Reprezentarea în spațiu a dreptelor, a unghiurilor și a lungimilor segmentelor

Să vorbim puțin despre reprezentarea în spațiu a dreptelor, a unghiurilor și a lungimilor segmentelor.

Dacă reprezentăm schematic drepte paralele, atunci vom avea o asemenea reprezentare.

Avem aici o dreaptă și încă una.

Am trasat două drepte paralele și putem să le notăm de indice 1 și de indice 2.

Cele două drepte sunt paralele.

Dacă vrem să reprezentăm drepte concurente, sau altfel spus drepte secante, atunci le reprezentăm în spațiu așa cum le reprezentam și în plan,

cum am făcut și cu dreptele paralele.

Avem dreapta A și dreapta B, punctul de intersecție îl notăm cu O de exemplu, A intersectat cu B este punctul O.

Mai avem o altă reprezentare când vorbim de drepte în spațiu.

Iată, avem aici o linie continuă și această linie este întreruptă.

Ce am reprezentat aici să notăm cu C și D.

Dreptele C și D sunt de fapt drepte necoplanare și haide să trecem scrisul în dreptul celor două drepte.

Bun, ce înțelegem prin drepte necoplanare?

Două drepte sunt necoplanare dacă nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă.

Asta înseamnă drepte necoplanare.

De exemplu, avem aici planul Gamma care conține dreapta A și planul Theta care conține această dreaptă B.

Cele două drepte A și B sunt drepte necoplanare și e ușor de văzut că nu există niciun plan care să conțină în același timp și dreapta A și dreapta B.

Iată, această dreaptă este așa și aceasta este așa.

Dacă nu vă e clar, atunci putem să ne uităm la încă un desen.

Iată, avem aici un cub.

Dreapta AB și dreapta FG sunt drepte necoplanare.

Deci putem să notăm că AB și FG sunt drepte necoplanare.

Deci, cum am spus, nu există niciun plan care să conțină în același timp cele două drepte.

Cum reprezentăm unghiurile în spațiu?

În spațiu, reprezentarea unghiulor este una deformată.

De exemplu, știm că un cub are toate fețele pătrate.

Asta înseamnă că această față este un pătrat, deci avem aici un unghi de 90 de grade, însă și această față FGCB este tot pătrat.

Deci și acest unghi are tot 90 de grade, însă e foarte ușor de văzut că acest unghi pare un unghi ascuțit și nu un unghi drept, așa cum este acesta.

Alt exemplu în care putem să observăm că unghiurile în spațiu apar ca fiind deformate.

Iată, în această piramidă putem să considerăm că baza este triunghi dreptunghi, iar unghiul drept este unghiul notat aici C.

Dacă am luat separat baza și o trecem în plan, atunci e ușor de văzut că unghiul C este un unghi obtuz și nu un unghi drept, însă în spațiu putem să considerăm că avem aici un unghi de 90 de grade.

Sau în această piramidă putem considera că baza, adică acest triunghi MPN este un triunghi echilateral, deci măsurile acestor unghiuri sunt egale, fiecare unghi are măsura de 60 de grade.

E ușor de văzut că dacă am desenat triunghiul MPN în plan, atunci el nu ar arăta deformat ca aici, însă avem nevoie de aceste deformări ca să putem să vedem mai bine figura în spațiu.

Pentru că, iată, dacă am desenat triunghiul MPN în plan, ne-a mai trecut aici notația, deci avem un triunghi echilateral, atunci cum am putea să construim această piramidă?

Dacă trecem de exemplu vârful aici, chiar haide să folosesc o altă culoare, dacă trecem vârful aici, atunci începem să ducem din vârf câte o latură către vârful bazelor și iată, nu e o figură chiar potrivită, mai ales dacă vrem să facem anumite calcule în această piramidă.

Sau mai putem să facem un astfel de desen, considerăm că vârful îl trecem aici, iată, punim și să vedem ce piramidă obținem.

Păi nici această piramidă nu e o reprezentare bună, mai ales că iată, această față de aici nu se vede aproape deloc, deci din această cauză este nevoie ca unghiurile să fie reprezentate de format pentru că astfel avem o imagine mai bună asupra acelei figuri.

Nici lungimile segmentelor nu se păstrează, iată aici am spus că avem un triunghi echilateral, e clar că dacă măsurăm cu rigla lungimile segmentelor MP, PN și MN, ele nu sunt egale, însă putem să notăm congruența acestor 3 segmente.

Sau același lucru îl putem observa și în acest caz când vorbim de un cub, baza este pătrat însă dacă măsurăm lungimile muchiilor bazei, ele nu sunt congruente.

Totuși putem să trecem că lungimea segmentului AB este congruentă cu lungimea segmentului BC, cu DC și cu AD.

Toate aceste deformări se folosesc pentru că desenăm aceste figuri în spațiu și nu în plan și dacă privim aceste figuri dintr-un anumit unghi, să știți că ele chiar așa apar exact cum le-am desenat.