Puterea momentană şi puterea medie. Puterile activă, reactivă şi aparentă.

În ceea de-a 11-a lecție de curent alternativ

vom discuta despre puterea

într-un circuit de curent alternativ.

Pentru a calcula

ecuația puterii în curent alternativ,

pornim de la ecuațiile generale ale

valorilor momentane,

ale tensiunii și intensității.

Ele sunt funcții sinusoidale,

în care argumentul este pentru

tensiune omega T,

iar pentru intensitate omega T

minus un defazaj

fii între intensitatea curentului și tensiunea.

Acest defazaj, bineînțeles,

poate fi atât pozitiv cât și negativ

în cazul cel mai general.

Puterea, sau valoarea momentană a ei,

a puterii, Pdt,

este produsul dintre

valorile momentane ale tensiunii

și curentului.

Deci, putem scrie

că Pdt este produsul

dintre valorile maxime

ale tensiunii și curentului

și aceste două funcții sinusoidale,

ce provin din cele două

mărimi momentane,

Udt și Idt.

Folosind următoarea

formulă trigonometrică,

și anume

doi sin de alfa, sin de beta,

egal cu cosinus de alfa minus beta

minus cosinus de suma

celor două unghiuri, deci alfa plus beta,

deci folosind această

identitate trigonometrică

pentru două unghiuri oarecare,

putem rescrie această formulă

a valorii momentane a puterii

în felul următor.

Pdt este egal cu 1 pe 2,

acest factor 2,

1 pe 2, Um minus Im,

cosinus de diferența

dintre cele două argumente,

și obținem cosinus de fi,

minus

același factor în fața

funcției cosinus de sumă

celor două argumente,

deci obținem 2ωt minus fi.

În continuare,

putem rescrie această formulă

folosind valoarele efective

ale tensiunii și curentului

în locul valorilor maxime,

deci reamintesc că

valoarea efectivă a tensiunii

este egală cu valoarea maximă

împărțită la radical din 2,

și la fel,

intensitatea efectivă este

intensitatea maximă

împărțită la radical din 2.

Deci, Uem Im împărțit la 2

este Ui

și obținem ecuația finală

pentru valoarea momentană

a puterii,

care are această formă.

Dacă alegem

valori concrete pentru

tensiune și intensitate,

valoare maxime sau efective,

și pentru defazajul fi

dintre intensitatea curentului

și tensiunea curentului,

putem reprezenta această

mărime,

această funcție

cosinusoidală

și obținem

o astfel de dependență.

Deci ceea ce vedeți în acest grafic,

cu verde

este intensitatea curentului

pentru o valoare maximă

Im 3A,

ceea ce se vede aici,

valoarea maximă

a graficului verde,

care este intensitatea curentului, este 3

și un defazaj fi

pe care l-am luat,

egal cu 0.8 radiani.

Acesta este un defazaj relativ mare,

vă aduc aminte că

90 de grade

este pi pe 2 radiani

care este aproximativ

1.5 radiani.

Deci 0.8 radiani

ar corespunde

aproximativ 45 de grade

relativ mare.

Și apoi cu albastru

desenăm,

reprezentăm tensiunea.

Um, unde pentru

valoarea maximă a tensiunii

am luat 5V

vedeți că curba albastră

are un maxim de 5

îmulțit cu sinus de Ωt

fiind argumentul și axa X.

Și apoi pur și simplu

îmulțim cele două funcții

și obținem Pdt

care este reprezentat cu roșu.

Și este această funcție mai complexă

dar vedeți dependența ei

de argumentul Ωt.

Este interesat de observat

că ea are atât componente

negative cât și componente

pozitive. Deci avem putere

pozitivă și putere negativă.

Bineînțeles, partea pozitivă

fiind mai mare decât și negativă.

Haideți să discutăm un pic

proprietățile Cres

proprietățile

puterii momentane Cres

din această

formulă sau din acest grafic.

În primul rând

prin definiție

puterea, în cazul ce mai general

este variația

energiei în unitatea

de timp. Asta înseamnă că variația

energiei este

produsul dintre putere

și intervalul temporal

în care această putere a fost

consumat

sau a fost transferată.

În general, când vedem

o astfel de ecuație,

înseamnă că

putem interpreta

putem folosi interpretarea geometrică

a

energiei, în cazul acesta,

ca aria lui P

ca funcție de T.

Deci, în general, când avem o ecuație

de tipul ΔY

este egal

cu un f

de X

care e o funcție de X, ΔX

atunci Y

este aria

lui f de X

între două

valoare ale lui X, X1

și X2. Deci, în particular,

în cazul acesta, aria

de sub graficul puterii

ca funcție de timp

într-un interval temporal T1-T2

e energia W

transferată în acest interval temporal.

Deci, în general,

asta am vrut să subliniez,

o astfel de ecuație

poate fi legată

de o interpretare geometrică

pentru

parametrul sau mărimea

W, în cazul acesta, sau Y,

în general,

și anume, această interpretare geometrică

e legată de aria

de sub graficul lui P

ca funcție de timp, sau f ca funcție de X,

Deci,

dacă luăm

acest grafic cu roșu

Pdt

și luăm varii porțiuni din el

și calculăm aria,

obținem energia

cheltuită. Spre exemplu,

între

momentul zero

și momentul corespunzător

acestui punct, putem calcula

această arie și obținem energia

transferată

în circuitul de curent alternativ

în acest interval de timp.

În general,

o putere mai mare decât

zero înseamnă că

energia este dată de sursă circuitului,

iar o putere

mai mică decât zero

înseamnă că energia este dată

de circuit sursei, în sens invers.

Deci, în general,

observăm că

într-un circuit în curent alternativ

avem atât transfer de

energie dinspre

sursă către circuit

aceștia sunt lobii mari,

pozitivi, ai graficului

dar și invers

transfer de

energie de la circuit către sursă

aceștia fiind

polii negativi mai mici.

Și deci, în general,

bineînțeles, după cum ne-am aștepta

avem situația că

energia dată de sursă e mai mare

decât cea primită de către ea.

Bineînțeles, raportul dintre

partea pozitivă și partea negativă

depinde de acești factori

pe care alegem, în particular depinde

de fazajul phi.

Haideți să discutăm un pic mai mult

despre valorile medii. Deci aceasta este

ecuația și discuția despre

valoarea momentană

a puterii. Haideți să calculăm

să discutăm valorile medii.

Puterea medie și vom

ajunge să discutăm despre așa numitul

triunghi al puterilor. Deci

puterea momentană este

aceasta. Momentană înseamnă momenta T

și pentru a calcula

puterea medie, pur și simplu

calculăm media temporală

pentru un

interval mare

de timp. După cum

am discutat de mai multe ori în lecțiile

trecute, de fiecare dată când avem

o funcție sinusoidală

sau cosinusoidală cu un

argument temporal,

deci ca aceasta, dar cu o formă foarte

generală, media va fi 0.

Deci orice media

pe un timp suficient de

îndelugat a oricărei funcții de felul

acesta, cosinus sau sinus,

este 0. În concluzie,

valoarea medie

a puterii va conține

numai acest termen

ui cosinus de fi.

Deci puterea medie

într-un curent alternativ este

produsul dintre tensiune și intensitate

după cum ține minte

de la curentul continuu, în plus

obținem în curentul alternativ și acest

factor ce ține conte de fazajul

fi este de fazajul

dintre i și u. Acest

factor cos de fi este foarte

important, bineînțeles, și se numește

factor de putere.

În funcție

de valoarea lui fi avem

comportări diferite

ale circuitului de curent alternativ.

În particular, dacă fi este

0, atunci

după cum vedem,

puterea momentană

este ui îmulțit

cu

1 minus cosinus de omega t

deci acest cosinus de 0

este 1 și

acest fi este 0.

Cade din ecuație.

Deci avem P dt ui

1 minus cosinus de omega t.

Asta înseamnă două lucruri.

În primul rând, că pentru fi

egal cu 0, după cum se

vede și în această ecuație, puterea medie este

u ori i

dar de asemeni, deoarece

cosinusul oricărei funcții

este definit

între minus 1 și plus 1

deci acest factor

ia valori

între minus 1

și plus 1

rezultă că

puterea

momentană este totdeauna

pozitivă. Asta înseamnă

că întotdeauna avem

cedare de

energie, de putere

de la sursă către circuit

și niciodată invers în acest caz.

Spunem că ne aflăm

într-un regim rezistiv

în această situație, pentru că

după cum am spus, sursa cedează

continuu energie către circuit

deci PdT este tot timpul

pozitiv, nu devine negativ

unde este

desipată pe rezistor

sub formă de căldură.

Bineînțeles

Fi poate fi egal cu 0

pur și simplu pentru că nu avem reactanțe

deci singurul tip de element

din circuit este rezistența

caz în care aceste

concluzii sunt evidente, dar putem avea

și un alt caz în care

Fi este 0

cel al rezonanței

deci în orice caz

când avem un Fi egal cu 0

sau aproximativ 0

deci când ne găsim în această regiune

a defazajelor foarte mici

ne găsim într-un regim rezistiv

de funcționare a circuitului

cazul opus

este cel în care Fi

devine egal cu 90 de grade

plus sau minus, deci defazare în față

sau în spatea curentului

în acest caz dacă înlocuim

în ecuația de bază, obținem că Pdt

va fi egal cu

plus minus

plus minus corespunde cu acest plus minus

Ui sinus de

2 omega T

cosinus de plus sau minus

90 de grade e 0, deci nu mai avem acest termen

iar acest termen

devine plus sau minus sinus de 2 omega T

concluzia este

prima, că valoarea media

puterei este 0

după cum am spus, media

temporală a oricărei funcții

sinusoidale sau cosinusoidale

este 0, media acestei funcții

este 0

și de asemeni observăm

că puterea are

lobby egali atât pozitiv cât

și negativ, ea

sinus de 2 omega T ea toate

valoarele dintre minus 1 și plus 1

deci avem o funcție

în care lobby

un Pdt în care lobby negativ

și lobby pozitiv sunt egali

spune că ne aflăm într-un regim oscilant

în care sursa cedează energie

un interval temporal de T pe 4

deci P e mai mare decât 0

această energie este

depozitată în câmpurile

electrice și magnetice de pe

condensator și bobină

dar apoi în următoarea

aceasta este partea de

grafic în care

lobby-ul lui Pdt

area

graficului de sub

P ca funcție de T

este pozitivă

și deci avem cedare de energie

dar apoi vine imediat

oscilația negativă

următorul interval

de T pe 4 unde T este

perioada

o primește înapoi

această putere pentru că puterea

devine negativă și deci câmpurile

electrice

și magnetice se descarcă

înapoi către sursă cedând

aceiași energie

acest regim se numește

regim oscilant

în funcție de comportarea

lor avem două

următoare două tipuri de puteri

într-un circuit de curent

alternativ puterea activă

este cea

consumată sau

disipată pe rezistor deci numim

puterea activă prin definiție produsul

dintre tensiunea pe rezistor

și intensitatea curentului

deci este R I pătrat

este pozitiv întotdeauna

se disipă pe rezistor

și se măsoară în unitatea

Watt

numim puterea reactivă

puterea încărcată

și descărcată

pe bobine

în general și condensatoare

deci va fi egală cu U I X I

unde X este o reactanță

L sau C

ea poate fi atât pozitivă

cât și negativă și se măsoară în

VAR

și puterea

aparentă

se numește puterea aparentă notată

cu S

produsul dintre tensiunea totală

și intensitatea totală deci va fi

impedanța totală a circuitului mulțită cu

curentului la pătrat

ea e puterea cedată de sursă a circuitului

bineînțeles că

ele se află

într-o relație strânsă

aceste tipuri de puteri

mai exact putem

reprezenta

într-o diagramă fazorială

aceste puteri

puterea reactivă

puterea reactivă

fiind perpendiculară pe puterea

activă și suma lor

fazorială sau vectorială

în concluzie

putem scrie aceste tipuri

de relații

puterea activă este puterea

aparentă mulțită cu factorul de putere

cosinus de phi

iar puterea reactivă este puterea

aparentă mulțită cu

sinus de phi, deci avem aceste

relații

imediat rezultă

bineînțeles că avem și

această relație S pătrat

este egal cu P pătrat plus

BR la pădrat.