Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Triunghul dreptunghic este o noțiune foarte des întâlnită în geometrie și este important să știm să calculăm lungimile laturilor unui triungh dreptunghic

folosind funcții trigonometrice și teorema lui Pitagora.

O să încep cu o problemă mai simplă. Se dă un triungh dreptunghic ABC cu măsura unghiului A de 90 de grade.

Se știe că BC este egal cu 15 centimetri, iar cosinus de C este egal cu 3 supra 5.

Se cere să aflăm perimetrul triunghului ABC.

Pentru a afla perimetrul acestui triungh, trebuie să calculăm mai întâi lungimile laturilor acestuia.

Pornim de la această relație dată, cosinus de C egal cu 3 supra 5.

Cosinus este raportul dintre cateta alăturată unghiului C și ipotenuză.

Deci raportul dintre AC și BC va fi egal cu 3 supra 5.

Va rezulta din această relație că AC supra BC este egal cu 3 supra 5.

Însă BC este egal cu 15.

Și înlocuind în relația de mai sus, obținem astfel că AC supra 15 este egal cu 3 supra 5.

Din această relație exprimăm necunoscuta AC.

AC va fi egal cu 3 ori 15 supra 5.

Se simplifică 15 cu 5 și va rezulta că AC este egal cu 3 ori 3, adică 9 cm.

Am aflat lungimea catetei AC. Trebuie acum să aflăm lungimea catetei AB.

Voi aplica teorema Lipitagora în triunghiul ABC.

Din teorema Lipitagora aplicată în triunghiul ABC va rezulta că AB la pătrat plus AC la pătrat este egal cu BC la pătrat.

AB la pătrat plus 9 la a doua este egal cu 15 la a doua.

AB la a doua plus 81 este egal cu 225.

AB la a doua va fi egal cu 225 minus 81.

AB la pătrat va fi egal cu 144.

AB este egal cu radical din 144.

AB va fi egal cu 12 cm.

Am aflat și lungimea laturii AB.

Acum putem să aflăm perimetrul triunghiului ABC adunând lungimile celor trei laturi.

Perimetrul triunghiului ABC este egal cu 9 plus 12 plus 15.

9 cu 12 este 21 plus 15 este egal cu 36 cm.

Continuăm cu problema numărul 2.

Se dă un triunghi dreptunghic ABC cu măsura unghiului A egală cu 90 grade.

Se știe că măsura unghiului B este de 30 grade și AB este egal cu 18 radicali din 3 cm.

Ducem AD perpendiculară pe BC.

D aparține laturii BC.

Trebuie să calculăm lungimile laturilor AC, BC și AD unde AD este înălțime.

Știm că măsura unghiului B este egală cu 30 grade și se cunoaște cateta alăturată unghiului B.

În lecția trecută am determinat funcțiile trigonometrice pentru unghiul cu măsura de 30 grade.

Trebuie să aplicăm o funcție trigonometrică care face referire la cateta alăturată unghiului B.

Această funcție trigonometrică ar putea fi cosinus, tangentă sau cotangentă.

Putem aplica, de exemplu, tangenta pentru unghiul B și astfel vom reuși să aflăm lungimea catetei AC.

Tangenta de B este cateta opusă unghiului B supra cateta alăturată AC supra AB.

Dar știm că tangenta de 30 de grade este radical din 3 supra 3.

Am văzut acest lucru în lecția trecută.

Înseamnă că AC supra AB este egal cu radical din 3 supra 3.

Dar AB este 18 radical din 3 și obținem următoarea relație AC supra 18 radical din 3 egal cu radical din 3 supra 3.

Avem aici o proporție cu termenul necunoscut AC.

Din această proporție exprimăm lungimea segmentului AC.

Aceasta va fi egală cu 18 radical din 3 ori radical din 3 supra 3.

Egal cu 18 ori 3 supra 3.

Se simplifică 3 cu 3 și obținem 18.

Am aflat așadar că AC este egal cu 18 centimetri.

Acum trebuie să aflăm lungimea ipotenuzei BC.

Putem aplica fie teorema lui Pitavăra în triunghiul ABC,

fie o altă funcție trigonometrică în care intervine ipotenuza.

De exemplu sinus DB.

Acesta este raportul dintre cateta opusă AC supra ipotenuză.

Și știm că sinus de 30 de grade este egal cu 1 supra 2.

Voi alege a doua variantă și aplicăm sinus DB.

Acesta este cateta opusă supra ipotenuză AC supra BC.

Iar sinus de 30 de grade este 1 supra 2.

Sinus de 30 de grade egal cu 1 supra 2.

Egalăm aceste două relații.

AC supra BC.

Egal cu 1 supra 2.

AC este 18 centimetri.

18 supra BC.

Egal cu 1 supra 2.

Din această relație exprimăm lungimea segmentului BC.

BC este egal cu 18 ori 2.

BC egal cu 36 centimetri.

Am aflat și ipotenuza.

Mai trebuie să aflăm lungimea înălțimii AD.

Am obținut că BC are lungimea egală cu 36 centimetri.

Înălțimea într-un triunf dreptunghic este produsul catetelor supra ipotenuză.

Și voi aplica această formulă pentru a determina lungimea segmentului AD.

AD este egal cu AB ori AC supra BC.

Am văzut această formulă în lecția Teorema Înălțimii.

AB este 18 radical din 3.

AC este 18, iar BC este 36.

36 împărțit la 18 este 2.

Rămâne 18 radical din 3 supra 2.

Se mai simplifică și 18 cu 2.

Și obținem 9 radical din 3.

Am obținut astfel că înălțimea AD este 9 radical din 3 centimetri.

Și ultima problemă.

Fie triunghiul ABC dreptunghic cu măsura unghiului A de 90 de grade,

AD înălțime, se știe că CD este 48 centimetri

și tangentă de B este egal cu 4 supra 3.

Calculați perimetrul triunghiului ABC.

Tangenta unghiului B se poate exprima fie din triunghiul mare ABC,

fie din triunghiul dreptunghic ADB.

Voi aplica funcția tangentă în triunghiul dreptunghic ADB

și voi încerca să obțin o relație între înălțimea AD

și proiecțiile catetelor pe ipotenuză, adică segmentele BD și CD.

În triunghiul ADB,

tangenta unghiului B

este cateta opusă unghiului B supra cateta alăturată,

adică AD supra DB.

Și știm că această tangentă este 4 supra 3 din ipoteză.

Notăm această relație cu 1.

Acum aplicăm teorema înălțimii în triunghiul ABC.

Din teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic ABC

obținem că AD pătrat este egal cu BD ori DC.

AD pătrat este egal cu BD ori 48.

Observăm că am mai obținut o relație între AD și BD.

Avem astfel două relații cu două necunoscute.

Din această ecuație voi exprima lungimea segmentului BD

pe care o voi înlocui în relația 1.

De aici va rezulta că BD este egal cu AD la pătrat supra 48.

Și înlocuiesc această relație obținută în relația 1.

Astfel relația 1 se va scrie AD supra.

În loc de BD voi scrie AD la pătrat supra 48

egal cu 4 supra 3.

Avem o fracție supraetajată. Împărțim prima fracție la a doua.

AD se poate scrie AD supra 1.

Împărțit la AD la pătrat supra 48

egal cu 4 supra 3.

Pentru a împărți două fracții înmulțim prima fracție cu inversa cele de a doua

AD supra 1 ori 48 supra AD la pătrat

egal cu 4 supra 3.

Pe diagonală putem să simplificăm cu AD.

AD la pătrat înseamnă AD ori AD

și atunci la numitorul acestei fracții o să rămână AD

iar aici avem 1.

Fracția 1 supra 1 nu se mai scrie.

Obținem 48 supra AD

egal cu 4 supra 3.

Avem din nou o proporție cu o necunoscută.

Exprimăm din această proporție lungimea segmentului AD.

Aceasta va fi egală cu 48 ori 3 supra 4.

Se simplifică 48 cu 4.

Obținem 12.

AD va fi egal cu 12 ori 3

și egal cu 36 cm.

Revenind de la desen

am obținut că AD este 36 cm.

Dacă l-am aflat pe AD putem să-l aflăm pe BD

din această relație pe care am notat-o cu 1.

După ce l-aflăm pe BD aflăm lungimea ipotenuzei BC.

Din relația pe care am notat-o cu 1

obținem că 36 supra BD

este egal cu 4 supra 3.

De aici rezultă că BD este egal cu 36 ori 3 supra 4.

Se simplifică 36 cu 4.

Aici ne rămâne 9.

BD este egal cu 9 ori 3

și egal cu 27 cm.

Dacă am aflat lungimea segmentului BD

putem să aflăm lungimea ipotenuzei BC.

Aceasta se obține adunând segmentele BD și CD

egal cu 27 plus 48

egal cu 75 cm.

Am aflat astfel lungimea ipotenuzei.

Pentru a afla perimetrul triunghiului

trebuie să aflăm și celelalte două catete AB și AC.

O să copiez figura geometrică mai jos ca să o avem în față.

BD este 27

și BC este 75.

Pentru a afla cateta AB

voi aplica teorema Lipitagora în triunghiul dreptunghic ADB.

Folosim teorema Lipitagora în triunghiul ADB.

AB este ipotenuză.

AB la pătrat egal cu AD la pătrat plus BD la pătrat.

AB la pătrat este egal cu 36 la a doua plus 27 la a doua.

AB la pătrat va fi egal cu 1296

puteți să faceți alătura 36 la 36

plus 729.

AB la pătrat va fi egal cu 2025.

AB este egal cu radical din 2025.

Trebuie să descompunem numărul 2025.

Având în vedere că acest număr are ultimele cifre 2 și 5

înseamnă că el va fi divizibil cu 25.

Așadar începem descompunerea împărțind numărul 25

la 5 la a doua.

O să facem alăturat împărțirea 2025.

Împărțit la 25.

25 în 205 intră de 8-ori.

5 x 8, 40. 4 reținem.

8 x 2, 16 cu 4, 20.

Efectuăm scăderea.

Coborâm cifra 5.

25 în 25 se cuprinde odată.

Rezultatul împărțirii 2025 la 25 este 81.

Continuăm descompunerea și împărțim numărul 81 la 3.

81 împărțit la 3 este 27.

27 se împarte la 3 și obținem 9.

9 împărțit la 3 este 3.

3 împărțit la 3 este 1.

Formăm pătrate perfecte.

Putem să scriem așadar că AB este egal cu radical

din 5 la a doua, ori 3 la a doua, ori 3 la a doua.

Egal cu 5, ori 3, ori 3.

3 ori 3 este 9, ori 5, 45.

Am obținut că AB este egal cu 45 cm.

Pentru a afla lungimea catete AC,

fie aplicăm teorema lui Pitangora în triunghiul ABC,

fie aplicăm teorema lui Pitangora în triunghiul ADC.

Voi aplica teorema în triunghiul ADC,

pentru că lungimile laturilor acestui triunghi

sunt exprimate în numere mai mici.

Folosim teorema lui Pitangora în triunghiul ADC.

AC este ipotenuză.

AC la pătrat egal cu AD la pătrat plus CD la pătrat.

AC la pătrat egal cu 36 la a doua plus 48 la a doua.

AC la pătrat va fi egal cu 1296 plus 2304.

AC la pătrat va fi egal cu 3600.

AC este egal cu radical din 3600.

Putem fie să descompunem numărul 3600,

fie să aplicăm niște proprietăți ale radicalilor.

3600 este 36 ori 100.

36 și 100 sunt pătrate perfecte.

Egal în continuare cu radical din 36 ori radical din 100.

Egal cu 6 ori 10.

Egal cu 60.

Am aflat lungimea catetei AC.

Aceasta este 60.

Și acum putem să calculăm perimetrul triunghiului ABC

însumând cele 3 laturi.

Perimetrul triunghiului ABC

este egal cu AB plus AC plus BC.

Egal cu 45 plus 60 plus 75.

45 plus 60 este 105 plus 75 egal 180 centimetri.