Teorema celor trei perpendiculare. Aplicații

În continuare vom rezolva două probleme în care vom aplica teorema celor trei perpendiculare.

Prima problemă se dă triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade, deci avem triunghiul ABC, unghiul A are 90 de grade,

AB are 6 centimetri, bun, AC are 8 centimetri, este trecut, pe planul ABC, pe acest plan se ridică perpendicularea MA, iat-o, de 6,4 centimetri.

Să aflăm distanțele de la M la laturile triunghiului ABC.

Atenție, nu trebuie să aflăm distanțele de la M la vârfurile triunghiului ABC, ci la laturile acestui triunghi.

Cum aflăm atunci distanța de la un punct la o dreaptă?

Păi trebuie să ducem o perpendiculară din acel punct pe dreaptă.

Deci dacă vrem să aflăm distanța mai întâi de la punctul M la AB, ce trebuie să facem?

Păi trebuie să ducem o perpendiculară din punctul M pe AB.

Cum construim acea perpendiculară sau care este acea perpendiculară dacă cumva ea e deja construită?

Păi perpendiculara deja este dată pentru că MA este perpendiculară pe acest plan.

Cum AB este inclusă în plan înseamnă că MA e perpendiculară pe AB.

Deci nu avem ce perpendiculară să construim, ea este deja dată.

Să notăm, MA este perpendiculară pe planul ABC.

AB este inclusă în acest plan ABC.

Rezultă că MA este perpendiculară pe AB.

Păi asta înseamnă, iată, că distanța de la M la AB, trecem aici, rezultă că această distanță este egală cu MA.

Aceasta e perpendiculară adusă din M pe AB.

Cât este MA? 6,4 centimetri.

Bun, să aflăm acum distanța de la M la latura AC.

Păi este tot MA pentru că MA e perpendiculară și pe AC.

Iată, trecem aici, AC este inclusă în planul ABC înseamnă că MA e perpendiculară pe AC.

Deci MA e perpendiculară și pe AC.

Rezultă că distanța de la M la AC este, deci de la M la AC este tot MA.

Adică 6,4 centimetri.

Bun, să determinăm acum distanța de la punctul M la latura BC.

Această distanță este dată de segmentul MB, cu alte cuvinte MB este perpendiculară pe BC.

Păi de vreme ce avem MA perpendiculară pe planul ABC, ca să obținem MB perpendiculară pe BC, ce trebuie să avem?

Trebuie ca AB să fie perpendiculară pe BC, adică acest unghi să aibă 90 de grade.

Însă acest lucru e imposibil pentru că triunghiul BAC este dreptunghic în A.

Deci unghiul B e clar un unghi ascuțit.

Asta înseamnă că MB nu e perpendiculară pe BC.

Deci nu aceasta este distanța de la M la latura BC.

Dar e posibil ca această distanță să fie MC?

Nu, avem aceeași explicație, acest unghi nu are 90 de grade înseamnă că MC nu e perpendiculară pe BC.

Atunci, din tot ce am discutat până acum, cum obținem perpendiculara din M pe latura BC?

Păi de vreme ce MA e perpendiculară pe plan, trebuie să construim o perpendiculară din A pe BC.

Și voi nota aici punctul de intersecție cu latura BC, trecem că este D.

Deci avem aici un unghi de 90 de grade.

Bun, atunci ce vom obține?

Iată, MA e perpendiculară pe planul ABC, AD este perpendiculară pe BC.

Deci MD, conform teoremei celor trei perpendiculare, este perpendiculară pe BC.

Și haide să notăm, avem așa, MA perpendiculară pe planul ABC, AD este perpendiculară pe BC.

Cele două drepte, AD și BC, sunt incluse în planul ABC.

Ce rezultă din teorema celor trei perpendiculare?

Că MD este perpendiculară pe BC.

Și chiar voi trece aici, iată, avem 90 de grade.

Păi asta înseamnă că distanța de la M la BC, care este?

Păi cum perpendiculara din M pe BC este MD, înseamnă că aceasta este și distanța, lungimea acestui segment MD e distanța de la M la BC.

Nu ne rămâne acum decât să-l determinăm pe MD.

Păi cum facem acest lucru?

Cum este triunghiul MAD?

Păi de vreme ce MA este perpendiculară pe planul ABC, AD este inclusă în acest plan.

Asta înseamnă că MA este perpendiculară pe AD.

Deci putem să trecem aici, că avem un unghi de 90 de grade.

Să notăm, MA perpendiculară pe planul ABC, AD este inclusă în acest plan ABC.

Păi asta înseamnă că MA este perpendiculară pe AD.

Cu alte cuvinte, triunghiul MAD este un triunghi dreptunghic.

Bun, și voi trece numărul 1 la această relație, pentru că o vom folosi mai târziu.

De ce spun că o folosim mai târziu?

Pentru că având aici un triunghi dreptunghic, înseamnă că pentru a determina lungimea lui MD, care este ipotenuză, avem nevoie de lungimile catetelor.

Știm cât este MA, 6,4 centimetri, mai avem nevoie de lungimea catetei AD.

Bun, ce este însă AD?

Păi AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic BAC.

Deci, în triunghiul BAC, cu măsura unghiului A de 90 de grade, avem că AD este perpendiculară pe BC.

Păi noi știm să determinăm lungimea acestei înălțimi, cu cât este ea egală?

Avem așa, produsul dintre lungimile catetelor AB ori AC, supra lungimea ipotenuzei, deci supra BC.

Știm cât este AB, știm cât este AC, nu cunoaștem însă lungimea ipotenuzei BC, însă o aflăm foarte ușor cu teorema lui Pitagora, sau dacă vreți, ne folosim de numerele pitagoreice.

Iată, 3, 4 și 5 sunt numere pitagoreice, ele reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic și dacă înmulțim cu orice număr natural acest triplet, de exemplu dacă înmulțim cu 2, deci ori 2, vom avea așa, 2 ori 3, 6, 2 ori 4, 8, 2 ori 5, 10.

Cu alte cuvinte, dacă într-un triunghi dreptunghic avem catetele cu lungimile de 6 și 8 centimetri, cum e în cazul nostru, înseamnă că ipotenuza are 10 centimetri.

Acest lucru reiese foarte ușor și din calcul, deci putem să scriem direct, BC are 10 centimetri, trecem aici, 10 centimetri și venim și completăm, egal cu linie de fracție, avem 6 ori 8 supra 10, 48 pe 10, deci vom obține după simplificare, 24 supra 5.

Bun, l-am determinat și pe AD, atunci în triunghiul MAD, deci rezultă din relația 1 că avem triunghiul MAD cu măsura unghiului A de 90 de grade, mă refer la unghiul MAD,

prin urmare, conform teoremei, să trecem tot TH lui Pitagora, ce rezultă?

Că MD la pătrat este egală cu MA la pătrat adunat cu AD la pătrat.

Și vom avea așa, MD la pătrat egal cu MA este 6.4 la a doua, adică 64 supra 10, dacă simplificăm prin 2, ne dă 8 supra 5, deci vom avea aici 8 supra 5, totul la pătrat,

haideți să trec linia de fracție, unde ar trebui 8 supra 5, totul la pătrat adunat cu AD la pătrat 24 supra 5 la pătrat.

Și aici putem să facem calculul, fie ridicăm pe 8 la a doua, 24 la a doua, facem suma și apoi trebuie să descompunem numărul pe care îl vom obține, pentru că trebuie să-l scoatem de sub radical,

sau putem să facem în felul următor, MD la pătrat este egală cu, dăm factor comun pe 8 supra 5 la pătrat, pentru că avem aici 24 este 8 ori 3, deci avem 8 supra 5, totul la pătrat înmulțit cu, ne rămâne aici 1 adunat cu 3 la a doua.

Și vom obține așa 9 cu 1 înseamnă 10, deci vom obține că MD, de fapt haideți să scriu alături, MD după ce scoatem de sub radical este egal cu 8 supra 5 înmulțit cu radical din 10, deci 8 radical din 10 supra 5.

Și să vedem ce am obținut, deci am găsit că MD are 8 radical din 10 supra 5 centimetri, iar MD este distanța de la M la latura BC.

Următoarea problemă, pe planul rombului ABCD cu măsura unghiului DAB de 120 de grade, deci ABCD este romb, măsura unghiului DAB este de 120 de grade și AB 18 centimetri, iată, se ridică perpendicularea PA de 12 centimetri.

Să determinăm distanța de la punctul P la BD, să unim atunci pe D cu B și vrem să găsim distanța de la punctul P la dreapta de B.

Păi oare această distanță e reprezentată de lungimea segmentului PD?

Păi ca să se întâmple acest lucru, de vreme ce PA e perpendiculară pe planul ABCD, ar trebui ca AD să fie cum?

Să fie perpendiculară pe DB, adică acest unghi să aibă 90 de grade, ceea ce e imposibil pentru că unghiul A are măsura de 120 de grade.

Asta înseamnă că PD nu este perpendiculară pe DB, deci PD nu este distanța de la punctul P la DB.

Absolut la fel se întâmplă și dacă luăm în calcul segmentul PB, neavând aici 90 de grade, PB nu e perpendiculară pe DB.

Atunci, ca să obținem o perpendiculară din P pe DB, ce trebuie să facem?

Păi trebuie să construim perpendiculara din A pe DB.

Cum o construim?

Păi dacă unim PA cu C, ce vom obține?

Păi avem diagonalele rombului AC și DB.

Cum sunt diagonalele?

Sunt perpendiculare.

Deci avem aici un unghi de 90 de grade și să notăm aici cu O acest punct.

Păi ce am obținut?

O să fac așa să nu mai fie desenul încărcat.

PA este perpendiculară pe planul ABCD.

AO este perpendiculară pe DB.

Conform teoremei celor trei perpendiculare, înseamnă că PO este perpendiculară pe DB.

Deci putem să trecem aici că avem un unghi drept.

Să notăm.

PA este perpendiculară pe planul ABCD.

AO este perpendiculară pe DB.

Iar aceste două drepte AO și DB sunt incluse în planul ABCD.

Deci rezultă din teorema celor trei perpendiculare că PO este perpendiculară pe DB.

Păi asta înseamnă că distanța de la punctul P la DB este dată de lungimea acestui segment PO.

Păi nu ne rămâne decât să aflăm care este această lungime.

Cum o determinăm?

Ce fel de triunghi este PAO?

Este un triunghi dreptunghic pentru că PA este perpendiculară pe planul ABCD.

AO este inclusă în plan.

Înseamnă că PA este perpendiculară și pe AO.

Deci avem aici un unghi de 90 de grade.

Haide să facem tot cu galben.

Avem 90 de grade.

Bun.

Asta înseamnă că avem nevoie de lungimile catetelor PA și AO ca să determinăm lungimea ipotenuzei PO.

PA știm cât este.

Iată.

Are 12 centimetri.

Ca să determinăm acum lungimea segmentului AO.

Cum facem acest lucru?

Păi haideți să determinăm mai întâi lungimea segmentului AC.

AC este diagonală între unghiul ABCD.

Iar măsura unghiului A este de 120 de grade.

Cum sunt diagonalele într-un romp?

Păi ele sunt și bisectoarele unghiurilor.

Deci putem să notăm că AC este bisectoarea.

De fapt o să notez chiar sus.

AC este bisectoarea, prescurtez astfel, unghiului DAB.

Păi asta înseamnă că măsura unghiului CAB cât este?

Păi avem 120 de grade împărțit la 2 adică 60 de grade.

Bun.

Deci măsura acestui unghi are 60 de grade.

AB și BC sunt congruente pentru că avem aici ABCD romp.

Păi ce am obținut?

Avem un triunghi soscel ABC cu un unghi care are măsura de 60 de grade.

Cu alte cuvinte, cum este triunghiul ABC?

Este echilateral.

Deci haide să notăm.

Trecem aici că măsura unghiului CAB este de 60 de grade.

AB este egal cu AC.

Prin urmare, triunghiul CBA sau ABC, să-i spunem ABC, este echilateral.

Și eu o să prescurtez așa că nu avem mult spațiu.

Rezultă că AC are lungimea de câți centimetri?

Păi AB are 18 centimetri, înseamnă că și AC are tot 18 centimetri.

Cu alte cuvinte, AO cu cât este egal?

Păi AO are lungimea jumătate din lungimea lui AC.

Deci notăm aici AC supra 2 adică 9 centimetri.

Bun și am determinat că AO are 9 centimetri.

O să scriu aici 9 centimetri.

PA știm că are 12 centimetri.

Ce mai știm?

Păi mai știm că PA e perpendicular pe AO.

Deci PA perpendicular pe AO.

Asta înseamnă că avem triunghiul PAO cu măsura unghiului A de 90 de grade.

Avem un triunghi dreptunghic.

Fie aplicăm teorema lui Pitagora, fie putem să folosim numerele pitagoreice.

Pornim tot de la 3, 4 și 5.

Acesta este un triplet pitagoreic, nu este singurul.

Dacă înmulțim de exemplu cu 3, fiecare număr în parte, avem 3 x 3, 9, 3 x 4, 12, 3 x 5, 15.

Cu alte cuvinte, dacă avem un triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor de 9, respectiv 12 centimetri,

cum avem aici 9 și 12, înseamnă că lungimea ipotenuzei este de 15 centimetri.

Deci venim și notăm, rezultă că PO are lungimea de 15 centimetri.

Deci, distanța de la punctul P la dreapta de B, de la P la DB, este de 15 centimetri.

Și s-a închiriat.