Relaţia de incertitudine Heisenberg.

În cea de-a șasea lecție de fizică cuantică

vom discuta despre relația de incertitudine Heisenberg.

Am văzut în lecția trecută, când am discutat despre rezoluția spațială

a unui microscop optic sau cu particule,

că există o limită experimentală

a preciziei oricărui măsurător

care este legată de lungimea de undă a radiației folosite

sau a fașicului folosit pentru a face acea măsurătoare.

Heisenberg, în teoria mecanicii cuantice dezvoltate de către el,

teoria matricială a mecanicii cuantice,

a reușit să deducă o relație teoretică,

o formulare teoretică pentru această limită a preciziei oricărei măsurători.

Mai exact, Heisenberg a stabilit teoretic că parametrii

ce descriu starea unui sistem fizic cuantic

formează perechi de variabile complementare,

precum poziție impuls, timp energie,

în sensul că aceste variabile complementare

ce descriu starea unui sistem fizic cuantic

au precizia cunoașterii sau măsurării uneia dintre ele

limitată invers proporțional de precizia celelalte.

Haideți să dăm relațiile Heisenberg,

inegalitățile Heisenberg pentru aceste perechi de variabile complementare

și apoi să discutăm ce înseamnă el.

Pentru perechea de variabile poziție impuls,

relația de incertitudine Heisenberg se scrie așa

și înseamnă că imprecizia sau precizia, dacă doriți,

în măsurarea componentei de-a lungul coordonatei x a impulsului unei particule,

înmulțită cu imprecizia măsurării coordonate x

este mai mare sau egală cu raportul dintre constanta Planck și 2 supra pi.

La fel, pentru perechea timp-energie,

imprecizia în măsurarea energiei unui sistem cuantic

înmulțită cu imprecizia în măsurarea timpului

la care se face această evoluție energiei,

în care se face această evoluție energiei,

deci produsul dintre aceste două imprecizii este mai mare sau egal decât aceiași mărime,

aceiași constanta Planck împărțită la 2 pi.

Ce înseamnă ele?

Aceste relații de incertitudine au multe consecințe,

dar cea mai directă este aceea că,

dacă dorim să micșorăm precizia măsurării lui Px,

atunci precizia cu care putem măsura simultan,

deci în același timp, în aceeași măsurare,

coordonata x va crește,

pentru că produsul lor trebuie să fie mai mare decât această constantă.

Scăderea unuia implică creșterea celuilalt.

La fel și pentru energie și timp.

Aceste relații au foarte multe consecințe

și, de fapt, întreaga teorie din spatele lor

au foarte multe consecințe pentru fizica cuantică.

Numărăm doar câteva cele mai importante

și ușor dedus din aceste ecuații.

Prima din ele este că starea unui sistem fizic cuantic

nu poate fi niciodată determinată complet.

Determinismul absolut clasic

devine în fizica cuantică un determinism probabilistic.

Și vom da exemplu cu traiectoria.

Dar, evident, această propoziție,

și anume că starea nu poate fi niciodată determinată complet,

este de aici.

O determinare completă a stării unui sistem

înseamnă să-i măsurăm poziția, impulsul și energia

cu precizie absolută,

deci cu rezoluție 0, dacă doriți,

în moment dat t.

Deci asta înseamnă a preciza starea unui sistem

la un moment dat t

prin măsurarea vectorului poziție,

vectorului impuls și a energiei,

la acel moment dat, fără eroare.

Atunci avem o determinare precisă a stării

la momentul t al sistemului.

Aceste relații ne spun că în fizica cuantică

nu se poate obține o măsurare infinit de precis.

În fizica clasică singurul lucru

ce ne împiedică să facem acest lucru

sunt limitările instrumentelor de măsură,

dar în principiu, teoria,

mecanicii newtoniene sau fizicii clasice în general,

electromagnetismului clasic, spre exemplu,

nu pune nici o limită teoretică

în precizia cu care putem măsura

variabelele ce deschid starea sistemului.

În fizica cuantică există, din punct de vedere teoretic,

o astfel de limită stabilită de aceste relații

de incertitudine Heisenberg.

Teoretic vorbind, nu putem avea precizie infinită

chiar dacă instrumentele noastre ar fi perfecte.

Aceasta are consecințe foarte importante.

Spre exemplu, folosind acest exemplu al traiectoriei

unui sistem, în fizica clasică,

dacă sistemul nostru să afla într-o stare A

la un moment dat T0,

specificată de acesti parametri,

impuls, poziție, impuls, energie,

și doream să stabilim starea B

la un moment dat T,

aveam o singură traiectorie

prin care cele două stări erau legate.

Deci aveam o traiectorie unică

prin care sistemul clasic evolua din A în B.

În fizica cuantică acest lucru nu mai este adevărat.

Deci dacă avem o stare A la un moment dat T0

și o stare B la un moment dat T,

ele sunt legate printr-un număr infinit

de traiectorii posibile.

Deci sistemul poate evolua din A în B

într-un număr infinit.

Eu am trasat trei, dar ele sunt infinite.

Singurul lucru ce diferențiază traiectoriile posibile

ale sistemului între stările A și B

este probabilitatea cu care

se poate evolua pe traseul 1 sau traseul 2

sau traseul 3 și așa mai departe.

Deci diferitele traiectorii

au diferite probabilități

și atunci vorbim despre un determinism probabilistic.

Determinism pentru că în continuare

putem calcula evoluția sistemului de la A la B.

Ea este calculabilă, deci determinată,

dar nu mai este unică.

Ea este de fapt infinită,

deci avem un număr foarte mare de soluții.

Tot ce putem noi calcula în fizica cuantică

este probabilitatea.

Cât de probabil este

ca sistemul să meargă pe această traiectorie și nu pe această?

O a doua consecință

este că măsurarea în fizica cuantică

își pierde sensul absolut din fizica clasică.

Adică orice măsurătoare

a unui sistem fizic cuantic

îi schimbă acestuia parametrii

introducând o imprecizie.

Deci în sine, faptul că măsurăm starea unui sistem

îi schimbă, faptul de a măsura starea

îi schimbă starea acestuia

și în concluzie obținem inerent

o eroare de măsurare

numai prin faptul că facem o măsurare.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles

dacă ne gândim, de exemplu,

cum măsurăm noi,

în sensul că vizualizăm,

spre exemplu, o mașină cu ochiul.

În fizica clasică,

deci ce se întâmplă este că fotonii

sau razele de lumină ce vin de la soare

se împrăștie pe mașină,

apoi sunt analizate de ochiul nostru.

Bineînțeles că are sens să spunem

că împrăștierea fotonilor

din razele de la soare pe mașină

nu va schimba starea mașinii.

Ea nu se va mișca

iar nu își va schimba forma sau poziția.

Deci în sine, măsurarea,

adică vizualizarea cu ochiul nostru

ca și detector a mașinii

nu îi schimbă acesteia starea.

În fizica clasică lucrurile se schimbă

dacă înlocuim mașina cu un electron,

adică împrăștiem un foton pe electron

și analizăm cu un detector

fotonul împrăștiat

pentru a obține informații despre electron.

După cum știm din efectul Compton,

starea electronului se schimbă.

După interacția cu fotonul

folosit pentru a-oi observa starea,

ceea ce înseamnă că

operația de a măsura electronul

obține o informație,

dar de așa această informație nu mai este corectă

pentru că în urma măsurării,

adică împrăștierii fotonului pe electron,

starea electronului s-a schimbat.

Deci, în fizica cuantică,

măsurarea în sine implică

la modul cel mai fundamental

o imprecizie datorită măsurării.

Haideți să concretizăm această diferență

a aplicabilității relațiilor Heisenberg

între fizica clasică și fizica cuantică.

Deci, să considerăm un sistem tipic cuantic,

adică un electron în mișcare,

cu o viteză mare,

1.110 cu 10 la 6 metri pe secundă,

dar nu foarte mare

comparat cu viteza luminii,

această viteză este sub 1% din viteza luminii,

totuși e o viteză mare.

Să presupunem că măsurăm această viteză

cu anumit dispozitiv,

cu o precizie dată, 0.1%.

Și dorim să vedem care e precizia maximă

cu care poate fi măsurată simultan

poziția sa.

Adică, folosind același proces

care măsoară viteza,

să măsoară și poziția.

Și ne întrebăm care este precizia maximă

cu care putem măsura poziția

în această măsurătoare.

Și, bineînțeles, aplicăm relațiile

de incertitudine Heisenberg.

Calculăm întâi impulsul,

deci impulsul e masa sau viteza,

aceasta este masa electronului,

mulțită cu viteza sa,

și obținem acest impuls,

care este, bineînțeles, foarte mic,

atât datorită masei foarte mici

a electronului.

Atunci, eroarea în impuls

va fi acest 0.1%,

de 0.1% împărțit la 100,

mulțit cu valoarea lui P.

Aceasta e ce ne dă problema.

Și atunci obținem o eroare

de 10 la minus 27 newton ori secunda.

Aplicăm relația de incertitudine

impuls-poziție Heisenberg

și obținem că rezoluția minimă,

deci precizia cea mai bună teoretic

cu care putem măsura poziția,

este H împărțit la 2P

împărțit la acest delta P.

Și obținem o valoare de

aproximativ 0.1 micrometri,

care este o eroare gigantică

pentru lumea cuantică.

Spre exemplu, dacă o comparăm

cu dimensiunea unui atom,

obținem că eroarea de măsurare

a poziției electronului

este de o mie de ori mai mare

decât dimensiunea unui atom.

De aici rezultă

câteva lucruri fundamentale.

Spre exemplu, nu prea are sens

să vorbim de poziția unui electron într-un atom.

Atomul, după cum știți,

este format dintr-un nucleu

și un veliș format din electroni.

Noi ne imaginăm acești electroni

și vorbim în anumite aplicații

de electroni care se învârt în jurul nucleului

pe anumite traiectorii.

Cuantic și foarte precis vorbit,

vorbind din punct de vedere

fizic-oantic, este greșit.

Pentru că

poziția, capacitatea noastră

de a

specifica care este poziția

unui electron într-un atom

e de o mie de ori mai mare

decât dimensiunea atomului.

Deci, a vorbi de o poziție

sau o traiectorie a electronului

în jurul nucleului este de fapt

fundamental greșit.

În anumite aplicații o putem face

atât timp cât suntem conștienți

de implicații și aproximații

și uneori se putem vorbi în termenii aceștia.

Dar, principial vorbind,

poziția unui electron într-un atom

nu poate fi

specificată în termeni clasici.

Ci, mai degrabă, în termeni,

după cum am spus, cuantici, avem o multitudine,

un număr, de fapt, infinit

de traiectorii și o distribuție

de probabilitate

ca o anumită traiectorie sau alta

să fie cea

să fie

cea reală.

Dacă ne întoarcem

către lumea clasică

și considerăm,

după cum am mai făcut-o,

o minge de tenis care are o masă

de 60 de grame,

ce este servită de către

un jucător de tenis cu viteza

de 100 de metri pe secundă

și cerem ca

această viteză să fie măsurată

cu aceeași precizie bună

de 0,1%.

Și dorim să aflăm care e precizia maximă,

care e limita dată de

relația Heisenberg

cu care poate fi măsurată simultan,

adică în același experiment, poziția sa.

Calculăm

impulsuri, masă, ori viteza

și obținem un impuls mult mai mare

de 6 newton ori secundă.

Aplicăm aceeași relație

cunoscând din precizia

0,1% și valoarea

lui P, obținem din precizia delta P

care este mult mai mare

și în consecință

bineînțeles că obținem o rezoluție

a măsurării

poziției mingii de tenis

rezoluție minimă

de

1,8 ori 10 la minus 32

metri, care este

o valoare suficient de mică

pentru a nu

o lua în considerare ca fiind

vreo limitare de vreun fel

în mod real.

În concluzie, datorită valorii

mici a constantei

Planck-H, doar

sistemele care au

ori masă foarte mică, ori viteză

foarte mare, ori amândouă sunt

afectate. Deci, pentru a

obține o valoare

a rezoluției delta X

care să aibă

vreo semnificație

trebuie ca delta P

să fie și el

foarte mic. Trebuie ca H

să fie împărțit

care e foarte mic să fie împărțit

la o valoare foarte mică a lui delta P

pentru a obține o rezoluție

care să aibă

vreo semnificație. Altfel,

ceea ce se întâmplă întotdeauna

în fizica clasică,

relația de incertitudine

Heisenberg, de fapt, este

nesemnificativă.

Și invers,

procesele ce au loc în fizica

cuantică, trebuie

să țină cont de

implicațiile acestor relații

de incertitudine.