălțimea CD. CD este perpendiculară pe AB.

Observăm că aceste două drepte AE și CD formează un unghi obtuz AOC și un unghi ascuțit AOD.

O să calculăm mai întâi măsura unghiului obtuz AOC.

După ce determinăm măsura acestui unghi, o să putem foarte simplu să calculăm și măsura unghiului ascuțit AOD.

Începem astfel cu punctul A.

Știm că într-un triunghi echilateral toate unghiurile au măsura de 60 de grade.

Astfel, măsura unghiului A va fi egală cu 60 de grade.

Dacă AE este bisectoare, aceasta împarte unghiul în două unghiuri congruente.

Cu alte cuvinte, măsura unghiului EAC va fi egală cu 30 de grade.

Dacă triunghiul ABC este echilateral, înseamnă că măsura unghiului A va fi egală cu 60 de grade.

Iar dacă AE este bisectoare, va rezulta că măsura unghiului EAC va fi egală cu 30 de grade, adică jumătate din măsura unghiului A.

Noi știm că CD este înălțime, dar într-un triunghi echilateral înălțimea coincide cu mediana și cu bisectoarea.

Astfel, CD va fi și bisectoarea unghiului C.

Unghiul C are de asemenea măsura egală cu 60 de grade și atunci va rezulta că măsura unghiului ACD va fi egală cu 30 de grade.

Dacă triunghiul ABC este echilateral, iar CD este înălțime, rezulta că CD este și bisectoarea unghiului C.

Astfel, măsura unghiului ACD va fi egală cu 30 de grade, adică jumătate din măsura unghiului C.

Acum ne uităm în triunghiul AOC.

Noi știm că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 de grade.

Pentru a calcula măsura unghiului AOC, din cele 180 de grade, o să scădem măsurile unghiurilor ascuțite pe care deja le-am determinat.

În triunghiul AOC, măsura unghiului AOC este egală cu 180 de grade minus măsura unghiului OAC minus măsura unghiului OCA.

Și egal cu 180 de grade minus 30 de grade minus 30 de grade, adică 120 de grade.

Am aflat măsura unghiului OPTUZ format de bisectoare și înălțime.

Dacă dorim să calculăm și măsura unghiului ascuțit AOD, o să scădem din 180 de grade măsura unghiului OPTUZ.

Observăm că unghiurile AOD și AOC sunt adiacente suplementare. Acestea formează împreună unghiul alungit DOC.

Și atunci, ca să aflăm măsura unghiului AOD, din 180 de grade scădem 120 de grade și obținem 60.

Acum să trecem la punctul B.

Fie M un punct situat pe dreapta BC, astfel încât C să fie situat în interiorul segmentului BM, iar BC să fie congruent cu CM.

Va trebui astfel să prelungim latura BC cu un alt segment CM congruent cu BC.

Se cere să calculăm măsurile unghiulilor triunghiului ABM, adică măsura unghiului BAM, măsura unghiului ABM și măsura unghiului AMB.

Mai întâi o să scriem măsura unghiului ABM.

Cunoaștem deja această măsură, ea este egală cu 60 de grade pentru că triunghiul ABC este echilateral și astfel unghiul B are măsura egală cu 60 de grade.

O să șterg rezolvarea de la punctul A ca să am spațiu pentru punctul B.

După cum spuneam, măsura unghiului ABM este egală cu 60 de grade pentru că triunghiul ABC este echilateral.

Vom calcula mai întâi măsura unghiului ACM.

Să vedem cum putem să calculăm măsura acestui unghi.

Știm că măsura unghiului ACB este egală cu 60 de grade și atunci acest unghi ACM, fiind adiacent și suplementar cu unghiul ACB, el va avea măsura egală cu 120 de grade.

Să scriem lucrul acesta.

Măsura unghiului ACM va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului ACB, egal cu 180 de grade minus 60 de grade și egal cu 120 de grade.

Astfel acest unghi va avea măsura egală cu 120 de grade.

Noi știm că BC este congruent cu CM, dar BC este congruent și cu AC pentru că toate laturile unui triunghi echilateral sunt congruente.

Înseamnă că AC va fi la rândul ei congruentă cu CM.

Astfel aceste două segmente sunt congruente.

Înseamnă că triunghiul ACM este un triunghi isoscel.

Dacă într-un triunghi isoscel cunoaștem măsura unui unghi, putem calcula destul de simplu și măsurile celorlalte două unghiuri.

Dacă BC este egal cu CM din ipoteză, iar BC este egal cu AC pentru că triunghiul ABC este echilateral, va rezulta că AC este egal cu CM.

Înseamnă că triunghiul ACM este isoscel.

În acest triunghi am calculat deja măsura unghiului ACM, aceasta este 120 de grade.

Pentru a calcula măsura unghiului M, respectiv măsura unghiului CAM, din 180 de grade scădem 120 de grade și împărțim rezultatul la 2 pentru că aceste două unghiuri ascuțite sunt congruente.

Astfel, măsura unghiului CAM va fi egală cu măsura unghiului CMA și egal cu 180 de grade minus 120 de grade, totul împărțit la 2.

Știm că un triunghi isoscel are unghiurile alăturate bazei congruente.

Egal cu 60 de grade împărțit la 2 și egal cu 30 de grade.

Am determinat măsura unghiului M și măsura unghiului CAM.

Astfel putem să scriem că măsura unghiului AMB va fi egală cu 30 de grade.

Am calculat astfel două unghiuri din triunghiul ABM.

Mai trebuie să calculăm măsura unghiului BAM.

Aceasta se obține adunând măsura unghiului BAC, care este egală cu 60 de grade, cu măsura unghiului CAM, care va fi egală cu 30 de grade.

Obținem astfel că unghiul A va avea măsura egală cu 90 de grade, deci triunghiul BAM este un triunghi dreptunghic.

Măsura unghiului BAM este egală cu măsura unghiului BAC plus măsura unghiului CAM, egal cu 60 de grade plus 30 de grade, egal cu 90 de grade.

Am calculat astfel și măsura unghiului BAM.